精品解析：河北省滦州市第一中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

高二数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 4. 已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 81 5. 已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 当时取得最大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时取得极小值 6. 网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（ ） 参考公式：，参考数据：，． A. 0.99 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96 7. 某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C. 将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有360种 D. 7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 10. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. C. 函数在区间上单调递减 D. 函数有两个不同的零点，，且 三、填空题（共15分） 12. 若随机变量的分布列为，则______. 13. 已知函数，则______． 14. 2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 四、解答题 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求函数的单调区间. 17. 某班数学兴趣小组为研究本班同学的锻炼频次与身体素质指标的关系，统计得到5名同学每周锻炼频次与身体素质指标的数据如下： 锻炼频次（） 2 4 5 6 8 身体素质指标（） 30 40 50 60 70 （1）若，之间具有线性相关关系，试建立，之间的经验回归方程，并预测每周锻炼频次为9次的同学的身体素质指标； （2）依据表中数据，在这5名同学中任取三人，记身体素质指标大于等于50的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：①参考数据：，； ②经验回归方程的斜率和截距最小二乘估计公式分别为，． 18. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故， 故复数的虚部为. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为随机变量，所以，所以相应的正态曲线关于轴对称， 则. 3. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解． 【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种， 再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 所以不同的选择方案共有种． 故选：B 4. 已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 81 【答案】D 【解析】 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16 所以，解得， 所以展开式中所有项的系数和为. 5. 已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 当时取得最大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】分析出的正负，进而得出的单调区间和极值即可求解． 【详解】当时，，所以在和上单调递增，故A错误； 当时，，所以在和上单调递减，故C错误； 所以当和3时，取得极大值，又与的大小未知，故无法判断最大值， 当时，取得极小值，故B错误，D正确． 6. 网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（ ） 参考公式：，参考数据：，． A. 0.99 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】代入相关系数公式求解即可. 【详解】由题意，得，，， ，所以． 7. 某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件， 则，，，，，， 故. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 二、多选题（共18分） 9. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C. 将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有360种 D. 7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：可以看作从7个人中取2个人的排列；对于B：先从男生中选1个，再从女生中选1人，进而可得；对于C：利用捆绑法，先把女生看成一个整体，再与男生排列；对于D：先排列再把男生的顺序排除. 【详解】对于选项A：从7个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 对于选项B：从7个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 对于选项C：排列3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与4个男生一起排列有种情况，共有种情况，故C错误； 对于选项D：7名学生排成一排，共有种情况，已知4名男生已排好，则需要把男生的顺序排除，共有种情况，故D正确. 10. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分布列的性质和期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可判断AB选项，可得出的分布列，利用方差公式可判断C选项，利用分布列的性质可判断D选项. 【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 所以离散型随机变量的分布列为 故， ，BCD都对，A错. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. C. 函数在区间上单调递减 D. 函数有两个不同的零点，，且 【答案】BD 【解析】 【分析】直接求函数定义域即可判断A；代入化简得即可判断B；求导，利用导数判断函数单调性即可判断C；先确定零点存在性，再结合B可判断D． 【详解】A选项，由题意可知且，解得且， 函数的定义域为，A选项错误； B选项，，因此B选项正确； C选项，，函数在和上单调递增，因此C选项错误； D选项，因为， 所以存在唯一的，使得． 由选项B可知， 因此函数有两个不同的零点． 不妨设，则． 三、填空题（共15分） 12. 若随机变量的分布列为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质结合组合数及二项式系数和计算求解. 【详解】根据分布列的性质，得，解得. 13. 已知函数，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】借助导数运算法则计算即可得解. 【详解】，则，故. 14. 2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定每人分配监考项数，利用排列、组合综合问题，结合排除法列式求解. 【详解】将6项不同的考试分配给小明、小浩、小文三人，每人至少1项，至多3项，有和两种分配方案， 因此总分配方案数为， 小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，当小明不监考这两项， 即小明监考其余4项，有以下两种情况： 当每人按分配时，小明从其余4项中选2项方案数为种； 当每人按分配时，小明可能选1项，2项，3项，方案数为种； 所以小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，三人不同的监考安排方案种数为：种. 四、解答题 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2）243 【解析】 【小问1详解】 令，得，即， 令，得， 则 . 【小问2详解】 令，得 ， 则 . 16. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. 【解析】 【小问1详解】 ， 由得曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由得或；得； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 17. 某班数学兴趣小组为研究本班同学的锻炼频次与身体素质指标的关系，统计得到5名同学每周锻炼频次与身体素质指标的数据如下： 锻炼频次（） 2 4 5 6 8 身体素质指标（） 30 40 50 60 70 （1）若，之间具有线性相关关系，试建立，之间的经验回归方程，并预测每周锻炼频次为9次的同学的身体素质指标； （2）依据表中数据，在这5名同学中任取三人，记身体素质指标大于等于50的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：①参考数据：，； ②经验回归方程的斜率和截距最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）经验回归方程，预测身体素质指标为 （2）的分布列为： 数学期望为【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求解线性回归方程，代入自变量完成预测； （2）确定超几何分布模型，计算对应概率得到分布列，结合期望公式求解数学期望. 【小问1详解】 ，. ， ， 因此经验回归方程为. 将代入方程，得， 即每周锻炼频次为9次的同学身体素质指标预测值为. 【小问2详解】 身体素质指标大于等于50的同学有3人，小于50的同学有2人. 随机变量表示抽取3人中身体素质指标大于等于50的人数，则的可能取值为. ， 的分布列为： . 18. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 【答案】（1）（i）分布列见解析，2；（ii） （2）244.8元 【解析】 【分析】（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解； （2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望. 【小问1详解】 （i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. 【小问2详解】 设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则； ； ； ； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定函数的单调性即可； （3）将问题化为的图象与直线有两个不同的交点，并应用导数研究函数性质，利用其图象分析参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 又，则， 切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， ∴， 若，则，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， 所以，则 ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， 所以a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $