2025-2026学年高一下学期物理期末复习解答题精练：机械能守恒定律

**基本信息** 聚焦机械能守恒定律，通过基础、中档、压轴三级梯度训练，系统覆盖单一物体到复杂系统的能量转化问题，强化能量观念与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题|7小题|单一物体机械能守恒与动能定理直接应用，如光滑轨道、轻绳连接体|从机械能守恒条件判断切入，建立动能与势能转化的基本模型| |中档题|10小题|系统机械能守恒、圆周运动临界条件，如轻杆模型、含摩擦多过程|拓展至多物体系统，结合牛顿运动定律分析能量转化中的临界状态| |压轴题|10小题|综合弹簧、传送带、复合轨道，涉及变力做功与能量损耗，如轨道组合、风洞力|整合多过程能量转化，深化动能定理与机械能守恒的综合应用，提升科学推理与模型建构能力|

高一下物理期末复习解答题精练：机械能守恒定律 （三大部分，共27小题） 第一部分：基础题 1．如图所示，光滑曲线轨道ABCD，其中BC段水平，一质量为m＝0.5kg的小球从轨道上距水平面BC高为h＝0.8m的A点由静止释放，沿轨道滑至D点后飞出，最终落至水平轨道BC上的一点E，（g＝10m/s2）求： （1）小球滑至C点时的速度； （2）小球落至E点时的动能。 【解析】 （1）对AC过程分析，根据机械能守恒定律有：mgh，解得：vc＝4m/s （2）对AE过程分析，由机械能守恒定律有：mgh＝Ek 解得E点的动能为：Ek＝4J 2．如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为m和3m的小球a和b，用手按住a球静止于地面时，b球离地面的高度为h，两物体均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，a球与定滑轮间距足够大，不会相碰，释放a球后，重力加速度为g，求： （1）b球落地前的速度大小； （2）a球离地的最大高度。 【解析】 （1）释放a球后，a、b两球构成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可得：，即2mgh＝2mv2，解得：。 （2）b球落地后，绳子不再张紧，a球将以速度v做竖直上抛运动。根据机械能守恒定律，有，代入，解得：H＝1.5h。 3．如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝2kg的小物体在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知AB＝5m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.2．当小物块运动到B点时撤去力F．取重力加速度g＝10m/s2．求： （1）小物块到达B点时速度的大小； （2）小物块运动到D点时的速度； 【解析】 （1）从A到B，根据动能定理有：（F﹣μmg）x 代入数据得：vB＝5m/s （2）从B到D，根据机械能守恒定律有：mg•2R，代入数据解得：vD＝3m/s 4．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相连，导轨半径为R，一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点时的速度为v1，之后在半圆形导轨运动，到达C点的速度为v2．重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能； （2）物体在B点时对半圆轨道的压力大小； （3）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力做的功。 【解析】 （1）物体从A点运动到B点，由机械能守恒定律有： （2）物体在B点时，由牛顿第二定律有 ，由牛顿第三定律有FN＝F压，解得： （3）物体从B点运动到C点的过程中，由动能定理有：Wf﹣mg•2R，解得：Wf＝2mgR 5．物块A的质量为m＝2kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑。坡道顶端距水平面高度为h＝1m，倾角为θ＝37°。物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端固定在水平滑道的M处，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图所示。物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）物块滑到O点时的速度大小； （2）弹簧为最大压缩量时的弹性势能； （3）物块A被弹回到坡道后上升的最大高度。 【解析】 （1）设物块滑到O点时的速度为v，由动能定理有，即，可得 ，解得v＝2m/s。 （2）水平面光滑，物块动能全部转化为弹簧弹性势能，由机械能守恒定律得，解得Ep＝4J。 （3）物块被弹回时动能不变，设物块能够上升的最大高度为h1，有，解得。 6．如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，其中AB段为曲面，BC段水平，CD段为半圆形轨道，BC段与AB、CD段分别在B、C点相切。一质量m＝0.2kg的小球（可视为质点）从A点由静止释放，沿轨道恰好能通过D点，最后沿水平方向飞出落到水平轨道BC段上的E点。已知A点距水平面的高度h＝0.8m，重力加速度g取10m/s2，求： （1）小球运动到C点时的速度大小； （2）半圆形轨道的半径； （3）D、E两点的水平距离。 【解析】 （1）小球从A到C的过程中，由机械能守恒定律有，解得vC＝4m/s； （2）小球在D点，由向心力公式有，小球从A到D的过程中，由机械能守恒定律有，联立解得R＝0.32m，； （3）小球从D点飞出后做平抛运动，竖直方向有，解得，则D、E两点的水平距离x＝vDt，解得：x＝0.64m。 7．如图所示，竖直平面内固定一个半径为R的光滑圆形导轨，质量为m的小球从A入口正上方与导轨最高点D等高处自由落下，小球恰好从A入口沿切线方向进入导轨。已知重力加速度为g，求： （1）小球到达最低点B处时速度vB大小； （2）小球到达A入口等高点C处时对导轨的压力； （3）试判断小球能否到达D点，并简要说明理由。 【解析】 （1）小球从释放点运动到B点的过程中，只有重力做功，机械能守恒。释放点与D点等高，B点为最低点，故释放点相对于B点的高度为h＝2R。根据机械能守恒定律有，代入数据可得 （2）小球从释放点运动到C点的过程中，机械能守恒。释放点比C点高R，根据机械能守恒定律有，代入数据可得，在C点，小球受重力和导轨的支持力FN，合力提供向心力，由牛顿第二定律得，代入数据可得FN＝2mg，方向指向圆心。根据牛顿第三定律，小球对导轨的压力大小为2mg，方向水平向右。 （3）小球不能到达D点。理由如下：若小球能沿导轨到达最高点D，则在D点小球受重力和导轨弹力作用，根据牛顿第二定律有，由于导轨对小球的弹力FN≥0，故小球通过D点的最小速度为，而从释放点到D点，根据机械能守恒定律，由于两点等高，小球到达D点时的速度应为0。因为，所以小球在到达D点之前就会脱离导轨，无法到达D点。 第二部分：中档题 8．如图所示，长为L的轻杆一端连接在光滑活动铰链O上，另一端固定一个质量为4m的小球A，穿过固定板光滑小孔P的足够长细线一端连接在小球A上，另一端吊着质量为m的小球B，用水平拉力F拉着小球A，使小球A处于静止状态。这时轻杆与竖直方向夹角为53°，A、P间细线与竖直方向夹角为37°，重力加速度为g，小球均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）水平拉力F的大小； （2）撤去拉力后，小球A摆至最低点时的速度大小。 【解析】 （1）结合题意可知，A、B处于平衡状态，对A、B受力分析，可得右图：对A，由共点力的平衡条件可得：F＝FNsin53°+Tsin37°，FNcos53°＝4mg+Tcos37°，对B，由共点力的平衡条件可得：T＝mg，联立可得：F＝7mg； （2）结合题意可知，当A运动到最低点时，B也运动到最低点，此时vB＝0，在A下摆的过程中，由几何关系可知，A下降的高度为：h1＝L﹣Lcos53°，B下降的高度为：h2＝Ltan53°﹣（），在A开始运动至摆到最低点的过程中，该系统的机械能守恒，则由机械能守恒定律可得：4mg•h1+mg•h2，联立解得：v。 9．如图所示，一根长l＝0.8m的不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端连接一质量m＝0.1kg的小球（可视为质点），O点距离水平地面的高度H＝1m。拉直轻绳让小球在与O点等高的A点处静止释放，轻绳碰到O点正下方h＝0.7m处的一个固定钉子P时，绳中拉力恰好达到所能承受的最大拉力并立刻断裂。不计轻绳断裂的能量损失，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。 （1）绳断裂后球落在水平地面上的C点，求B点与C点之间的水平距离x； （2）求轻绳能承受的最大拉力大小Fm。 【解析】 （1）小球从A到B由机械能守恒定律，有 ，绳断裂后球从B点做平抛运动落在水平地面上的C点，有，x＝vBt，联立求得C点与B点之间的水平距离x＝0.8m （2）若轻绳碰到钉子时，轻绳拉力恰好达到最大值Fm，由牛顿第二定律得 ，其中 r＝l﹣h，即r＝0.1m，解得F′m＝17N，根据牛顿第三定律可知轻绳能承受的最大拉力大小Fm＝F′m＝17N 10．质量分别为1kg和2kg的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为1.8m，在离P球0.6m处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球摆动到最低点位置时，求： （1）小球Q的速度大小为多少； （2）在此过程中杆对小球Q所做的功； （3）杆对小球P的作用力大小和方向。 【解析】 （1）设小球Q到达最低点时的速度大小为vQ，小球P到达最高点时的速度大小为vP。两球角速度相等，由v＝ωr可得，代入杆长关系LP＝0.6m与LQ＝1.2m，解得：vP＝0.5vQ。取初态水平位置为系统的重力势能零势能面，P、Q两球与杆组成的系统在运动过程中机械能守恒，取重力加速度g＝10m/s2，根据系统机械能守恒定律有，代入数据解得：小球Q的速度大小vQ＝4m/s。 （2）对小球Q从释放到最低点的过程，根据动能定理有，代入数据解得：杆对小球Q所做的功W＝﹣8J。 （3）此时小球P到达最高点，其速度大小vP＝2m/s。设在最高点杆对小球P的作用力大小为F，方向竖直向下，根据牛顿第二定律有，代入数据解得：，计算结果的负号表示力的方向与假设方向相反，故杆对小球P的作用力大小为，方向竖直向上。 11．质量不计的直角形支架两端分别连接质量均为m的小球A和小球B。支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，取此时OA所在水平面为零势能面，现将小球A由静止释放，求： （1）小球A到达最低点时的速度大小vA； （2）小球A到达最低点的过程中，杆对小球A所做的功WA； （3）当B上升到最大高度时，OA杆与竖直方向的夹角。 【解析】 （1）取初始时OA所在水平面为零势能面，小球A从静止至到达最低点的过程中，根据系统机械能守恒得﹣mgL＝﹣mg•2L，A、B两球共轴转动，角速度相同，由v＝ωr可得，A、B两球的线速度大小之比为vA：vB＝2L：L＝2：1，联立解得：vA （2）小球A到达最低点的过程中，根据动能定理得mg•2L+WA 解得：WAmgL （3）设当B上升到最大高度时，OA杆与竖直方向的夹角为θ。由系统机械能守恒可得﹣mgL＝﹣mg•2Lcosθ+mgLsinθ，解得：sinθ（另一解sinθ＝﹣1，舍去），则θ＝37° 12．如图所示，物块A的质量m＝5kg，一根轻绳跨过物块A上方的定滑轮，一端与物块A相连，另一端与质量为M的小环B相连，小环B穿在竖直固定的均匀细杆上。将小环B置于杆的Q点时，物块A、小环B均处于静止状态，此时连接小环B的轻绳与水平面的夹角θ＝37°。当小环B在杆上的O点时，小环B和定滑轮之间的轻绳处于水平。定滑轮到杆的距离为d＝0.8m，不计一切摩擦和定滑轮的大小，现将小环B由P点静止释放，P、Q关于O点对称。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）小环B的质量M； （2）小环B运动到Q点速度的大小； （3）小环B从P点运动O点过程中，轻绳对小环B做的功。 【解析】 （1）小环静止在Q点时，轻绳的拉力T＝mg，对小环进行受力分析，如图所示， 由正交分解Tsinθ＝Mg，小环的质量M＝3kg （2）小环从P点运动到Q点，物体A的位置不变，由机械能守恒定律 小环运动到Q点时，小环与物体A的速度关系vQsinθ＝vA PQ两点之间的高度hPQ＝2dtanθ，则小环运动到Q点的速度大小 （3）小环从P点运动到O点，物体A下降的高度 小环下降高度hPO＝dtanθ 小环下降到O点时，物体A的速度为零，由机械能守恒定律 ，对小环，由动能定理 得W＝10J 13．为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与水平轨道BC相连，在C处设计一个竖直完整的圆轨道，出口为水平轨道CD，如图所示。现将一个小球从距A点高为h的水平台面上以初速度水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB间的动摩擦因数均为，其余轨道光滑，水平轨道BC的长度大于圆轨道的半径，取g=10m/s2，求： （1）水平弹出至A点的时间t； （2）小球滑过C点时的速率vC； （3）要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。 【解析】 （1）平抛运动速度方向关系，竖直方向自由下落vy＝gt，联立解得t＝0.3s （2）根据速度的分解可知，A点速度，A到C由动能定理可得，代入数据解得vC＝6m/s （3）小球刚过最高点时，则有，C至最高点，由机械能守恒定律可得，代入数据解得，小球刚能到达与圆心等高处，C至圆心等高处，根据机械能守恒则有，代入数据解得R2＝1.8m，综上要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是0＜R≤0.72m或R≥1.8m。 14．如图所示，重物质量m1＝0.5kg，圆环质量m2＝0.3kg，通过轻绳跨过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，B点与滑轮A等高，A、B间距离l＝0.8m，开始时圆环在C点，系统处于静止状态。不计定滑轮和空气的阻力，g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）系统处于静止状态时，细线与竖直杆的夹角θ； （2）将圆环提自B点从静止释放，向下运动的最大距离h； （3）圆环向下运动的最大速度vm。 【解析】 （1）平衡时，对圆环进行受力分析，有m1gcosθ＝m2g，解得θ＝53° （2）圆环向下运动到最大距离时，重物和圆环的速度都为0，该过程中系统机械能守恒m2gh＝m1g（）解得h＝1.5m （3）当圆环处于C位置时，处于平衡状态，圆环速度最大，设此时重物的速度为v，v＝vmcosθ，根据几何关系有h1l，h2，根据系统机械能守恒m2gh2﹣m1gh1，解得vmm/s。 15．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面的倾角α＝30°。B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用。同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦、空气阻力不计，开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面向下滑动，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，试求： （1）释放瞬间A的加速度大小； （2）当A的速度再次为零时，地面对C的支持力大小； （3）将A的质量变为4m，仍然从原来的位置释放，A的最大速度为多少？ 【解析】 （1）对AB系统应用牛顿第二定律：2mgsinα＝3ma，解得a （2）设A的速度为零时，B上升高度为h对A、B、弹簧系统应用机械能守恒定律：2mghsinα＝mgh+ΔE弹，ΔE弹＝0说明弹簧始末位置形变量相同，初位置处于压缩状态，末位置处于拉伸状态F压＝F拉＝kx＝mg，对C应用平衡条件NC+kx＝mg，所以NC＝0 （3）AB系统在运动方向上合外力为零时速度最大kx'+mg＝4mgsinα，所以kx'＝mg，对C根据平衡条件kx'+N＝mg，得N＝0，所以C恰好离开地面，B上升的高度h，对A、B、弹簧系统应用机械能守恒定律ΔEm＝0，4mghsinα＝ mgh5mv2，所以v＝2g。 16．如图，质量为m＝1kg的小滑块（视为质点）在半径为R的四分之一光滑圆弧的最高点A，由静止开始释放，它运动到B点时速度为v＝2m/s。当滑块经过B后立即将AB段圆弧轨道撤去。滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为θ＝37°、长L＝1m的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在0≤μ≤1.5之间调节。斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。认为滑块在C、D两处换向时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。 （1）求光滑圆弧的半径R； （2）若设置μ＝0，求弹簧的最大弹性势能； （3）若滑块最终停在D点，求μ的取值范围。 【解析】 （1）滑块从A运动到B的过程中，根据机械能守恒定律可得，代入数据解得R＝0.2m。 （2）已知μ＝0，当滑块速度为零时弹簧的弹性势能达到最大，由系统机械能守恒定律可知，弹簧的最大弹性势能Ep＝mg（R+Lsinθ），代入数据解得Ep＝8J。 （3）滑块最终停在D点存在两种可能情形：a、滑块恰好能从C点下滑至D点，根据动能定理有，代入数据解得μ1＝1；b、当滑块恰好能返回C点时，由动能定理得，代入数据解得μ2＝0.125。若滑块恰好静止在斜面上，则有平衡条件mgsinθ＝μ3mgcosθ，代入数据解得μ3＝0.75。综上所述，滑块不会返回BC平面，且最终停在D点时，动摩擦因数μ的取值范围为0.125≤μ＜0.75或μ＝1。 17．如图，半径R＝0.5m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°；在高h＝0.8m的光滑水平平台上，一质量m＝1.0kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep，若打开锁扣K，小物块将以一定的水平速度v0向右飞下平台，做平抛运动恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物块与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）弹簧储存的弹性势能Ep； （2）物块经过B点时的速度vB的大小； （3）物块在轨道CD上运动的路程s。 【解析】 （1）小物块离开平台后做平抛运动，竖直方向有，解得物块到达A点时的竖直分速度为：vy＝4m/s，物块从A点沿切线方向进入圆弧轨道，速度如图所示，则物块做平抛运动的初速度为：，解得：v0＝3m/s，由能量守恒可得弹簧储存的弹性势能为：，解得：Ep＝4.5J； （2）物块从水平面运动到B点的过程，由机械能守恒可得，经过B点时 （3） 物块从B运动到C过程由机械能守恒定律得，解得，物块沿轨道CD向上作匀减速运动的最大位移为xm，根据动能定理可得，解得xm＝1.35m，由于mgsin37°＞μmgcos37°，可知物块速度减为零后，反向加速下滑，设物块可以回到A点，根据动能定理可得：，可得：，可知物块返回时可以从A点离开轨道，所以物块在轨道CD上运动的路程为s＝2xm，解得：s＝2.7m。 第三部分：压轴题 18．如图所示，弹射装置由左端固定在墙上的轻弹簧和锁K构成，自然状态下弹簧右端处于O点。轨道BC、GH均为竖直四分之一圆弧轨道、C′DG为竖直半圆轨道，AB、HM为水平轨道，各轨道间均平滑连接。O1、O2、O3等高，除H点右侧水平轨道粗糙外，其余轨道均光滑；圆弧轨道半径均为R，N点为HM上的一点，HN＝2.5R。N点右侧有一可移动挡板，物块与水平轨道HM（足够长）间动摩擦因数μ＝0.5。现将一质量为6m的小物块a压缩弹簧至A点并锁定。解除锁定，小物块a恰好运动到C点。取走小物块a，将一质量为m的小物块b压缩弹簧至A点并重新锁定。解除锁定后，小物块b沿轨道运动。空气阻力忽略不计，重力加速度为g。求： （1）锁定后弹簧储存的弹性势能。 （2）小物块b第一次到D点时受到轨道的压力大小。 （3）小物块b第一次到N点时的速度大小。 （4）设小物块b与挡板碰撞后以原速率弹回。若要求碰后小物块不能脱离轨道，求可移动挡板（挡板只能在N点右侧移动）与N点间距离x应满足的条件。 【解析】 （1）小物块a恰能运动到C点，依据能量守恒定律可得，弹簧锁定时的弹性势能Ep＝6mgR。 （2）小物块b从A点运动至D点的过程中，依据机械能守恒定律有。在D点，根据牛顿第二定律可得，联立两式，解得轨道对物块的压力大小FN＝7mg。 （3）小物块b从A点运动至N点的过程，根据动能定理有，代入数据解得小物块b第一次到达N点时的速度大小。 （4）小物块b第一次与挡板碰撞后返回至H点时的动能E1满足E1＝Ep﹣2μmg（2.5R+x）＝3.5mgR﹣mgx。为使物块不脱离轨道，需分两种情况讨论：情况一：物块返回时未越过G点，且物块必须能到达挡板发生碰撞，则有E1≤mgR且Ep≥μmg（2.5R+x），联立解得2.5R≤x≤9.5R。情况二：物块返回时能安全通过最高点D，则在H点的动能须满足E1≥mg（2R）+0.5mgR＝2.5mgR，解得x≤R。由于挡板只能在N点右侧移动，故x≥0。经验证，当0≤x≤R时，物块经弹簧反弹后第二次返回不会越过G点而脱离轨道。综上所述，x应满足的条件为0≤x≤R或2.5R≤x≤9.5R。 19．如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块（可视为质点）质量m＝0.01kg，轨道BCD的半径R＝0.8m，管道DEF的半径r＝0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ＝0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l＝2m，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Ep0＝0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。（g＝10m/s2） （1）若弹簧的弹性势能Ep1＝0.16J，求滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小； （2）若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第1次经过管道DEF的最高点F时，轨道对滑块弹力FN的最小值； （3）若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG上，求弹簧的弹性势能Ep的范围。 【解析】 （1）滑块运动到与圆心O1等高处的过程，由机械能守恒定律得： ，解得：v＝4m/s （2）要求运动中滑块不脱离轨道，根据牛顿第二定律可得通过轨道BCD的最高点D时的速度最小值vD应满足：，解得： 由D到F的过程，根据机械能守恒定律得： ， 在F点，根据牛顿第二定律得： ，联立解得：vF＝2m/s，FN＝0.3N，可得第1次经过管道DEF的最高点F时，轨道对滑块弹力FN的最小值为0.3N。 （3）保证滑块不脱离轨道，滑块在F点的速度最小值为vmin＝vF＝2m/s，若以此速度在FG上滑行直至静止滑块运动的距离为： ，解得：xmin＝0.4m，滑块最终可以停在FG上，需要的弹性势能为： ，解得Ep2＝0.2J，当滑块第一次与弹性板碰撞，最后停在F点，需要的弹性势能为：Ep3＝mg（2R+2r）+2μmgl，解得：Ep3＝0.38J，若第三次经过F点滑块不脱离轨道且最终静止在轨道FG区域，弹性势能满足的条件为： ，解得：Ep4＝0.40J，当滑块第二次与弹性板碰撞后停在F点，需要的弹性势能为：Ep5＝mg（2R+2r）+4μmgl，解得：Ep5＝0.58J＞Ep0＝0.5J，可得滑块不脱离轨道且最终静止在轨道FG区域，弹簧的弹性势能Ep的范围为：Ep2＜Ep＜Ep3，或Ep4＜Ep＜Ep0 即0.2J＜Ep＜0.38J，或0.40J＜Ep≤0.50J 20．兴趣小组设计了一款游戏挑战项目，整个装置固定在竖直平面内，由发射装置、传送装置和感应区组成，如图所示。其中，传送装置包括三个半径均为R的四分之一圆弧管道和一条竖直管道，O1、O2、O3分别为三个圆弧管道的圆心，平台AB以及轨道CD水平且等高，轨道CD处于风洞之中，PD是接触感应区。竖直管道内，当小球竖直向上经过O2O3水平连线时，管内通道②闭合，通道口①打开。已知小球质量m＝0.2kg，竖直管道长h＝1.6m，LCD＝1.5m，平台AB右侧与管口的水平距离L＝R＝0.4m。小球在风洞内受到水平向左的风力，风力与小球在风洞中前进的距离满足关系式F＝kx，其中k＝0.8N/m。在发射装置内，小球压缩弹簧并锁定，储存的弹性势能为Ep。小球半径略小于管道半径且可看作质点，除风洞风力外不计其它空气阻力，各面均光滑，重力加速度g取10m/s2，现解除锁定。 （1）若小球恰好能经过O2O3水平连线，求Ep大小； （2）若小球恰好落到平台右端B点，求小球经过管口时受到管道作用力的大小和方向； （3）若小球能够触碰感应区PD，求Ep的取值范围。 【解析】 （1）恰好能触动感应开关，刚好到达O2O3水平位置，根据机械能守恒定律，可知Ep＝mg（R+h） 解得：Ep＝4.0J （2）根据平抛运动，竖直方向：，恰好落到B点，水平方向：L＝vBt有，解得t＝0.4s、vB＝1m/s，假设管道对小球的作用力竖直向上，根据牛顿第二定律：，解得：F＝1.5N，假设成立，方向竖直向上 （3）①恰好到达管口，根据机械能守恒定律：Ep1＝mg（2R+h），解得：Ep1＝4.8J，若小球恰好能碰撞右侧挡板PD，当小球滑至C点时，根据功能关系有：，进入风洞，运动过程中风力做功：W克＝F1•Δx1+F2•Δx2+⋯ 整理得，代入数值得W克＝0.9J，进入风洞，小球恰好碰撞右侧挡板PD，根据功能关系，有，解得：Ep2＝4.1J＞4.0J，因此，若小球能够触碰感应区PD，条件是：4.1J＜Ep＜4.8J。 21．如图所示，竖直固定的四分之一粗糙圆轨道下端B点水平，半径R1＝1m，质量M＝1kg的长薄板静置于倾角θ＝37°的粗糙斜面CD上，其最上端刚好在斜面顶端C点。一质量为m＝1.5kg的滑块（可看作质点）从圆轨道A点由静止滑下，运动至B点时对轨道的压力大小为FN＝39N，接着从B点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时与竖直固定的光滑半圆轨道DE底端粘接在一起。已知斜面CD长L2＝7.875m，薄板长L1＝2.5m，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数μ1＝0.25，滑块与长薄板间的动摩擦因数为μ2＝0.5，滑块在斜面底端的能量损失和运动过程中空气阻力均忽略不计，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，试求： （1）滑块由A到B运动过程中克服摩擦力做的功Wf； （2）滑块从C到D过程中损失的机械能ΔE； （3）如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R2需要满足什么条件？ 【解析】 （1）滑块从A运动到B，根据动能定理mgR1﹣Wf ① 在B处，牛顿第二定律 ② 联立代入数据解得Wf＝3J，v＝4m/s （2）滑块到达C点时速度为vC，由题意，设滑块C的加速度为a1，根据牛顿第二定律mgsinθ﹣μ2mgcosθ＝ma1，代入数据解得a1＝2m/s2，设木板的加速度为a2，根据牛顿第二定律Mgsinθ+μ2mgcosθ﹣μ1（M+m）gcosθ＝Ma2，代入数据解得a2＝7m/s2，设经时间t滑块和木板共速v1＝vC+a1t＝a2t，解得t＝1s，v1＝7m/s，滑块位移，木板位移，相对位移Δx＝x1﹣x2＝6m﹣3.5m＝2.5m＝L1，小滑块刚好到达木板最下端，由于μ2＞μ1，之后两者一起以a沿斜面向下加速下滑。根据牛顿第二定律（M+m）gsinθ﹣μ1（M+m）gcosθ＝（M+m）a，代入数据解得a＝4m/s2，设整体到达D的速度为vD，根据动学公式 代入数据解得vD＝8m/s，以地面为参考平面，根据能量守恒定律ΔEsinθ，代入数据解得ΔE＝41.625J （3）①滑块刚好能达到半圆轨道的最高点mg＝m，滑块从最低点到最高点，机械能守恒，联立解得R2＝1.28m，所以要使滑块不脱离竖直半圆轨道，半圆半径满足：0≤R2≤1.28m ②滑块刚好能达到半圆轨道的左边与圆心等高处，根据机械能守恒定律，代入数据解得R2＝3.2m，所以要使滑块不脱离竖直半圆轨道，半圆半径满足：R2≥3.2m，综上可得要使滑块不脱离竖直半圆轨道，半圆半径满足：0≤R2≤1.28m或R2≥3.2m。 22．如图所示，长度为L＝5m的粗糙水平面AB与竖直面内半径为R＝2m 的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量为m＝1kg的小滑块将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，小滑块到达B点前已和弹簧分离，沿半圆轨道经过P点时脱离半圆轨道，OP与竖直方向的夹角为θ＝37°，脱离半圆轨道后运动至直线OP上方某位置M点（图中未画出）处距离直线OP最远。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取重力加速度大小g＝10m/s2。求： （1）小滑块通过B点时对半圆形轨道的压力大小FN′； （2）弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep； （3）M点与直线OP的距离d。 （4）小滑块通过M点时重力做功的功率P。 【解析】 （1）小滑块在P点刚好脱离轨道，此时重力沿半径方向的分力充当向心力，满足。从B点运动至P点的过程中机械能守恒，有。在B点应用牛顿第二定律可得，联立上述方程并代入数据，解得支持力FN＝54N，根据牛顿第三定律，小滑块通过B点时对轨道的压力大小为54N。 （2）从A点至B点的过程，依据能量守恒定律（或动能定理）有，结合第一问中求得的vB结果，代入数据解得弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep＝69J。 （3）小滑块脱离P点后将做斜抛运动，其初速度vP与OP方向垂直。将运动分解为沿OP方向与垂直于OP方向，在垂直于OP的方向上，滑块以初速度vP、加速度大小为gsinθ做匀减速直线运动，当该方向速度减为零时，滑块距离直线OP最远，最远距离为，代入数据解得。 （4）滑块运动至最远点M所需时间，此时其竖直方向的分速度vy＝vPsinθ﹣gt，经过M点时重力做功的功率P＝mg|vy|，联立并代入数据解得。 23．某小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。半径为R的四分之一圆弧轨道通过水平短轨道AB与倾角为θ＝30°的传送带平滑连接，轨道和传送带均固定在地面上。传送带以恒定速率v0顺时针转动。现有一质量为m的物块，在圆弧轨道最高点P静止下滑，到达轨道最低点A，再经B点滑上传送带。物块与传送带间的动摩擦因数为μ，其余轨道均光滑。已知R＝1.25m，v0＝2m/s，m＝0.2kg，μ，不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长，g取10m/s2。求物块： （1）第一次运动到A点时轨道对物块的支持力大小； （2）第一次冲上传送带的最大距离； （3）物体从最高点第一次下滑回到B过程中电动机多消耗的电能。 【解析】 （1）物块由P点运动至A点的过程，根据机械能守恒得：，解得物块第一次运动到A点时的速度大小为：vA＝5m/s，在A点由牛顿第二定律可得：，解得轨道对物块的支持力大小为：FN＝6N （2）物块滑上传送带的速度vA＞v0，与传送带共速前物块受到的滑动摩擦力方向沿传送带向下，根据牛顿第二定律得：mgsin30°+μmgcos30°＝ma1，解得：，物块与传送带共速过程上滑的距离为：，解得：x1＝1.2m，物块与传送带共速后所受摩擦力方向沿传送带向上，根据牛顿第二定律得：mgsin30°﹣μmgcos30°＝ma2，解得：，共速后减速到零上滑的距离为：，解得：x1＝1.6m，第一次冲上传送带的最大距离为：xm＝x1+x2＝1.2m+1.6m＝2.8m （3）物块从最高点返回B点的过程中，加速度大小仍为 设从最高点第一次下滑回到B点作用时间为t，则有：，解得：ts 该过程传送带发生的位移大小为：x带＝v0t，解得： 物体从最高点第一次下滑回到B过程中电动机多消耗的电能ΔE就等于此过程传送带克服摩擦力做的功，则有：ΔE＝μmgcosθx带 解得：ΔE 24．如图，半径R＝1m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。在高h＝0.8m的光滑水平平台上，一质量m＝2kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep，若打开锁扣K，小物块将以一定的水平速度v0向右滑下平台，做平抛运动恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道，物块进入圆弧轨道后立即在A处放一个弹性挡板（碰撞过程机械能不损失）。已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）弹簧存储的弹性势能EP； （2）物体经过B点时，对圆弧轨道压力FN的大小； （3）物体在轨道CD上运动的路程s。 【解析】 （1）小物块离开平台后做平抛运动，将其A点速度沿水平和竖直方向分解，如图所示。由平抛运动规律知竖直分速度，解得：vy＝4m/s，由几何关系可得物块的初速度：v0＝vytan37°＝4×0.75m/s＝3m/s，由机械能守恒定律可得弹簧储存的弹性势能为J＝9J； （2）对从水平面运动到B点的过程，由动能定理得：，经过B点时，由向心力公式可得：，代入数据解得FN′＝86N，由牛顿第三定律知，对轨道的压力大小为FN＝FN′＝86N，方向竖直向下； （3）取最低点B所在的水平面为零势能面，物块从B运动到C过程由机械能守恒定律得：mgR（1﹣cos37°） 解得：vCm/s，物体沿轨道CD向上作匀减速运动，速度减为零后，由于mgsin37°＞μmgcos37°，物体继续下滑至圆轨道上A点，碰后以原速返回后经过C点后继续上滑，如此反复，直到物体无法滑过C点，此过程由能量守恒定律可得：μmgcos37°•s，代入数据可解得3.625m。 25．如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形圆轨道BCDE和圆轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直端面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球与竖直墙面碰撞时，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向，不计小球大小和所受阻力。 （1）若释放处高度h＝2R，小球第一次运动到圆轨道最低点C时，求小球对轨道的作用力； （2）求小球在圆轨道内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式； （3）若小球释放后能从原路返回到出发点，释放高度h应该满足什么条件？ 【解析】 （1）由机械能守恒定律可得。在C点应用牛顿第二定律，有，解得轨道对小球的支持力FN＝5mg。依据牛顿第三定律，小球对轨道的作用力F压＝5mg，方向竖直向下。 （2）根据机械能守恒定律，有。在D点由牛顿第二定律得，联立两式，解得，其中h≥R。 （3）小球能原路返回出发点，需考虑三种可能情形：①小球未越过D点：由hB≤h≤hD，即R（1﹣sinθ）≤h≤R，解得。②小球越过E点但未越过F点：在E点临界状态下，有。结合机械能守恒，解得。当小球到达F点时速度为零，由mg（h2﹣2R）＝0得h2＝2R，故。③小球垂直碰撞墙面后返回：水平位移满足，即，解得。再由机械能守恒，解得。 26．如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑面底端固定一个被压缩且锁定的轻弹簧，轻弹簧的上端静止放一质量m＝2kg的滑块且滑块与斜面顶端N点相距x＝0.10m。现将弹簧解除锁定，滑块离开弹簧后经N点离开斜面，恰水平飞上顺时针始终匀速转动的传送带，已知传送带水平放置且足够长，传送带上端距N点所在水平面高度为h＝0.20m，滑块与传送带间的动摩擦因数（g取10m/s2） （1）滑块飞上传送带时的速度大小； （2）弹簧锁定时储存的弹性势能； （3）若传送带速度为7m/s，求滑块飞上传送带后因摩擦产生的内能； （4）传送带右端竖直固定半径R＝0.1m的光滑半圆轨道，且轨道下端恰好与传送带相切，为滑块能沿半圆轨道运动而不脱离半圆轨道，求传送带速度应当满足的条件。 【解析】 （1）滑块从N点到传送带的逆过程为平抛运动，则竖直方向有h，vy＝gt分解速度可知：，代入数据解得 （2）滑块由开始到传送带上，由弹簧和滑块组成的系统机械能守恒得 ，代入数据解得Ep＝17J （3）滑块飞到传送带上后，由牛顿第二定律得μmg＝ma，代入数据解得a，由v传＝v0+at，得t＝1s，在此过程中，传送带的位移为x传＝v传t＝7，物块的位移为x物＝v0t2m，两者的相对位移为s＝x传﹣x物m，滑块飞向传送带后因摩擦产生的内能为Q＝μmgs75J （4）要使滑块能沿半圆轨道运动而不脱离半圆轨道，有两种情况：①若滑块不能越过轨道的四分之一圆弧，对滑块由机械能守恒定律得 ，代入数据解得m/s，即v满足题意； ②滑块要正好能到达圆轨道的最高点Q，此时满足 ，解得1m/s，物块从P到Q由动能定理得﹣2mgR，代入数据解得 ，即v满足题意。所以传送带速度应当满足的条件为v或v。 27．某兴趣小组设计了一个“螺线形”竖直轨道模型，如图所示，将一质量为m＝0.1kg的小球（视为质点）在光滑圆弧轨道NAB上与圆心等高的N点以一定的初速度v0竖直向上抛出，小球运动过程中始终不脱离轨道。BC，CG是材料相同的水平面，BC段长L＝1.5m，CG足够长，CDEFC′是与C、C′点相切的竖直圆形光滑管道（管径很小，C、C′相互靠近且错开），已知圆弧NAB的半径R1＝0.1m，管道CDEFC′的半径R2＝0.2m，小球与BC、C′G间的动摩擦因数均为μ＝0.2，其余轨道均光滑。（g取10m/s2），求： （1）若小球能够通过A点，求它在A点的最小速度的大小； （2）若某次释放后小球恰好能通过圆轨道最高点E，求小球在N点的初速度v0的大小； （3）以C点为坐标原点，BG为x轴，从C到G方向为正方向，若小球能经过C点，求小球最终停止位置坐标x与小球在N点的初速度v0的大小的关系。 【解析】 （1）当小球恰好通过圆轨道NAB的最高点A时，它在A点的速度最小（设为vA），且在A点仅由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得： ，解得：vA＝1m/s （2）小球恰能通过圆管道最高点E时的临界条件为到E点的速度为零，对小球由N点到E点的过程，根据动能定理得：﹣mg（2R2﹣R1）﹣μmgL＝0，解得v0m/s，设小球在N点的初速度为v0′时恰好通过圆轨道最高点A，根据机械能守恒定律得：mv0′2＝mgR1，解得：v0′m/s，因v0＞v0′，故此结果合理。 （3）设小球在N点的初速度为v1时，其第一次到达C点时速度为零，根据动能定理得：mgR1﹣μmgL＝0，解得：v1＝2m/s，设小球在N点的初速度为v2时，其不能通过E点，且返回到B点时速度为零，根据动能定理得：mgR1﹣2μmgL＝0，解得：v2m/s，设小球在N点的初速度为v3时，小球不能通过E点，且返回到圆轨道NAB左侧的圆心等高处时速度为零，同理可得：﹣2μmgL＝0，解得：v3m/s，依据以上分析的临界条件，结合小球最终停止的位置，分情况讨论如下：①当v0m/s时，小球经过E点后最终在C′G段停止运动，同理可得：mgR1﹣μmg（L+x）＝0 解得：x1（m）；②当m/s＜v0m/s时，小球第三次经过B点后停在BC段（此时坐标x＜0），同理可得：mgR1﹣2μmgL﹣μmg（L+x）＝0，解得：x4（m）； ③当2m/s＜v0m/s时，小球第二次经过C点后停在BC段（此时坐标x＜0），同理可得：mgR1﹣μmgL+μmgx＝0，﹣2+2x，解得：x＝1（m）。综上分析，小球最终停止位置坐标x与小球在N点的初速度v0的大小的关系为：x1（m），（v0m/s）；x4（m），（m/s＜v0m/s）；x＝1（m），（2m/s＜v0m/s）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下物理期末复习解答题精练：机械能守恒定律 （三大部分，共27小题） 第一部分：基础题 1．如图所示，光滑曲线轨道ABCD，其中BC段水平，一质量为m＝0.5kg的小球从轨道上距水平面BC高为h＝0.8m的A点由静止释放，沿轨道滑至D点后飞出，最终落至水平轨道BC上的一点E，（g＝10m/s2）求： （1）小球滑至C点时的速度； （2）小球落至E点时的动能。 2．如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为m和3m的小球a和b，用手按住a球静止于地面时，b球离地面的高度为h，两物体均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，a球与定滑轮间距足够大，不会相碰，释放a球后，重力加速度为g，求： （1）b球落地前的速度大小； （2）a球离地的最大高度。 3．如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝2kg的小物体在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知AB＝5m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.2．当小物块运动到B点时撤去力F．取重力加速度g＝10m/s2．求： （1）小物块到达B点时速度的大小； （2）小物块运动到D点时速度的大小； 4．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相连，导轨半径为R，一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点时的速度为v1，之后在半圆形导轨运动，到达C点的速度为v2．重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能； （2）物体在B点时对半圆轨道的压力大小； （3）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力做的功。 5．物块A的质量为m＝2kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑。坡道顶端距水平面高度为h＝1m，倾角为θ＝37°。物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端固定在水平滑道的M处，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图所示。物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）物块滑到O点时的速度大小； （2）弹簧为最大压缩量时的弹性势能； （3）物块A被弹回到坡道后上升的最大高度。 6．如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，其中AB段为曲面，BC段水平，CD段为半圆形轨道，BC段与AB、CD段分别在B、C点相切。一质量m＝0.2kg的小球（可视为质点）从A点由静止释放，沿轨道恰好能通过D点，最后沿水平方向飞出落到水平轨道BC段上的E点。已知A点距水平面的高度h＝0.8m，重力加速度g取10m/s2，求： （1）小球运动到C点时的速度大小； （2）半圆形轨道的半径； （3）D、E两点的水平距离。 7．如图所示，竖直平面内固定一个半径为R的光滑圆形导轨，质量为m的小球从A入口正上方与导轨最高点D等高处自由落下，小球恰好从A入口沿切线方向进入导轨。已知重力加速度为g，求： （1）小球到达最低点B处时速度vB大小； （2）小球到达A入口等高点C处时对导轨的压力； （3）试判断小球能否到达D点，并简要说明理由。 第二部分：中档题 8．如图所示，长为L的轻杆一端连接在光滑活动铰链O上，另一端固定一个质量为4m的小球A，穿过固定板光滑小孔P的足够长细线一端连接在小球A上，另一端吊着质量为m的小球B，用水平拉力F拉着小球A，使小球A处于静止状态。这时轻杆与竖直方向夹角为53°，A、P间细线与竖直方向夹角为37°，重力加速度为g，小球均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）水平拉力F的大小； （2）撤去拉力后，小球A摆至最低点时的速度大小。 9．如图所示，一根长l＝0.8m的不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端连接一质量m＝0.1kg的小球（可视为质点），O点距离水平地面的高度H＝1m。拉直轻绳让小球在与O点等高的A点处静止释放，轻绳碰到O点正下方h＝0.7m处的一个固定钉子P时，绳中拉力恰好达到所能承受的最大拉力并立刻断裂。不计轻绳断裂的能量损失，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。 （1）绳断裂后球落在水平地面上的C点，求B点与C点之间的水平距离x； （2）求轻绳能承受的最大拉力大小Fm。 10．质量分别为1kg和2kg的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为1.8m，在离P球0.6m处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球摆动到最低点位置时，求： （1）小球Q的速度大小为多少； （2）在此过程中杆对小球Q所做的功； （3）杆对小球P的作用力大小和方向。 11．质量不计的直角形支架两端分别连接质量均为m的小球A和小球B。支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，取此时OA所在水平面为零势能面，现将小球A由静止释放，求： （1）小球A到达最低点时的速度大小vA； （2）小球A到达最低点的过程中，杆对小球A所做的功WA； （3）当B上升到最大高度时，OA杆与竖直方向的夹角。 12．如图所示，物块A的质量m＝5kg，一根轻绳跨过物块A上方的定滑轮，一端与物块A相连，另一端与质量为M的小环B相连，小环B穿在竖直固定的均匀细杆上。将小环B置于杆的Q点时，物块A、小环B均处于静止状态，此时连接小环B的轻绳与水平面的夹角θ＝37°。当小环B在杆上的O点时，小环B和定滑轮之间的轻绳处于水平。定滑轮到杆的距离为d＝0.8m，不计一切摩擦和定滑轮的大小，现将小环B由P点静止释放，P、Q关于O点对称。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）小环B的质量M； （2）小环B运动到Q点速度的大小； （3）小环B从P点运动O点过程中，轻绳对小环B做的功。 13．为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与水平轨道BC相连，在C处设计一个竖直完整的圆轨道，出口为水平轨道CD，如图所示。现将一个小球从距A点高为h的水平台面上以初速度水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB间的动摩擦因数均为，其余轨道光滑，水平轨道BC的长度大于圆轨道的半径，取g=10m/s2，求： （1）水平弹出至A点的时间t； （2）小球滑过C点时的速率vC； （3）要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。 14．如图所示，重物质量m1＝0.5kg，圆环质量m2＝0.3kg，通过轻绳跨过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，B点与滑轮A等高，A、B间距离l＝0.8m，开始时圆环在C点，系统处于静止状态。不计定滑轮和空气的阻力，g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）系统处于静止状态时，细线与竖直杆的夹角θ； （2）将圆环提自B点从静止释放，向下运动的最大距离h； （3）圆环向下运动的最大速度vm。 15．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面的倾角α＝30°。B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用。同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦、空气阻力不计，开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面向下滑动，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，试求： （1）释放瞬间A的加速度大小； （2）当A的速度再次为零时，地面对C的支持力大小； （3）将A的质量变为4m，仍然从原来的位置释放，A的最大速度为多少？ 16．如图，质量为m＝1kg的小滑块（视为质点）在半径为R的四分之一光滑圆弧的最高点A，由静止开始释放，它运动到B点时速度为v＝2m/s。当滑块经过B后立即将AB段圆弧轨道撤去。滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为θ＝37°、长L＝1m的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在0≤μ≤1.5之间调节。斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。认为滑块在C、D两处换向时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。 （1）求光滑圆弧的半径R； （2）若设置μ＝0，求弹簧的最大弹性势能； （3）若滑块最终停在D点，求μ的取值范围。 17．如图，半径R＝0.5m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°；在高h＝0.8m的光滑水平平台上，一质量m＝1.0kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep，若打开锁扣K，小物块将以一定的水平速度v0向右飞下平台，做平抛运动恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物块与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）弹簧储存的弹性势能Ep； （2）物块经过B点时的速度vB的大小； （3）物块在轨道CD上运动的路程s。 第三部分：压轴题 18．如图所示，弹射装置由左端固定在墙上的轻弹簧和锁K构成，自然状态下弹簧右端处于O点。轨道BC、GH均为竖直四分之一圆弧轨道、C′DG为竖直半圆轨道，AB、HM为水平轨道，各轨道间均平滑连接。O1、O2、O3等高，除H点右侧水平轨道粗糙外，其余轨道均光滑；圆弧轨道半径均为R，N点为HM上的一点，HN＝2.5R。N点右侧有一可移动挡板，物块与水平轨道HM（足够长）间动摩擦因数μ＝0.5。现将一质量为6m的小物块a压缩弹簧至A点并锁定。解除锁定，小物块a恰好运动到C点。取走小物块a，将一质量为m的小物块b压缩弹簧至A点并重新锁定。解除锁定后，小物块b沿轨道运动。空气阻力忽略不计，重力加速度为g。求： （1）锁定后弹簧储存的弹性势能。 （2）小物块b第一次到D点时受到轨道的压力大小。 （3）小物块b第一次到N点时的速度大小。 （4）设小物块b与挡板碰撞后以原速率弹回。若要求碰后小物块不能脱离轨道，求可移动挡板（挡板只能在N点右侧移动）与N点间距离x应满足的条件。 19．如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块（可视为质点）质量m＝0.01kg，轨道BCD的半径R＝0.8m，管道DEF的半径r＝0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ＝0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l＝2m，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Ep0＝0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。（g＝10m/s2） （1）若弹簧的弹性势能Ep1＝0.16J，求滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小； （2）若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第1次经过管道DEF的最高点F时，轨道对滑块弹力FN的最小值； （3）若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG上，求弹簧的弹性势能Ep的范围。 20．兴趣小组设计了一款游戏挑战项目，整个装置固定在竖直平面内，由发射装置、传送装置和感应区组成，如图所示。其中，传送装置包括三个半径均为R的四分之一圆弧管道和一条竖直管道，O1、O2、O3分别为三个圆弧管道的圆心，平台AB以及轨道CD水平且等高，轨道CD处于风洞之中，PD是接触感应区。竖直管道内，当小球竖直向上经过O2O3水平连线时，管内通道②闭合，通道口①打开。已知小球质量m＝0.2kg，竖直管道长h＝1.6m，LCD＝1.5m，平台AB右侧与管口的水平距离L＝R＝0.4m。小球在风洞内受到水平向左的风力，风力与小球在风洞中前进的距离满足关系式F＝kx，其中k＝0.8N/m。在发射装置内，小球压缩弹簧并锁定，储存的弹性势能为Ep。小球半径略小于管道半径且可看作质点，除风洞风力外不计其它空气阻力，各面均光滑，重力加速度g取10m/s2，现解除锁定。 （1）若小球恰好能经过O2O3水平连线，求Ep大小； （2）若小球恰好落到平台右端B点，求小球经过管口时受到管道作用力的大小和方向； （3）若小球能够触碰感应区PD，求Ep的取值范围。 21．如图所示，竖直固定的四分之一粗糙圆轨道下端B点水平，半径R1＝1m，质量M＝1kg的长薄板静置于倾角θ＝37°的粗糙斜面CD上，其最上端刚好在斜面顶端C点。一质量为m＝1.5kg的滑块（可看作质点）从圆轨道A点由静止滑下，运动至B点时对轨道的压力大小为FN＝39N，接着从B点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时与竖直固定的光滑半圆轨道DE底端粘接在一起。已知斜面CD长L2＝7.875m，薄板长L1＝2.5m，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数μ1＝0.25，滑块与长薄板间的动摩擦因数为μ2＝0.5，滑块在斜面底端的能量损失和运动过程中空气阻力均忽略不计，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，试求： （1）滑块由A到B运动过程中克服摩擦力做的功Wf； （2）滑块从C到D过程中损失的机械能ΔE； （3）如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R2需要满足什么条件？ 22．如图所示，长度为L＝5m的粗糙水平面AB与竖直面内半径为R＝2m 的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量为m＝1kg的小滑块将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，小滑块到达B点前已和弹簧分离，沿半圆轨道经过P点时脱离半圆轨道，OP与竖直方向的夹角为θ＝37°，脱离半圆轨道后运动至直线OP上方某位置M点（图中未画出）处距离直线OP最远。已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取重力加速度大小g＝10m/s2。求： （1）小滑块通过B点时对半圆形轨道的压力大小FN′； （2）弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep； （3）M点与直线OP的距离d。 （4）小滑块通过M点时重力做功的功率P。 23．某小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。半径为R的四分之一圆弧轨道通过水平短轨道AB与倾角为θ＝30°的传送带平滑连接，轨道和传送带均固定在地面上。传送带以恒定速率v0顺时针转动。现有一质量为m的物块，在圆弧轨道最高点P静止下滑，到达轨道最低点A，再经B点滑上传送带。物块与传送带间的动摩擦因数为μ，其余轨道均光滑。已知R＝1.25m，v0＝2m/s，m＝0.2kg，μ，不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长，g取10m/s2。求物块： （1）第一次运动到A点时轨道对物块的支持力大小； （2）第一次冲上传送带的最大距离； （3）物体从最高点第一次下滑回到B过程中电动机多消耗的电能。 24．如图，半径R＝1m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。在高h＝0.8m的光滑水平平台上，一质量m＝2kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep，若打开锁扣K，小物块将以一定的水平速度v0向右滑下平台，做平抛运动恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道，物块进入圆弧轨道后立即在A处放一个弹性挡板（碰撞过程机械能不损失）。已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）弹簧存储的弹性势能EP； （2）物体经过B点时，对圆弧轨道压力FN的大小； （3）物体在轨道CD上运动的路程s。 25．如图所示，竖直平面内由倾角α＝60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形圆轨道BCDE和圆轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ＝30°，G点与竖直端面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球与竖直墙面碰撞时，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向，不计小球大小和所受阻力。 （1）若释放处高度h＝2R，小球第一次运动到圆轨道最低点C时，求小球对轨道的作用力； （2）求小球在圆轨道内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式； （3）若小球释放后能从原路返回到出发点，释放高度h应该满足什么条件？ 26．如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑面底端固定一个被压缩且锁定的轻弹簧，轻弹簧的上端静止放一质量m＝2kg的滑块且滑块与斜面顶端N点相距x＝0.10m。现将弹簧解除锁定，滑块离开弹簧后经N点离开斜面，恰水平飞上顺时针始终匀速转动的传送带，已知传送带水平放置且足够长，传送带上端距N点所在水平面高度为h＝0.20m，滑块与传送带间的动摩擦因数（g取10m/s2） （1）滑块飞上传送带时的速度大小； （2）弹簧锁定时储存的弹性势能； （3）若传送带速度为7m/s，求滑块飞上传送带后因摩擦产生的内能； （4）传送带右端竖直固定半径R＝0.1m的光滑半圆轨道，且轨道下端恰好与传送带相切，为滑块能沿半圆轨道运动而不脱离半圆轨道，求传送带速度应当满足的条件。 27．某兴趣小组设计了一个“螺线形”竖直轨道模型，如图所示，将一质量为m＝0.1kg的小球（视为质点）在光滑圆弧轨道NAB上与圆心等高的N点以一定的初速度v0竖直向上抛出，小球运动过程中始终不脱离轨道。BC，CG是材料相同的水平面，BC段长L＝1.5m，CG足够长，CDEFC′是与C、C′点相切的竖直圆形光滑管道（管径很小，C、C′相互靠近且错开），已知圆弧NAB的半径R1＝0.1m，管道CDEFC′的半径R2＝0.2m，小球与BC、C′G间的动摩擦因数均为μ＝0.2，其余轨道均光滑。（g取10m/s2），求： （1）若小球能够通过A点，求它在A点的最小速度的大小； （2）若某次释放后小球恰好能通过圆轨道最高点E，求小球在N点的初速度v0的大小； （3）以C点为坐标原点，BG为x轴，从C到G方向为正方向，若小球能经过C点，求小球最终停止位置坐标x与小球在N点的初速度v0的大小的关系。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $