精品解析：广东深圳市盐田高级中学2026届高考适应性考试数学试卷

深圳市盐田高级中学2026届高考适应性考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，则，故A错误； ，故B错误； ，故C正确；，故D错误． 2. 已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，解得， 时，，则是的一个对称中心． 3. 若，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过对数函数的单调性判断与的大小，利用幂函数的单调性判断与的大小，从而确定正确选项. 【详解】由对数函数 在上单调递减， 得 ，即； 由对数函数在上单调递增， 得 ，即，因此. 由幂函数在上单调递减， 得，即. 综上，且. 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数. 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 5. 已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，解得， ． 6. 已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围． 【详解】为二次函数，对称轴为， 所以时，单调递减， 令 ，， 所以在单调递增， 则函数的图象如下： 函数仅有一个零点，即只有一个交点， ． 7. 已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（  ） A. 对于任意给定的点，存在点，使得 B. 对于任意给定的点，存在点，使得 C. 对于任意给定的点G，存在点F，使得 D. 对于任意给定的点F，存在点G，使得 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为1，设，，，再利用垂直与平行的空间坐标表示逐项判断即可． 【详解】对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的边长为1，可得，，， 且点分别是线段和上的动点， 得到，，， 而，，则，设，可得， 则，解得，得到， 可得，，， 若，则，解得， 此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确， 对于CD，若，则， ，方程组无解，故与不可能平行，CD错误． 8. 设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，由平行可得，进而得到，即；对于B，由向量模长的运算判断；对于C，由题可得，再根据数量积的运算律求解即可；对于D，直接根据向量的加法运算及新定义即可判断． 【详解】对于A，若，则，即，又不共线， ，整理得，故A正确； 对于B，， ，故B错误； 对于C，若， 则 ，故C错误； 对于D， ，故D错误． 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（   ） A. 在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B. 若随机变量满足，则 C. 若随机变量，则 D. 若事件满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据决定系数的概念判断即可；对于B，根据期望的线性运算即可求解；对于C，由二项分布的方差公式求解；对于D，由题可得，再根据条件概率的乘法公式计算． 【详解】对于A，回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1， 说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，A正确； 对于B，根据方差的运算性质，对任意常数，有， 本题中，因此 ，B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，由条件概率性质，， 因此，故D正确． 10. 已知前项和为的数列满足，则（   ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前18项和为 D. 不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，作差得，再根据通项判断即可；对于B，由，再分组求和即可判断；对于C，运用裂项相消法求和即可；对于D，根据题意可得，即，进而可得与题干矛盾． 【详解】， ，() ，则， 又时，满足上式， 故数列是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确； ，则，故B正确； ， 则数列的前18项和为，故C错误； ，则， 若，，成等差数列， 则，即，， 即，又，，为正整数， ，即与题干矛盾， 即不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列，故D正确． 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，则下列结论正确的是（ ） A. 坐标原点O到直线AB的距离为 B. 若，则的取值范围为 C. 的面积最大值为 D. 四边形的面积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A，通过点到直线距离公式计算即可；B，用坐标法表示出向量数量积后求解范围；C，通过点到直线距离公式求出到直线的距离，通过三角函数换元求出面积最大值；D，将四边形分解为两个三角形的面积和求解. 【详解】椭圆，得， 则， 第一象限椭圆上，满足，即. 对于A：直线过，方程为，即， 原点到的距离，A正确； 对于B：，代入​​， 得：， 即，不是，B错误； 对于C：，到直线的距离​， 则， 令， 得，，最大值为， 因此：，C正确； 对于D：直线方程：， 令得，则， 直线方程：，令得， 则， ，代入， 得 ， 所以四边形的面积等于 ，D正确. 二、填空题 12. 设，若复数是纯虚数，则_____. 【答案】1 【解析】 【详解】， 又为纯虚数，所以， 解得． 13. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 【答案】45 【解析】 【详解】， ， ，又展开式的通项为， 当，解得， ，即展开式中的含项的系数为． 14. 为了减轻教师阅卷负担，我校在一次高三数学考试中尝试采用AI辅助阅卷，阅卷后，成绩分布如下： 分数 人数 20 55 75 375 0 325 125 25 为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于90分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于90分而低于120分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于120分，则复批的概率为．若某同学试卷被复批，则AI批阅该同学试卷不低于120分的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率公式求解． 【详解】设该同学得分在为事件，该同学得分在为事件， 该同学得分在为事件，该同学试卷被复批为事件． 根据已知表格中数据可得 ， ， ， . 所以 ， ， . 又由已知得 , 所以 ． 三、解答题 15. 在中，角的对边分别为． （1）证明：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）在中，由正弦、余弦定理得 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用差角的正弦公式、正弦定理、余弦定理推理得证. （2）由（1）及已知，结合余弦定理求出及，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，又， 则，而，于是（*）， 即，由余弦定理得，因，故， 又由（*）可得，因，，则， 所以的面积为. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则. （1）求的标准方程； （2）已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据弦长求出即可； （2）根据题意联立得，设，则，再由 进行求解． 【小问1详解】 由题可知，则，即， 解得， ， 所以双曲线； 【小问2详解】 由直线与双曲线联立方程组消可得： ，又直线与双曲线交于两点， 所以 ，即， 设，则， 因为以为直径的圆过点，所以， 即 ， 化简得： ， 解得或，都满足， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）在平面内作交于点，连接， 由，，得， 所以， 又平面平面，平面平面， ，平面，故平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，，则，即， 在中，由，，，所以，故， 又，且，、平面， 故平面，因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）作，进而得到，再由面面垂直的性质得到平面，则，然后证明平面即可求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求点到面的距离即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，， 故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 故、、、、， 得到，，，则， 设为平面的一个法向量， 则，取， 解得 ，得， 因为，设点到平面的距离为, 由点到平面的距离公式得. 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： （1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； （3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】（1）， （2） 0 1 2 3 4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求即可，利用平均数的求解公式求解即可； （2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出分布列并得到期望即可； （3）由题可得恰好答对3个问题的概率为，设，求出，进而分析得出最值及的值． 【小问1详解】 根据频率直方图的性质可得 ，解得, 利用中点值可估计平均年龄为； 【小问2详解】 由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内有 人，年龄在第三组内有 人， 年龄在第四组内有 人，年龄在第五组内有 人， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以； 【小问3详解】 从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 19. 已知. （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）若有大于零的极值点，比较与的大小； （3）若有且只有唯一整数，使，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由 ，再参变分离得，令，再利用导数分析函数单调性得到图象，从而确定的取值范围； （2）根据导数确定函数的极值点，利用隐零点可得 ，令 ，再利用导数确定的最值即可； （3）易知时不等式不成立；当时，，当时，，根据图象，结合有且只有唯一整数，使，确定的取值范围． 【小问1详解】 由 可得： ， 所以不是的零点，则令 ， 分离参变量可得，构造函数，则， 当时， ，则在上单调递增， 当或时， ， 则在，上单调递减， 当时， ，则在上单调递增， 根据单调性和极值点作出函数图象： 所以要满足方程有两个解，则 ； 【小问2详解】 求导得：，设为的导数， 则 ， 当时， ，所以在上单调递增， 要使得有大于零的极值点，则方程 在上有解， 即当， 在上必存在唯一正根， 满足 ，且为函数的极小值， 则 令 ，求导得： ， 当时， ， 则 在上单调递增， 当时， ， 则 在上单调递减， 所以 ，即 . 【小问3详解】 ，当时，不等式显然不成立； 当时，由得，，根据图象： 因为，且， 所以要满足有且只有唯一整数，使，即， 则，此时存在唯一整数； 当时，由得，，根据图象： 因为，， 所以要满足有且只有唯一整数，使，即， 则，此时存在唯一整数； 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市盐田高级中学2026届高考适应性考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A. B. C. D. 3. 若，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 5. 已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（  ） A. B. C. D. 7. 已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（  ） A. 对于任意给定的点，存在点，使得 B. 对于任意给定的点，存在点，使得 C. 对于任意给定的点G，存在点F，使得 D. 对于任意给定的点F，存在点G，使得 8. 设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（   ） A. 在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B. 若随机变量满足，则 C. 若随机变量，则 D. 若事件满足，则 10. 已知前项和为的数列满足，则（   ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前18项和为 D. 不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，则下列结论正确的是（ ） A. 坐标原点O到直线AB的距离为 B. 若，则的取值范围为 C. 的面积最大值为 D. 四边形的面积为定值 二、填空题 12. 设，若复数是纯虚数，则_____. 13. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 14. 为了减轻教师阅卷负担，我校在一次高三数学考试中尝试采用AI辅助阅卷，阅卷后，成绩分布如下： 分数 人数 20 55 75 375 0 325 125 25 为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于90分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于90分而低于120分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于120分，则复批的概率为．若某同学试卷被复批，则AI批阅该同学试卷不低于120分的概率是________. 三、解答题 15. 在中，角的对边分别为． （1）证明：； （2）若，，，求的面积． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则. （1）求的标准方程； （2）已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图： （1）利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望； （3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 19. 已知. （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）若有大于零的极值点，比较与的大小； （3）若有且只有唯一整数，使，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $