第六章 课时2 等差数列的通项与求和公式课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“等差数列的通项与求和公式”专题，依据课标要求梳理了概念理解、公式应用、性质运用、判定证明四大核心考点，通过近三年高考真题分析明确“基本量运算”占30%、“性质及最值”占25%的高频考查方向，归纳出选择、填空、解答题三大常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+规律总结+素养提升”的备考设计，如以2025新高考II卷等差数列求和题为例，详解“基本量法”和“性质速解法”，培养学生的运算能力与推理意识。针对“前n项和最值”易错点，通过“函数法”与“邻项变号法”对比训练，帮助学生掌握得分技巧，教师可依托此课件系统开展专题复习，提升备考效率。

课时2等 差数列的通 公式 项与求和 课标要求 1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式， 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. ,并能用有关知识解决相应的问 二、知识梳理 1.等差数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的 ②符号语言：an+1一an=dn∈N*,d为常数). (2)等差中项：数列a,A,b成等差数列的充要条件是 b的等差中项 差都等于同一个常数. 4=a叶6，其中4叫作a, 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1十(n一1)d 2)前n项和公式：从=a+7n1》 n (a+an) 2 3.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和. (I)若m十n=p十q(m,n,p,g∈N),则有am十a,=a4p十ag (2)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an} 是递减数列；当d=0时，{an}是常数列 【拓展知识】 1.若{an}是等差数列，公差为d, md的等差数列. 2.数列Sm,S2m-Sm,Ssm-S2m, 3.S2m-1=(2n-1)am. 4.若n为偶数，则S偶一S奇= 2 则☑k,Cak+m,Q+2m, .也是等差数列. 若n为奇数，则S奇- .(k,m∈N)是公差为 S偶=a中（中间项）. 5等养数列的前n项公式'与函数的关系：水+4加. 则数列{an}是 等差数列台Sm=An2十Bn(A,B为常数) 6.等差数列的前n项和的最值：在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sn存在最 大值；若a<0,d>0,则Sn存在最小值 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打 (1)若一个数列从第 等差数列.(×) √，错误的打“×”) 2项起，每一项与它的前一项的 差都是常数，则该数列是 s) (2)已知数列{an}的通项公式为an=pn+qp,q 数列. (√) 为实数)，则数列{an}一定是等差 (3)等差数列{an}的单 调性是由公差d决定的. (√) 美 (4)等差数列{an}前n项和公式是常数项为 的二次函数. (×) 2.已知数列{an}是等差数列.若a1一a9 A.10 B.14 B【解析】因为a1一a9十a17=(a1十a17) =2×7=14.故选B. a17=7,则as十a15=( C.21 D.24 a9=249-a49=a9=7,所以s十415=2I9 d) 3、(多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和， 正确的有( ) A.a2十as=0 B.an=2n-5 C.S=n(n-4) D.d=-2 已己知S4=0,a5=5,则下列结论 ABC【解析】S4= 4+c4)=0,所以a1十a4=a十a 2 a5=a1+4d=5①， a1+a4=a1十a1+3d=0②， d=2, 联立①② a=-3, 所以4，=-3+(1n-1)×2=2n S=一3十nDx2=-4,故C正确.故选ABC 2 0,故A正确； 5,故B正确，D错误； 4、(2025秋·上海高考) 的前6项和为 12【解析】因为等差数列 已知等差数列 的首项 的首项 ，公差 ,公差，则该数列 ,所以 四、考点扫描 考点一用等差数列的基本量运算 例1(1)在等差数列{an}中，已知a4十as=20, A.18 C.20 A【解析】因为a4十as=2a6=20,所以a6=10.又 =a7+3d=12+6=18.故选A. a7=12,则a10=( ) B.16 D.17 a=12,所以d=2,所以a10 ②)(2025新高考Π卷)记心.为等差数列a}的前n项 A.20B.-15C.-10D.-5 B【解析】设等差数列a,的公差为山，则由题可得 所以 三故选B. 和若。则= 规律方法 (1)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量， (2)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五 中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”） 即首项a1和公差d. 个量a1,n,d,a,Sn,知道其 对点训练()(2025北京高考)已知a.}是公差不为0的等差数列，4=2若 成等比数列，则o=（) A.20 B.-18 C.16 D.18 C【解析】设等差数列{a,}的公差为④因为子子←成等比数列且一三 所以承2，即（三三， 解得2或4C(舍去)， 所以 今故选C (2)(2025·天津滨海区模拟)已知数列{a}为各项 的前n项和，且，则ag的值为() A.4 B.8 C.12 不为零的等差数列，Sn为数列{a} D.16 DI解析】设等差数列{a,}公 解得3-4，所以z A<→A 故选D. 差为d,因为，所以 当2时， ò年→2， 当H时，会全 所以42，所以 考点二 等差数列的判定与证明 例2 (2025·新高考I卷)设数列 (1)证明： 为等差数列； (2)设 求 满足 9 (1)【证明】因为 ,所以 ,即 因为，所以数列 是首项为3，公差为1的等差数列 (2)【解】由(1)知， ,因为 所以 所以 ①. ②. ①②得 ,所以 规律方法： 数列{an}是等差数列的充分必要条件有： (I)对于数列{an},am一an-1n≥2，n∈N)为同一常数台{an}是等差数列； (2)对于数列{an},2an-1=a,十an-2n≥3，n∈N)成立台{an}是等差数列； (3)an=pn十qp,9为常数)对任意的正整数n都成立台{an}是等差数列； (4){an}的前n项和公式法Sm=An十Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立台 {an}是等差数列 注：其中证明数列是等差数列的依据是第(1)和(2) 对点训练 (1)数列{a, 是等差数列 的前n项和Sn满足 的.证明：{a,} 【解】由题意，主(*)， 两边同加a1项，得号升.由(*)式可得： 有博，所以 (一丰白与，得气，即=尘成 立，当nH时，，得飞三 综上，恒成立，所以a是以2为公差的等差数列 2知数a满足子之证明：数列 是等差数列 【罪明】令5三，又，是 则有 又4=2，所以 G 之子，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列 42 考点三 等差数列的性质及最值 例3(1)2025·河南郑州市模拟) 多(，则正整数k的值为 已知等差数列{a}的前 项的和为S。,且4-1 01 5【解折】在等差数列仅中，由之=-1，得6毛，因为成立，由对 称性知，上，则 所以 所以 所以早， 即 解得5 (2)已知等差数列{a}的前n项和为S.,且名亚， 16【解析】因为等差数列{an}的前n项和为S.,所以S, 数列，所以会，即卫， ,所以2， 解得名 五上，则S6= g,名，名成等差 解得S=7,所以 (3)(多选题)若数列{an}为等差数列，S 则下列说法正确的有( A.公差dk0 B.S12>0 C.So-Ss D.使得Sm<0成立的最小正整数n=14 为其前n项和，且S5<S6,S6=S7,S7>S8, ABD【解析】由题意得，S5<S6,则S6一S5=a6>0;S%=S7,则S7-S6==0;S7>S8, 则S8一S=as<0.由a6>a,得dK0,故A正确 1t2=6(a6十a)=6a6>0,故B正确. 2 Sg-S5=a6十a7十as十a9=2(a7+as)=2as<0,故Sg<S5,故C错误 4 -79d)=7d50.=14g=0.D 2 2 选ABD. 对点训练(1)(2025·河南洛阳市模拟)已知等差数 多灸，则作 12【解析】由装，得4， 则 列{a}的前n项和为Sn,且 (2)(2025·北京海淀区模拟)已知数列{an},{bm}均为等差数列，且a1=25, b1=75,a2十b2=120,则a37+b37=( A.760 B.820 C.780 D.860 B【解析】因为数列{an},{bn}均为等差数列，所以数列{an十bm}为等差数列， 设其公差为d.因为41十b1=100,a2+b2=120,所以d=120-100=20,所以 a37十b37=100十20X36=820.故选B (3)(2025贵州铜仁市期末 有温若<1， 则( n 2+1 C47 A.S的最小值是S C.S,的最大值是S, )设S.为等差数列{a}的前n项和，且，都 ) B.S的最小值是Sg D.S,的最大值是Sg A【解折】巾得艺货产， nn+1 车 即g,所以数列{an}为 递增的等差数列.s<1,(,(,所以当工且x心时，，C C7 当2≥且时，CC.∴.Sn有最小值，最小值为S,.故选A 米 感谢观看 THANKS