专题03 立体几何初步（期末真题汇编，浙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 立体几何专题汇编，整合浙江多地高一下期末真题，覆盖基本图形、平行垂直、面积体积、空间角与距离、动点问题五大考点，注重空间想象与逻辑推理能力考查，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题|直观图面积、线面垂直判定、圆锥体积|结合正方体、棱锥等模型，如四棱锥直角三角形面个数判断| |解答题|综合题|翻折问题、二面角计算、动点轨迹|如“牟合方盖”截面面积、三棱锥体积最值，体现高考命题趋势|

专题03 立体几何初步 高频考点概览 考点01基本立体图形及直观图 考点02平行线 考点03定义、命题、定理 考点04 平移 考点01 基本立体图形及直观图 1．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 2．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)四棱锥至多有几个面是直角三角形？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（    ）   A． B． C．12 D．10 4．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 5．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 考点02 平行垂直判定与证明 1．(24-25高一下·浙江衢州·期末)已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 2．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 3．(24-25高一下·浙江丽水·期末)已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知a，b为空间中不重合的直线，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 9．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)设，，为两两不重合的直线，，，为两两不重合的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知直线l垂直于平面，直线在平面内，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知a，b是两条直线，，是两个平面，则“”的一个充分条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，，与相交 14．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 15．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 16．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 考点03 空间几何体的面积与体积 1．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是______． 3．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知圆台的上下底面的半径分别为1和2，母线长为2，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（    ） A． B． C． D．112 5．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果原正方体石料棱长是，那么一张石凳的表面积是________.   6．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·浙江温州·期末)有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为______． 8．(24-25高一下·浙江衢州·期末)在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高一下·浙江衢州·期末)在长方体中，，分别是的中点，记平面截长方体所得两个几何体的体积分别为、，则___________． 14．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知圆锥的母线长为2，内切球的表面积为，则圆锥的底面半径为_______. 15．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______． 9．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)（多选）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，．若，则该多面体的体积为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 11．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，则五边形的面积为______． 12．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)如图，在正三棱柱中，已知，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 13．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. (1)已知一个半径为的半球（如图①），以及一个底面半径和高都等于的圆柱（如图②），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，试用祖暅原理求新几何体的体积. (2)已知正方体的棱长为为空间内一点，满足，记点的轨迹所围成的空间几何体为. （i）求平面截空间几何体所得截面的面积； （ii）若平面把空间几何体分成两个部分，求较小部分的体积. 1．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（   ） 考点04 空间距离与求角问题 A． B． C． D． 2．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是________． 3．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知二面角的大小为，棱上有两个不同的点，，，，，，若，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 4．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 5．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 6．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（       ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 8．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)（多选）如图，棱长为2的正方体中中，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角平面角的正切值为 D．点到平面的距离为 9．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)（用坐标法不给分）如图，直四棱柱中，底面为菱形，，，为中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 10．(24-25高一下·浙江台州·期末)如图，在三棱锥中，点在平面的射影为，，，，二面角，的大小分别为，，且． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积. 11．(24-25高一下·浙江衢州·期末)如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为． （i）求的长； （ii）点满足，求二面角的正切值． 12．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 13．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 14．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，． (1)证明：四点共面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 15．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)（用坐标法不给分）已知平行六面体所有棱长均为． (1)求证：平面平面； (2)设平面与平面交于直线，求证：直线平面； (3)求二面角的平面角的正弦值． 16．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，． (1)若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值； (2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD； (3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 17．(24-25高一下·浙江丽水·期末)如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．(24-25高一下·浙江丽水·期末)如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，过三点的平面记为，与的交点为. (1)证明：为的中点； (2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (3)若，梯形的面积为，求平面与底面所成锐二面角的正切值. 19．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 20．(24-25高一下·浙江温州·期末)如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 21．(24-25高一下·浙江温州·期末)“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1），点被称为“牟合方盖”的上顶点，点为“牟合方盖”的中心．过点作平面使得． (1)求平面截“牟合方盖”所得截面的面积； (2)B，E为平面与两圆柱交线的交点，为BE的中点，过OD作平面ODSC，S，C为“牟合方盖”表面上的点且位于平面AOD同一侧，，过S作平面ABC，交边界BD于点，设． （i）当时（如图2），是否存在使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由； （ii）若，点S到平面ABR的距离为，求与． 1．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)（多选）已知正方体的棱长为1，点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（   ） 考点05 空间几何体中的动点问题 A．平面截正方体的截面可能为等腰梯形 B．平面截正方体的截面可能为菱形 C．点运动过程中，三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球表面积的最小值为 2．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（   ）   A．当M，P分别为线段，中点时，， B．取得最小值 C．当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D．对任意点M，平面平面 3．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)（多选）在棱长为3的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，满足平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．三棱锥的体积是定值 C．动点的轨迹是一条圆弧，长度为 D．动点的轨迹是一条线段，长度为 4．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)（多选）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 5．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知正三棱柱的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱的中点，点为线段EF上的动点，直线AM与平面交于点，则点的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（       ） A．16 B． C． D． 8．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一下·浙江温州·期末)（多选）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（    ） A．线段AB与GH所在的直线是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．存在点，使得 D．记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 11．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)（多选）如图，在圆锥中，，点为线段上的动点，则（   ） A． B．圆锥的侧面积为 C．直线与所成角为 D．当为线段中点时，直线与平面所成角的正弦值最大 12．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)（多选）已知正方体的棱长为分别是的中点，过作平面，记平面平面，且截正方体所得截面多边形为，则（    ） A．若平面，则与平面所成的角为 B．若平面，则与所成的角为 C．若，则的周长为 D．若，以为顶点，为底面的几何体的外接球的表面积为 13．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)（多选）在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（       ） A．若，则点在平面上 B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C．若，则的最小值为 D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 14．(24-25高一下·浙江丽水·期末)（多选）已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（    ） A．若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为； B．若P在线段A1B上运动，则的最小值为； C．若p在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 D．若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为. 15．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹是一条线段 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 16．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)（多选）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，，平面ABCD，E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得 B．存在点E，使得二面角E-AC-D为 C．存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为 D．存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为 17．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（   ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点F的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为 D．若过A、M、三点作正方体的截面Ω，Q为Ω上一点，则线段长度最大值为 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 立体几何初步 高频考点概览 考点01基本立体图形及直观图 考点02平行线 考点03定义、命题、定理 考点04 平移 考点01 基本立体图形及直观图 1．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【答案】A 【详解】由公理：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确.故选：A. 2．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)四棱锥至多有几个面是直角三角形？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】在正方体中，取四棱锥，其四个侧面均为直角三角形，又四棱锥仅有四个三角形面，所以四棱锥至多有四个面是直角三角形.故选：C. 3．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（    ）   A． B． C．12 D．10 【答案】D 【详解】梯形中，，而，则梯形的高，因此梯形的面积，而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，所以原图形OABC的面积为.故选：D 4．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【详解】由的直观图可知原图中，，所以的面积为. 故选：C 5．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥母线，则圆锥的表面积，故选：D. 考点02 平行垂直判定与证明 1．(24-25高一下·浙江衢州·期末)已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【详解】对于A：若，，当不在内时，，但也可能，A错误；对于B：设，若，且，则，B错误；对于C：因为，则存在，若，则，因为，所以，所以，C正确；对于D：若，则当与相交时才有，条件中未给出两直线相交，所以得不出，D错误；故选：C. 2．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】A：若，，则，故A正确；B：，存在平面，使得且， 因为，所以，故，故B正确；C：若，，则，又，则，故C正确；D：若，，则或与异面或与相交，故D错误.故选：D． 3．(24-25高一下·浙江丽水·期末)已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 4．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则或或，故C错误；对于D，由线面平行的性质定理可知 D正确.故选：D 5．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误；B选项，若，，则或，B错误；C选项，若，不妨设，则，又，，则，所以，C正确；D选项，若，，则，或相交，D错误.故选：C 6．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知a，b为空间中不重合的直线，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A：若，则直线可能与平面相交、平行或，故A错误； 对于B：若，则直线可能平行平面、也可能，故B错误； 对于C：若，则平面与可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D：若，根据线面垂直的性质定理，所以，故D正确. 故选：D. 7．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】若，则或相交或异面，故A错误；若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知，又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误；若，，，当时，；当时，或与相交，或，故D错误；故选：B 8．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，根据面面平行的判定定理，一个面内两条相交的直线与另一个平面平行，才能得到两平面平行，故A错误；对于B，由，可得或，故B错误；对于C，由，可得或，故C错误；对于D，因，即平面相交成直角，又，故平面与平面也成直角，即，故D正确.故选：D. 9．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)设，，为两两不重合的直线，，，为两两不重合的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】若，，则可以相交，A选项错误；若，，，则可以异面，B选项错误；若，，则，C选项正确；若，，则或，D选项错误. 故选：C. 10．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知直线l垂直于平面，直线在平面内，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】易知当且时，若相交，则可知，则可得，若不相交，则不能推出，所以不一定成立，因此充分性不成立；当，由直线l垂直于平面可得，又直线在平面内，所以可得且，即必要性成立，因此“且”是“”的必要不充分条件. 故选：B 11．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行.故选：A. 12．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由，得，而，则，A不是； 对于B，，分别是平面内互相垂直的异面直线，满足，B不是； 对于C，由，得，又，则，C是； 对于D，由，得二面角的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是. 故选：C 13．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知a，b是两条直线，，是两个平面，则“”的一个充分条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，，与相交 【答案】C 【详解】对于A，由，，则或，因为，所以，或相交或异面，不一定有，故A错误；对于B，由，，，则，故B错误；对于C，由，，则，因为，所以，故C正确；对于D，如下图，不一定有，故D错误. 故选：C. 14．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为，又因为直线满足，，，，由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到，综上，直线与位置关系为平行.故选：B 15．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】BD 【详解】如图，过点作交于点，连接，即有平面， 由于，所以， 若，则，又平面，平面， 所以平面，由平面， 得平面平面，又平面，所以平面，故B正确； 若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确； 假设平面，设平面，则， 若平面，平面平面，所以， 反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误； 若，可能，也可能与相交． 若与相交，由知延长必与、交于同一点， 由几何关系知与不平行，故A、C错误． 故选：BD 16．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 【详解】（1）在正方体中， 又平面，平面，所以平面； （2）连接、，在正方体中为正方形， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 考点03 空间几何体的面积与体积 1．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆台上下底面圆的半径分别为高为，可求得母线长为.则 .故选：D. 2．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是______． 【答案】/ 【详解】因为圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，故圆锥的高为且底面半径为， 故体积为，故答案为：. 3．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知圆台的上下底面的半径分别为1和2，母线长为2，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可得，圆台的高为，故圆台的体积为.  故选：D. 4．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（    ） A． B． C． D．112 【答案】A 【详解】如图所示：由题设正四棱台，分别是上下底面中心，作，由题意可知：，，同理可得，故，， ，示上下底面面积，，，所以棱台的体积.故选：A. 5．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果原正方体石料棱长是，那么一张石凳的表面积是________.   【答案】 【详解】原正方体石料图形为：  因为正方体的棱长为，那么石凳的每条边的边长为.石凳上等边三角形的高为. 所以石凳的表面积为：.故答案为：. 6．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为，剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为，易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为，所以剩下几何体的表面积为.故选：B 7．(24-25高一下·浙江温州·期末)有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为______． 【答案】 【详解】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，，因为，所以，解得.故答案为：. 8．(24-25高一下·浙江衢州·期末)在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为，已知，，. 根据正弦定理可得，解得 .因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径.所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C 14．(24-25高一下·浙江衢州·期末)在长方体中，，分别是的中点，记平面截长方体所得两个几何体的体积分别为、，则___________． 【答案】 【详解】作直线，分别交于两点，连接分别交于两点，如图所示， 过点的截面即为五边形 ，在长方体中，，因为点，分别是，的中点所以，所以，因为，所以 则过点的截面下方体积为：，∴另一部分体积为，∴.故答案为： 14．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知圆锥的母线长为2，内切球的表面积为，则圆锥的底面半径为_______. 【答案】1或 【详解】设内切球半径为R，底面圆半径为r，圆锥高为h，故，解得,如上图可知球心为O，底面圆圆心为E，则,可得,即①，又②，将②代入①得：，两边同时平方得：，因式分解得：，得：或或（负解舍），而,故,而,故答案为：1或 15．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______． 【答案】2 【详解】如图所示，设点到平面的距离为，因为，且为定值，所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，此时平面平面，取的中点，连接，因为且，可得且，因为平面平面，且平面，所以平面，取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，，可得，则，所以，且，在直角中，可得，在直角中，根据直角三角形的中线性质，可得，所以，即为三棱锥外接球的球心，设三棱锥外接球的半径为，则.故答案为：2 9．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正四面体玩具可以在棱长为6的正方体内任意转动，得该正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球，如图，设四面体的边长为，其外接正方体为，则正方体棱长为，正方体与正四面体有同一个外接球， 设正方体的外接球的半径为，则，即， 而棱长为6的正方体的内切球的半径为3，即，解得， 取中点，连接，则，又平面， 于是平面，而，等腰底面上的高， 所以正四面体体积的最大值为.故选：C 10．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)（多选）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，．若，则该多面体的体积为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【详解】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积.先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，， 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面，而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故，故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故，故几何体为直棱柱， 而，故， 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为，故选：C. 11．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，则五边形的面积为______． 【答案】 【详解】连接，，，设，连接，依题意，平面，因为平面， 所以，因为，，，在直角中，，故I为VD的中点，同理，F是VB的中点，所以， 下面证明：G，H分别在的中点上， 当G，H也是中点时，，有，四边形是平行四边形， 又，则，故，又，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，故，则， 因为 均在平面内，且相交，所以平面， 故此时平面和平面即同一平面，满足题意，则G，H分别在的中点上. 又平面，又平面，所以，则，则四边形是矩形， 依题意，，，，中边上的高为， 则，四边形的面积是，故五边形的面积是. 故答案为：. 12．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)如图，在正三棱柱中，已知，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【详解】（1）解法一：是正三棱柱，平面，平面， 是正三角形，是中点， 因，平面，平面，平面 解法二：是正三棱柱，平面平面， 是正三角形，是中点， 平面平面.平面，平面 （2）在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为， 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为. 13．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. (1)已知一个半径为的半球（如图①），以及一个底面半径和高都等于的圆柱（如图②），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，试用祖暅原理求新几何体的体积. (2)已知正方体的棱长为为空间内一点，满足，记点的轨迹所围成的空间几何体为. （i）求平面截空间几何体所得截面的面积； （ii）若平面把空间几何体分成两个部分，求较小部分的体积. 【详解】（1）图①为半径为的半球，图②为底面半径和高都为的圆柱中挖掉一个圆锥， 其截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分） 设图①截面圆的圆心为，且，则截面圆的面积为， 图②截圆锥得到的小圆的半径为，所以圆环的面积为， 所以截得的截面面积相等， 由祖晅原理可知，新几何体的体积等于半球的体积，即. （2）记的中点为，因为，所以点的轨迹是以为球心，为半径的球. 记球的半径为，点到平面的距离为，截面圆的半径为. （i）球的半径， 根据勾股定理得.所以截面面积. （ii）平面把空间几何体分成两个部分，这两部称为球缺. 记较小部分球缺的体积为，根据祖晅原理及（1）分析，较小部分球缺的体积可用圆柱体积减去一个等高的圆台体积，其中圆柱的底面半径为，高为，圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为. 所以较小部分球缺的体积为， 其中，所以球缺的体积. 1．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（   ） 考点04 空间距离与求角问题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，所以异面直线与所成角是异面直线与所成角是， 因为，所以，所以，所以.故选：A 2．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是________． 【答案】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，过作交与，设，，，，设，，又和为异面直线，所以，直线的一个方向向量为，，设异面直线和所成角为，则，又，所以，故答案为：. 3．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知二面角的大小为，棱上有两个不同的点，，，，，，若，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 【答案】 【详解】在平面内过作与平行且相等的线段，过作于，连接， 则四边形为平行四边形，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，故为直线与平面所成角， 由，得二面角的平面角即为，所以，又，所以是等腰三角形，可得，，，因为，所以平面，又平面，所以，在中，由勾股定理可得，在中，，即直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：. 4．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 【答案】/ 【详解】连接，由已知在中， 又因为是的中点，所以，又且都在平面内，所以平面，所以在底面内的投影在直线上. 在中，根据勾股定理得，易知，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，则，设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以.故答案为：. 5．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】设，易知为等腰梯形，故，所以，故，若分别为的中点，连接，则，即，由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，由且都在平面内，则平面，由平面，则，综上，二面角的平面角为，且为直角三角形，由，，所以.故选：D 6．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出示意图如图所示，点在底面的投影为，且，所以平面，又平面，所以平面，过作于，连接，又，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，又，所以，所以，所以，又，在中，可得，在中，，设到平面的距离为，由，可得，所以，解得.故选：B. 7．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，所以液面的半径为1，此时液体的体积为，当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，设圆锥的底面半径为，高为，则有，即，.此时液体的体积为， 由，得，所以.故选：D. 8．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)（多选）如图，棱长为2的正方体中中，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角平面角的正切值为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【详解】对于A，连接，，，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），为等边三角形，，即异面直线与所成角为，A正确；对于B，连接， 平面，即为直线与平面所成角，，，，，，即直线与平面所成角不是，B错误；对于C，连接，交于点，连接，， 四边形为正方形，，为，中点，，，二面角的平面角为，平面，平面，，，，，，即二面角的正切值为，C正确； 对于D，连接，，，， ，，又，， 设点到平面的距离为，则，解得，即点到平面的距离为，D错误.故选：AC. 9．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)（用坐标法不给分）如图，直四棱柱中，底面为菱形，，，为中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）连交于点，∵底面为菱形，∴为线段的中点， 又∵为中点，∴为的中位线， 又∵平面，平面，平面. （2）法一：平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 又平面平面，作，平面，平面， 在中，，，， ∴ ，即点到平面的距离为. 法二：设点到平面的距离为，， 由于，因此为等腰三角形， ∴，，， 由得 ，即，解得， ∴点到平面的距离为. 10．(24-25高一下·浙江台州·期末)如图，在三棱锥中，点在平面的射影为，，，，二面角，的大小分别为，，且． (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积. 【详解】（1）因为面，且面，所以， 又因为，面，， 所以面，因为面，所以． （2）因为点在平面的射影为， 所以面，而面，故， 由题意得，且，面， 故面，因为面，所以，故O是的垂心， 如图，设于点，于，连接， 则分别是二面角，的平面角， 因为二面角，的大小分别为，，所以，， 设，则，，则． 因为，所以，故，，所以， 由已知得面，则与面所成角为，故． （3）因为，且，则， 故，则， 故， 又，得到，故解得． 由三棱锥体积公式得． 11．(24-25高一下·浙江衢州·期末)如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为． （i）求的长； （ii）点满足，求二面角的正切值． 【详解】（1）证明：连接，交于点． 因为，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，所以平面． （2）（i）取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，所以平面，所以，所以， 设，连接，则平面，且即为直线与平面所成的角. 所以，所以， 因为，所以，，，所以，所以，所以． （ii）由（i）可知为二面角的平面角，且， 连接，因为，所以，所以平面， 作于，连接，则为二面角的平面角，且， 所以，所以， 设二面角的大小为，则． 12．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，所以， 又因为分别是的中点，所以，所以， 因为，平面所以平面， 因为平面，所以. （2）在中，，，，所以， 在中，，由可得， 在中，，则， 因为平面平面，所以平面平面， 又因为平面平面，所以为直线与平面所成角， 在中，，，，所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 13．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 【详解】（1）延长，交于点，延长，交于点，连接， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 为中点，是线段上靠近的三等分点， ，，， 平面，平面，平面； （2）在直角梯形中，，，，， ，同理可得，即为等腰三角形， 为中点，，即， 在平面中，，，，，，， 是平面与平面的交线，是平面与平面的夹角的平面角， ，，，即平面与平面的夹角为； （3），，，平面， 平面， ，平面， 平面，平面平面， 在三棱锥中，设的外心为，的外心为， 过点作直线平面，过点作直线平面，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则，解得，， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为，由正弦定理得，，即， 又，要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 在上动，， ，即三棱锥的外接球半径的最小值为， ，，四边形是平行四边形， ，此时为线段上靠近的三等分点. 14．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，． (1)证明：四点共面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）由，因为平行六面体可知：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面； （2）取的中点为，连接，由于，则有， 又由余弦定理得： 所以， 又由， 则， 所以有，又因为的中点为，所以, 即就是平面与平面的夹角或其补角， 由， ， 由， ， ， 所以有，故平面与平面夹角的余弦值是. 15．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)（用坐标法不给分）已知平行六面体所有棱长均为． (1)求证：平面平面； (2)设平面与平面交于直线，求证：直线平面； (3)求二面角的平面角的正弦值． 【详解】（1）如图，设与交于点，连接， 在菱形中，，O为BD中点， 易知，所以，所以为等腰三角形，则， 又因为，平面，平面,所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）连接，易知， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面． （3）由题意知，则， 设，连接，由（1）可知，平面，所以， 因为，所以，所以为等腰直角三角形，且，取中点，连接，则 过作交于，连接，所以就是二面角的平面角， 等腰中，，同理， 所以，即， 所以，即为的中点，在中，， 即,,解得， 所以在中，，所以， 二面角的平面角的正弦值为． 16．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，． (1)若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值； (2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD； (3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. （2）∵，平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴， 又平面，平面，∴平面. （3）在上取一点，使得，连接、，， ，，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴， 又，∴， ∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴， 过点作，由，则，∴平面，平面， 即平面平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角的平面角，∴. 又由，∴，∴， ∵，， ∵，平面，平面，∴平面， ∴为与平面所成的角， ，∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 17．(24-25高一下·浙江丽水·期末)如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 因为平面，平面平面， 平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）过作，连接， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面，即为直线与平面所成角. 因为且，所以， 因为为等边三角形，又为的中点， 所以，，，,则， 在直角三角形中，，所以. 18．(24-25高一下·浙江丽水·期末)如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，过三点的平面记为，与的交点为. (1)证明：为的中点； (2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (3)若，梯形的面积为，求平面与底面所成锐二面角的正切值. 【详解】（1）延长交于点，因为， 由且都在平面内，且都在平面内， 所以平面平面，因为平面， 所以，因为，，所以， 因为，所以，即为的中点； （2）延长交于点，连接，为四棱柱， 所以为三棱柱，易知， 因为为的中点，，所以，， 所以， 因为分别是的中点，所以， 所以，即四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为. （3）由（1）知平面为平面，作，连接， 因为平面，平面，所以 因为，且都在平面内， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，即所求锐二面角的平面角， 因为分别为的中点，，所以，， 因为，所以，则，所以， 所求锐二面角的平面角的正切值为. 19．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 【详解】（1）因为，所以即为异面直线与所成角， 在中，由余弦定理，. （2）连结，交于，连结， 因为，且，所以， 所以，即，所以，， 又平面，所以平面，平面，所以. （3）由（2）知，即为二面角的平面角，即，， 当时，二面角的平面角的大小为0； 当时，作，垂足为，作，垂足为，连结， 由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在矩形中，，，所以， 又， 所以， 综上，当且仅当，即时，最大为. 20．(24-25高一下·浙江温州·期末)如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 【详解】（1）,,, , ，即，翻折后， 又平面，所以平面. （2）由（1）知，，平面平面， 所以就是二面角的平面角，即， 过作交于，连接， 平面，平面，， 又，平面， 所以平面，即就是直线AB与平面AED所成角， 又，所以， 直线AB与平面AED所成角的正弦值为. 21．(24-25高一下·浙江温州·期末)“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1），点被称为“牟合方盖”的上顶点，点为“牟合方盖”的中心．过点作平面使得． (1)求平面截“牟合方盖”所得截面的面积； (2)B，E为平面与两圆柱交线的交点，为BE的中点，过OD作平面ODSC，S，C为“牟合方盖”表面上的点且位于平面AOD同一侧，，过S作平面ABC，交边界BD于点，设． （i）当时（如图2），是否存在使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由； （ii）若，点S到平面ABR的距离为，求与． 【详解】（1）根据圆柱对称性可知，该截面图形为正方形，正方形边长， 截面面积； （2）（i）作图，连接，过S作于点， ，所以为圆柱的母线的一部分，， 过作于点，连接，， 平面，平面，， ，平面，几何图形为圆面的一部分， ，，， ，， 解得或（舍），. （ii）作图，过S作于点，过作于点， 过作，交弧于点，过作于点， 作于点，连接并延长交于点，交于点， 连接，连接并延长交于点， 因为，所以． 设，故， 所以，， 且平面，平面，， 又，平面， 平面，平面，， 在三棱锥中，，， ，，， ，，，故， 所以 1．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)（多选）已知正方体的棱长为1，点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（   ） 考点05 空间几何体中的动点问题 A．平面截正方体的截面可能为等腰梯形 B．平面截正方体的截面可能为菱形 C．点运动过程中，三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球表面积的最小值为 【答案】ACD 【详解】截面可能为等腰梯形或矩形，不可能为菱形，故A正确，B错误；对于C，因为平面，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值；对D选项，如图，分别取左右侧面的中心，，则三棱锥的外接球的球心在线段上.设为，则，设，则，又，外接球的半径.在与中，由勾股定理得，，两式相减得：，所以，所以三棱锥的外接球表面积，D正确.故选:ACD. 2．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（   ）   A．当M，P分别为线段，中点时，， B．取得最小值 C．当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D．对任意点M，平面平面 【答案】BCD 【详解】对于A.如图，，，，所以当点是的中点时，与不垂直，故A错误；  对于B.如图，等腰直角三角形和直角三角形展成一个平面，当三点共线时，此时最小，为，，，，故B正确；   对于C.四面体的外接球和四棱锥是同一个外接球，可以将四棱锥补成如图的长方体，所以外接球的直径，即，所以外接球的体积，故C正确；  对于D.如图，平面，平面，所以， 且，且，且平面，所以平面，平面，所以，同理，且，且平面，所以平面，平面，所以平面平面，故D正确.   3．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)（多选）在棱长为3的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，满足平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．三棱锥的体积是定值 C．动点的轨迹是一条圆弧，长度为 D．动点的轨迹是一条线段，长度为 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可知，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体外接球的半径为正方体的体对角线，设正方体外接球的半径为，则，即，所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；对于B，因为平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C，取、的中点，连接、、、，如图所示，   因为且，所以四边形为平行四边形，所以，同理可得，又，所以，又因为平面，平面，且，平面，平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面，又为侧面内一动点，所以点的轨迹为线段，故C错误； 对于D，由C可知，点的轨迹为线段，则，故D正确. 故选：ABD. 4．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)（多选）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 【答案】ACD 【详解】对于A，如图所示球的半径，为直径，中点为P，则有.根据球的性质可知，球面上一点到球内一点的最大距离为球的半径，加上该点到球心的距离，即，故A正确； 对于B，过P作球O的截面，当垂直于截面时，截面圆的半径最小，由勾股定理可知，所以截面面积的最小值为，故B错误； 对于C，如图所示：若正方体的外接球是球O，设正方体的棱长为， 则有，由可知.已知球心到正方体各面的距离为，又因为， 所以点P到该正方体各面距离的最大值是，故C正确； 对于D，如图所示若正四面体的外接球是球O，取的中点为，连接，设在底面的射影为，则在上，且，设正四面体的棱长为，则正四面体的高，又因为外接球半径， 由可知，，.所以点与正四面体的每个面的交线是一个圆，截面圆的半径，周长为，所以点P在该正四面体上的轨迹长度是，故D正确. 故选：ACD 5．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取正方体的上底面的各边中点， 过作于，作于，则平面，平面， 平面，则，，同理可得. 由于, 因此,故,同理可得, 因此只需要在正方形内考虑，即 等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内.故选：B. 6．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知正三棱柱的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱的中点，点为线段EF上的动点，直线AM与平面交于点，则点的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接AE，AF，分别交，于点P，Q，连接.因为点M在线段EF上运动，故AM在平面AEF内，又因为线AM与平面交于点N，故点N的轨迹为平面AEF与平面的交线，即线段PQ，在，，中，可得，，F分别为棱AC，的中点，故≌，，，，即，，，，同理，，故，且，故选：B. 7．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为4的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（       ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，取值最小时，其在平面内，其在平面的交线为如图所示的圆弧.故取值最小时，三点共线，通过点作于，则，又，故，所以，解得，从而，因此. 故选：C. 8．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线，点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系，， 又是异面直线上的点，所以的最小值为异面直线的距离， ，，设与直线都垂直的一个向量，则，不妨取，，所以异面直线的距离.故选：C. 9．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正方体棱长为2，平面，当点是靠近点的四等分点时，， 则平面，此时直线与平面所成角的正弦值最大为1，当点与重合时，此时最长，即,点到平面的距离为，此时直线即与平面所成角的正弦值最小，为，所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.   故选：D 10．(24-25高一下·浙江温州·期末)（多选）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（    ） A．线段AB与GH所在的直线是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．存在点，使得 D．记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】根据正方体的展开图画出该正方体的原图，如下图所示： 对于A：线段AB与GH所在的直线既不平行也不相交，故A错误；对于B：因为的面积为定值，点到平面的距离也为定值，根据三棱锥体积公式可知三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C： 如图，连接，则，设，由余弦定理可得 ，而，由余弦定理可得，故 , 故始终为钝角，故C错误.对于D：取的中点为，连接，过作，垂足为，由正方体的性质可得平面，而平面，故，故，故平面，故为到平面的距离，将平展到一个平面中，如图所示，，在直角三角形中，斜边，故，故，故的最小值即为到直线的距离，该距离为，故D正确.故选：ABD. 11．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)（多选）如图，在圆锥中，，点为线段上的动点，则（   ） A． B．圆锥的侧面积为 C．直线与所成角为 D．当为线段中点时，直线与平面所成角的正弦值最大 【答案】BCD 【详解】A选项，由题意得，由勾股定理得，A错误； B选项，圆锥的侧面积为，B正确； C选项，连接并延长，交底面圆于点，连接，则， 因为，，所以， 故均为等腰直角三角形，则，故， 所以或其补角即为直线与所成角， 又，故为等边三角形，故，C正确； D选项，由C知，，又⊥平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 连接，则即为直线与平面所成角，其中， 则，当为线段中点时，因为，所以⊥， 此时取得最小值，故取得最大值， 直线与平面所成角的正弦值最大，D正确. 故选：BCD 12．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)（多选）已知正方体的棱长为分别是的中点，过作平面，记平面平面，且截正方体所得截面多边形为，则（    ） A．若平面，则与平面所成的角为 B．若平面，则与所成的角为 C．若，则的周长为 D．若，以为顶点，为底面的几何体的外接球的表面积为 【答案】BCD 【详解】A，如下图，平面平面，因为平面平面， 由面面平行的性质定理知，又直线与平面所成的角为， 所以，则与平面所成的角的正切值为，A错误. B，平面平面，因为平面平面，所以. 根据A知，所以与所成的角与与所成的角大小相等.又因为在矩形中，是的中点，根据，易得.所以与所成的角为正确. C，由题设易知，而，则，由平面，平面，则， 由且都在平面内，则平面，由平面，则， 若为的中点，同理可证，且都在平面内，所以平面，若，显然平面即为，所以是边长为的正六边形，周长为，C正确. D，设正六边形中心为，球心为，半径为，则， 所以，所以，外接球表面积为，D正确. 故选：BCD 13．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)（多选）在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（       ） A．若，则点在平面上 B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C．若，则的最小值为 D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为 【答案】AD 【详解】对于A，当时，可得，所以，所以点在平面上，故A正确；对于B，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值，要使与面所成角最小，则的值最大，由题意，故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误； 当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离， 由勾股定理可得，，， 由余弦定理可得，所以，所以，设到平面的距离为，由，得，所以，解得，故C错误；当，即在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆组弧，圆弧交于点，可得，所以，所以，所以，当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的，所以轨迹长度为， 在平面内的轨迹与在内的相同为，在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为，所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确.故选：AD. 14．(24-25高一下·浙江丽水·期末)（多选）已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（    ） A．若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为； B．若P在线段A1B上运动，则的最小值为； C．若p在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 D．若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为. 【答案】ACD 【详解】对于A，如图（1），由AB∥CD，知∠BAP即为异面直线AP与CD所成角，正方体的棱长为1，连结BE，在Rt△ABE中，AB＝1，BE，tan，故A正确；对于B，如图（2），将△AA1B与四边形A1BCD沿A1B展开到同一个平面上，如图所示，由图知，线段AD1的长度即为AP+PD1的最小值，在△AA1D1中，利用余弦定理得AD1，故B错误；对于C，如图（3），当P为中点时，三棱锥P﹣ABC体积最大，此时三棱锥P﹣ABC的外接球球心是AC中点，半径为，其表面积为2π，故C正确；对于D，如图（4），平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，只需与过同一顶点所成的角相等即可，如图，AP＝AR＝AQ，则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等，若点E、F、G、H、M、N分别为相应棱的中点，可得平面EFGHMN∥平面PQR，且六边形EFGHMN是正六边形，正方体棱长为1，∴正六边形EFHMN的边长为，∴此正六边形的面积为，为截面最大面积，故D正确．故选：ACD． 15．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹是一条线段 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径，所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．由正方体的性质可得， 且平面，平面，所以∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，故B正确；对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为定值，同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确；对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．因为截面平面，平面平面，所以．同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点．在四棱锥中，侧棱最长，且．设棱锥的高为h，因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，则，，所以，解得． 综上，可知长度的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 16．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)（多选）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，，平面ABCD，E为PB上动点，过点E作垂直BD的截面，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得 B．存在点E，使得二面角E-AC-D为 C．存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为 D．存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为 【答案】ACD 【详解】对于A，连接，由勾股定理得，因为平面ABCD，平面，所以，由勾股定理得，故，在PB上取点，使得，则，在中，由余弦定理得，由于，故⊥，A正确； B选项，设，连接，因为平面ABCD，平面，所以， 又，，平面，所以平面，因为平面，所以，故即为二面角E-AC-D的平面角，显然，当重合时，取得最小值，此时，由于在上单调递增，且，所以，不存在点E，使得二面角E-AC-D为，B错误； C选项，过点作⊥于点，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面ABCD，所以， 因为平面，平面，所以平面，过点作交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面ABCD，平面，所以，又，，平面，所以⊥平面，故⊥平面，所以即为直线AE与平面所成的角，设，，则，，所以， 由勾股定理得，令，解得，故存在点E，使得直线AE与平面PCD所成角为，C正确； D选项，当点为中点时，此时，故⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面，交线为，因为⊥，所以⊥平面，即三角形即为截面截该四棱锥截得的截面，此时，故当靠近点时，过点作交于点，过点作，分别交于点，连接， 五边形即为截面截四棱锥截得的截面，设，，则，，故，，故，，故，所以五边形的面积为，令得，令，对称轴为，，，， 故由零点存在性定理得，在和上均存在一个零点，故存在点E，使得截面截该四棱锥截得的截面面积为，D正确.   故选：ACD 17．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（   ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点F的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为 D．若过A、M、三点作正方体的截面Ω，Q为Ω上一点，则线段长度最大值为 【答案】AC 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径，所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．由正方体的性质可得，且平面，平面，所以平面，同理可得：平面，且，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，其长度为，故B错误；对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为H到平面的距离，过点B作， 因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上， 因为截面平面，平面平面，所以， 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点， 在四棱锥中，侧棱最长，且，故D错误.故选：AC. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $