第8讲 牛顿第二定律的综合应用 课件——2027届高考物理一轮复习考点精讲

该高中物理高考复习课件聚焦“牛顿第二定律的综合应用”专题，依据高考评价体系梳理了连接体问题（整体法、隔离法）和临界极值问题（临界条件、极值解法）两大核心考点，通过真题分析明确共速连接体、相对滑动临界等高频考点权重，归纳绳杆弹簧连接、叠放体等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法建模+素养提升”策略，如以2025·安徽卷关联速度题为例，解析隔离法与临界条件判断，培养科学思维和运动与相互作用观念。提炼共速连接体“分配协议”等解题模型，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升学生高考冲刺得分率。

第8讲　牛顿第二定律的综合应用 【学习目标】1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。 2.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。 考点一　动力学中的连接体问题 考点二　动力学中的临界和极值问题 内 容 索 引 课时作业 1 　　多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。 考点一　动力学中的连接体问题 2 两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。 ①绳的拉力(或物体间的弹力)相关类连接体 考向一　共速连接体 ②叠加类连接体(一般与摩擦力相关) 3 如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料相同，现用力F向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下列说法中，正确的是(　 　) A.若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大 B.若木块和地面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为＋μm1g C.绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关 D.绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关 例 1 【解析】 若设木块和地面间的动摩擦因数为μ，以两木块整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F－μ(m1＋m2)g=(m1＋m2)a，得a=，以木块1为研究对象，根据牛顿第二定律有FT－μm1g=m1a，得a=，系统的加速度与木块1的加速度相同，联立解得FT=F，可知绳子拉力大小与动摩擦因数μ无关，与两木块质量大小有关，无论水平面是光滑的还是粗糙的，绳的拉力大小均为FT=F，且m2越大，绳的拉力越小，C正确，A、B、D错误。 C 4 两个质量分别为m1和m2的木块1和木块2，中间用一条轻绳连接。 拓展1 甲 乙 (1)如图甲所示，用力F竖直向上拉物体时，绳的拉力为_____________；    (2)如图乙所示，用力F沿光滑斜面向上拉物体时，绳的拉力为____________；斜面不光滑时 绳的拉力为___________。    　 5 若质量为m1和m2的木块A和B叠放在一起，放在光滑水平面上，B在拉力F的作用下， A、B一起(相对静止)做匀加速运动，则A受到的摩擦力为_____________。  拓展2 6 a、b两物体的质量分别为m1、m2，由轻质弹簧相连。如图甲所示，当用大小为F的恒力竖直向上拉着a，使a、b一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x1；如图乙所示，当用大小仍为F的恒力沿水平方向拉着a，使a、b一起沿光滑水平桌面做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2。下列说法中，正确的是(　 　) A.x1一定等于x2 B.x1一定大于x2 C.若m1＞m2，则x1＞x2 D.若m1＞m2，则x1＜x2 例 2 【解析】 在竖直方向上运动时，以整体为研究对象，由牛顿第二定律有F－(m1＋m2)g=(m1＋m2)a1，以物体b为研究对象，由牛顿第二定律有kx1－m2g=m2a1，联立解得kx1=；在水平方向上运动时，以整体为研究对象，由牛顿第二定律有F=(m1＋m2)a2，以物体b为研究对象，由牛顿第二定律有kx2=m2a2，联立解得kx2=，所以x1=x2，A正确，B、C、D错误。 甲 乙 A 7 共速连接体对合力的“分配协议” 一起做加速运动的物体系统，若外力F作用于m1上，则m1和m2的相互作用力FT=，若作用于m2上，则FT=。此“协议”与有无摩擦力无关(若有摩擦力，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同)，与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关，而且无论物体系统处于平面、斜面还是竖直方向，此“协议”都成立。 技能点拨 8 轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。下面三种情况中A、B两物体速度和加速度大小相等，方向不同。 考向二　关联速度连接体 9 (2025·安徽卷)如图所示，装有轻质光滑定滑轮的长方体木箱静置在水平地面上，木箱上的物块甲通过不可伸长的水平轻绳绕过定滑轮与物块乙相连。乙拉着甲从静止开始运动，木箱始终保持静止。已知甲、乙质量均为1.0 kg，甲与木箱之间的动摩擦因数为0.5，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则在乙下落的过程中(　 　) A.甲对木箱的摩擦力方向向左 B.地面对木箱的支持力逐渐增大 C.甲运动的加速度大小为2.5 m/s2 D.乙受到绳子的拉力大小为5.0 N 例 3 【解析】 因为物块甲向右运动，木箱静止，根据相对运动，甲对木箱的摩擦力方向向右，A错误；设乙运动的加速度为a，只有乙有竖直向下的恒定加速度，对甲、乙和木箱，由整体法，竖直方向受力分析有FN=M总g－ma，则地面对木箱的支持力大小不变，B错误；设绳子的弹力大小为FT，对甲受力分析有FT－μmg=ma，对乙受力分析有mg－FT=ma，联立解得a=2.5 m/s2，FT=7.5 N，C正确，D错误。 C 10 (多选)如图所示的装置叫作阿特伍德机，是阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。绳子两端的物体下落(或上升)的加速度总是小于自由落体加速度g。已知物体A、B的质量相等，均为4m，物体C的质量为2m，不计一切摩擦，轻绳不可伸长且足够长，现将装置由静止释放。下列说法中，正确的有(　 　) A.物体C的加速度大小为 B.物体C的加速度大小为 C.物体C对B的拉力大小为 D.物体C对B的拉力大小为 例 4 【解析】 对A、B、C整体由牛顿第二定律得a=g，即物体C的加速度为，A正确，B错误；对物体C分析可知2mg－FT=2ma，解得FT=，由牛顿第三定律知物体C对B的拉力为，C正确，D错误。 AC 11 关联速度连接体做加速运动时，由于加速度的方向不同，一般分别选取研究对象，对两物体分别由牛顿第二定律列方程，用隔离法求解加速度及相互作用力。 技能点拨 12 1.常见的临界条件 (1)两物体脱离的临界条件：FN=0。 (2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT=0。 (4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力为零。 考点二　动力学中的临界和极值问题 13 2.解题基本思路 (1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)； (2)寻找过程中变化的物理量； (3)探索物理量的变化规律； (4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。 3.解题方法 极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学方法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 14 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B的质量分别为mA=6 kg，mB=2 kg，A、B之间的动摩擦因数μ=0.2(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，拉力F作用于物体A，开始时F=10 N，此后逐渐增大，在增大到45 N的过程中，则(g取10 m/s2)(　 　) A.当拉力F＜12 N时，物体均保持静止状态 B.两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N后，开始相对运动 C.两物体从受力开始就有相对运动 D.两物体始终没有相对运动 例 5 【解析】 当A、B间的静摩擦力达到最大静摩擦力(等于滑动摩擦力)时，A、B才会发生相对运动。此时对B有Ffmax=mBa，而Ffmax=μmAg=12 N，a=6 m/s2，即二者开始相对运动时的加速度为6 m/s2，此时对A、B整体有F=(mA＋mB)a=48 N，即F＞48 N后，A、B才会有相对运动，A、B、C错误，D正确。 D 考向一　相对滑动的临界问题 15 (多选)(2025·温州模拟)如图所示，倾角为θ=37°的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的挡板相连，另一端与物块B拴接，物块A紧挨着物块B，两物块相对斜面静止。现对A施加沿斜面向上的拉力，使A、B一起沿斜面做加速度大小为g的匀加速直线运动直到A、B分离。A、B的质量分别为2m、m，重力加速度为g，sin 37°=0.6，下列说法中，正确的有(　 　) A.施加拉力的瞬间，A、B间的弹力大小为mg B.A、B分离瞬间弹簧弹力大小为mg C.整个过程中拉力先增大后不变 D.拉力F的最大值为2mg 考向二　恰好脱离的临界问题 例 6 AB 16 【解析】 施加拉力之前，A、B整体受力平衡，根据平衡条件有F弹=3mgsin θ，施加拉力瞬间A、B开始向上一起做加速度大小为a=g的匀加速直线运动，对A、B整体，根据牛顿第二定律有F＋F弹－3mgsin θ=3ma，解得F=mg，对A，根据牛顿第二定律有F＋FBA－2mgsin θ =2ma，解得A、B间的弹力大小为FBA=mg，A正确；分离时，A、B间作用力为0，F最大，对A根据牛顿第二定律得Fmax－2mgsin θ=2ma，解得Fmax=mg，对B根据牛顿第二定律有F弹'－mgsin θ=ma，解得A、B分离瞬间弹簧弹力大小为F弹'=mg，B正确，D错误；根据以上分析可知整个过程中拉力F一直增大，C错误。 17 (多选)如图所示，质量mB=2 kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一质量mA=1 kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a=2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k=600 N/m，g=10 m/s2。下列说法中，正确的有(　 　) A.变力F的最小值为2 N B.变力F的最小值为6 N C.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s D.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s 例 7 【解析】 A、B整体受力产生加速度，则有F＋FNAB－(mA＋mB)g=(mA＋mB)a，可得F=(mA＋mB)a＋(mA＋mB)g－FNAB，当FNAB最大时，F最小，即刚开始施力时，FNAB最大且等于A和B的重力之和，则Fmin=(mA＋mB)a=6 N，A错误，B正确；刚开始，弹簧的压缩量为x1= =0.05 m，A、B分离时，其间恰好无作用力，对托盘B，由牛顿第二定律可知kx2－mBg=mBa，得x2=0.04 m，物块A在这一过程的位移为Δx=x1－x2=0.01 m，由运动学公式可知v2=2aΔx，代入数据得v=0.2 m/s，C正确，D错误。 考向三　动力学中的极值问题 BC 18 若对小物块A施加竖直向上的恒力F=mAg，则A、B分离前做什么运动？分离时，A的加速度大小为多少？ 【解析】 A、B整体向上做加速度减小的加速运动，分离时FAB=0，对A分析，mAg－mAg= mAa，得分离时，A的加速度大小为a=。 【答案】 加速度减小的加速运动　 拓展 19 课时作业 20 答案速对 第三单元 第8讲　牛顿第二定律的综合应用 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A AD B A C AC B 题号 8 9 10 11 12 答案 AB C BD (1)g　(2)3g BC 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 21 1.如图所示，用水平恒力推小车使之与货物一起做匀加速直线运动，小车质量为M，货物的质量为m，它们的共同加速度为a。货物与小车间的动摩擦因数为μ，小车与地面间的摩擦力不计，重力加速度为g。在运动过程中(　 　) A.水平恒力的大小为(M＋m)a B.小车对货物的摩擦力大小一定为μmg C.小车对货物的作用力大小为ma D.小车受到的合力为0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 22 2.(多选)如图所示，质量分别为m1、 m2的两个物体A、B通过轻弹簧连接。在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动。A在空中，B在地面上。力F与水平方向成θ角，则下列关于B受到的支持力FN和摩擦力Ff的表述中，正确的有(　 　) A.FN=m1g＋m2g－Fsin θ B.FN=m1g＋m2g＋Fcos θ C.Ff=Fsin θ D.Ff=Fcos θ 【解析】 对两个物体构成的整体进行分析，根据平衡条件有Fcos θ=Ff，Fsin θ＋FN=(m1＋m2)g，解得Ff=Fcos θ，FN=m1g＋m2g－Fsin θ，A、D正确。 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 23 3.(2026·绍兴一模)如图所示的链条由5个相同的链环组成，在竖直向上恒力F作用下链条向上做匀加速直线运动，忽略一切阻力，下列说法中，正确的是(　 　) A.链环5受到的合力最大 B.链环3对链环2的作用力大小为0.4F C.若突然撤去恒力F，则链条立即做自由落体运动 D.链环2对链环1的作用力大于链环1对链环2的作用力 【解析】 据牛顿第二定律F合=ma，所有链环加速度a相同(匀加速运动)，且质量相同(相同链环)，因此每个链环的合力大小相等，A错误；设每个链环质量为m，先对整体(5个链环)应用牛顿第二定律：F－5mg=5ma，解得加速度a=－g。再对链环1和链环2(总质量2m)隔离分析，设链环3对链环2的作用力为T，则：T－2mg=2ma，将a=－g代入，化简得：T=2mg＋2m=0.4F，B正确；突然撤去恒力F后，链条仅受重力，加速度为g。但链条原有向上的速度，因此做竖直上抛运动，C错误；根据牛顿第三定律，链环2对链环1的作用力与链环1对链环2的作用力是相互作用力，大小相等、方向相反，D错误。 B 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 24 4.如图所示，在倾角为α的固定光滑斜面上，有一用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫。已知猫的质量是木板的质量的2倍。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变。重力加速度为g，则此时木板沿斜面下滑的加速度为(　 　) A.3gsin α B.gsin α C.gsin α D.2gsin α 【解析】 设猫的质量为m，以猫为研究对象，f=mgsin α；以木板为研究对象，gsin α＋f=a，可得a=3gsin α，A正确。 A 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 25 5.如图所示，长度为L的绳静止在粗糙水平地面上，绳的质量分布均匀，并且与地面间的动摩擦因数处处相等。若对绳的右端施加水平向右的恒力F，使其向右运动，则绳上与其右端距离为x处的拉力大小为(　 　) A.F B.F C.F D.0 【解析】 设绳的质量为m，对整条绳由牛顿第二定律有F－μmg=ma，左侧长度为(L－x)的部分绳的质量为m，以它为研究对象，则有F'－μmg=ma，联立解得绳上与其右端相距x处的拉力大小F'=F，C正确。 C 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 26 6.(多选)质量为m的小物块，沿倾角为θ、质量为M的斜面匀减速上滑，如图所示，物块上滑过程中，斜面始终静止在地面上，下列叙述中，正确的有(重力加速度为g)(　 　) A.地面受到斜面的压力小于(m＋M)g B.地面受到斜面的压力大于(m＋M)g C.地面受到斜面的摩擦力方向平行地面向右 D.地面受到斜面的摩擦力方向平行地面向左 【解析】 物块减速上滑，则加速度沿斜面向下，以物块和斜面整体为研究对象，物块上滑过程中，具有向左的分加速度，则地面对斜面有向左的摩擦力作用，由牛顿第三定律可知，地面受到斜面的摩擦力方向平行地面向右。同时物块具有向下的分加速度，则物块处于失重状态，故地面对斜面的支持力小于(m＋M)g，由牛顿第三定律可知，地面受到斜面的压力小于(m＋M)g，A、C正确。 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 27 7.如图所示，在粗糙水平地面上静置一个截面为等腰三角形的斜劈A，其质量为M，两个底角均为30°。两个质量均为m的小物块p和q，p恰好能沿侧面匀速下滑，q沿斜面匀减速下滑。重力加速度为g，则在p和q下滑的过程中，下列说法中，正确的是(　 　) A.斜劈A对地面的压力大小等于(M＋2m)g B.斜劈A对地面的压力大于(M＋2m)g C.地面对斜劈可能没有摩擦力 D.斜劈A受到地面向右的摩擦力作用 【解析】 由题意可知，p、A处于平衡状态，q匀减速下滑，具有沿斜面向上的加速度a，利用整体法分析，具有竖直向上的分加速度，故地面的支持力FN＞(M＋2m)g，由牛顿第三定律知斜劈A对地面的压力大于(M＋2m)g，又因具有水平向左的分加速度，故地面对斜劈的静摩擦力向左，A、C、D错误，B正确。 B 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 28 8.(多选)(2025·杭州模拟)两倾斜的平行杆上分别套着a、b两相同圆环，两环上均用细线悬吊着相同的小球，如图所示。当它们都沿杆向下滑动，各自的环与小球保持相对静止时，a的悬线与杆垂直，b的悬线沿竖直方向，下列说法中，正确的有(　 ) A.a环沿杆做匀加速直线运动 B.b环与杆有摩擦力 C.d球处于失重状态 D.细线对c、d球的弹力大小相等 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 29 【解析】 c球受重力和拉力两个力，两个力的合力不等于零，设拉力F与竖直方向的夹角为θ，受力如图所示， c球与a环以共同的加速度向下滑，对c球有a==gsin θ，则a环的加速度为gsin θ，做匀加速直线运动，A正确；对球d隔离分析，只受重力和竖直方向的拉力，因此球d的加速度为零，因为b和d相对静止，因此b的加速度也为零，可知b环受重力、支持力、拉力和摩擦力处于平衡，d球处于平衡状态，加速度为零，不是失重状态，B正确，C错误；根据共点力平衡，可得细线对c球的拉力Tc=mgcos θ，根据共点力平衡，可得对d球的拉力Td=mg，细线对c、d球的弹力大小不相等，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 30 9.(2025·金华模拟)如图所示，甲、乙两个物块叠放在一起，恰随车厢一起向右做匀加速直线运动，甲与竖直厢壁之间的静摩擦力达最大值，甲的水平上表面与乙之间的静摩擦力也达到最大值。已知乙的质量为m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，甲与厢壁间的动摩擦因数为μ，则(　 　) A.甲、乙整体的加速度大小为μg B.乙对甲的作用力大小为 C.甲、乙之间的动摩擦因数为 D.可以求出甲、乙的质量之比 【解析】 对甲、乙整体由牛顿第二定律FN=(M＋m)a，μFN=(M＋m)g，解得a=，A错误；甲对乙的摩擦力f=ma=，甲对乙的压力为mg，则甲对乙的作用力为F甲乙=，则乙对甲的作用力大小为F乙甲=，B错误；对乙分析可得μ'mg=ma，可得甲、乙之间的动摩擦因数为μ'=，C正确；由题中条件不可以求出甲、乙的质量之比，D错误。 C 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 31 10.(多选)如图所示，一质量M=3 kg、倾角为α=45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m=1 kg的光滑楔形物体。用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动。重力加速度g=10 m/s2，下列判断中，正确的有(　 　) A.系统做匀速直线运动 B.F=40 N C.斜面体对楔形物体的作用力大小为5 N D.增大力F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动 【解析】 对整体受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律有F=(M＋m)a，对楔形物体受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律有mgtan 45°=ma，联立可得F=40 N，a=10 m/s2，A错误，B正确；斜面体对楔形物体的作用力FN2=mg=10 N，C错误；增大力F，则斜面体在水平方向的加速度增大，则斜面体对楔形物体的支持力也增大， 则支持力在竖直方向的分力大于重力，有向上的加速度，所以楔形 物体将会相对斜面体沿斜面向上运动，D正确。 甲 乙 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 32 11.(2025·温州模拟)如图所示，一条轻绳上端系在车的左上角的A点，另一条轻绳一端系在车左端B点，B点在A点的正下方，A、B距离为b，两条轻绳另一端在C点相结并系一个质量为m的小球，轻绳AC长度为b，轻绳BC长度为b、两条轻绳能够承受的最大拉力均为2mg。 (1)轻绳BC刚好被拉直时，车的加速度是多大？ 【解析】 绳BC刚好被拉直时，小球受力如图甲所示， 因为 AB=BC=b，AC=b，所以绳BC方向与AB垂直，有cos θ=，得θ=45°；由牛顿第二定律得mgtan θ=ma，可得a=g。 【答案】 g　 甲 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 33 (2)在不拉断轻绳的前提下，求车向左运动的最大加速度是多大？ 【解析】 小车向左的加速度增大，AB、BC绳方向不变，而AC绳在竖直方向的分力等于重力，所以AC绳拉力不变； 随着加速度的增大，BC绳拉力变大，BC绳拉力最大时，小车向左的加速度最大，小球受力如图乙所示， 由牛顿第二定律，得T m＋mgtan θ=ma m，其中T m=2mg，所以最大加速度为am=3g。 【答案】 3g 乙 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 34 12.(多选)如图所示，A、B物块间的接触面与斜面平行，从斜面上静止释放后，保持相对静止一起沿斜面加速下滑。已知A的质量为m，A、B之间的动摩擦因数为μ1，B与斜面之间的动摩擦因数为μ2，重力加速度为g。下列说法中，正确的有(　 　) A.A、B间的摩擦力为μ1mgcos θ B.A、B间的摩擦力为μ2mgcos θ C.若斜面光滑，则A、B间的摩擦力为0 D.μ1可能小于μ2 【解析】 设B物块的质量为mB，对A、B整体由牛顿第二定律得(m＋mB)gsin θ－μ2(m＋mB)gcos θ=(m＋mB)a，解得a=gsin θ－μ2gcos θ，设A、B间静摩擦力大小为f，B对A的静摩擦力方向沿斜面向上，规定沿斜面向下为正方向，对A由牛顿第二定律得mgsin θ－f=ma，得f=μ2mgcos θ，若斜面光滑，则μ2=0，A、B间的摩擦力为0，A错误，B、C正确；因A、B间的最大静摩擦力Fm=μ1mgcos θ＞f，即μ1mgcos θ≥μ2mgcos θ，所以μ1≥μ2，μ1不可能小于μ2，D错误。 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 35 $