精品解析：江苏省如皋中学2026届高三年级考前综合练数学试题

江苏省如皋中学2026届高三年级考前综合练 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 模型在金融、物理等方面具有重要应用．进行正态分布的合理调整之后，可得一种模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期．已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 5. 已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知数列的首项，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成角为 D. 若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为 11. 已知存在极大值点和极小值点，且，则（ ） A. 当时， B. 当时，有三个零点 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 13. 已知是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，关于原点的对称点为．若，且成等比数列，则椭圆的离心率为______． 14. 半径为1的球可以整体放入一圆锥容器内（容器壁的厚度忽略不计），则该容器体积的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角所对的边分别为，，且成等差数列． （1）求的面积； （2）若的角平分线交于，求． 16. 已知． （1）求的最小值； （2）若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点，，且． （1）证明：平面； （2）若，二面角的平面角为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在面内，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 18. 已知盒子中共个大小相同的球，有红、白、黄三种颜色，其中红球个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出．记第次取到红球的概率为． （1）求（结果用和表示）； （2）若，白球与黄球个数之比为5:3，求红球最先被取出的概率（取出最后一个红球时盒子中还有白球和黄球）； （3）记随机变量为最后一个红球取出时所取出球的个数，求证：． 19. 定义：在平面内，直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，且点在第一象限．当与轴垂直时，直线为的等线． （1）求双曲线的方程； （2）若是四边形的等线，求点和点坐标； （3）若为坐标原点，，点的轨迹为曲线Γ，判断Γ在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2026届高三年级考前综合练 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设复数，通过对已知等式变形，结合复数的运算、复数相等或模的运算性质求解即可. 【详解】由有意义，可知. 设复数，， 则， ，所以，解得或. 当时，则为实数，此时方程，即，无实根. 故，因此，解得或（舍去），即. 3. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以. 4. 模型在金融、物理等方面具有重要应用．进行正态分布的合理调整之后，可得一种模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期．已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将已知参数代入定价公式，推导执行价格与有效期的关系，结合的条件计算的值. 【详解】将，代入定价公式得： ， 化简得： ，整理得（）. 当时，；当时，； 又，所以，即，所以， 因此. 5. 已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正切函数及正弦函数的对称中心，根据题意求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 正弦函数的对称中心为，. 因为正切函数与函数对称中心完全相同，所以. 6. 已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算求出点的轨迹为圆，结合直线与圆有公共点的条件，利用圆心到直线的距离不大于半径求解的取值范围. 【详解】设点，由，，得，. 由，代入得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 直线整理为一般式， 因为直线上存在满足条件的点，故直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离. 由点到直线距离公式得，所以， 整理得，即，解得， 故的取值范围为. 7. 已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值. 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 8. 已知数列的首项，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用累加法及裂项相消法求和即得. 【详解】在数列中，由，得， 即，令，则， 由，得，当时， ，满足上式，因此， 当时，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件概率定义、乘法公式、全概率公式分别计算各选项对应概率，判断正误即可. 【详解】由题意得：， ， ，. 对于A：表示任取一个零件是第1台车床加工的条件下为次品的概率，即第一台车床的次品率，为，故A正确； 对于B：由乘法公式可得 ，故B错误； 对于C：由全概率公式可得 ，故C正确； 对于D：由条件概率公式可得，，显然，故D错误. 10. 如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成角为 D. 若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用二面角的定义判断B；利用定义求出异面直线夹角判断C；利用正八面体的内切球的内切正四面体的棱长判断D. 【详解】对于A，由正八面体，得四边形为正方形，， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，得平面， 而平面，令平面平面，因此， 取的中点，连接，由都是正三角形， 得，则，因此是二面角的平面角， 又，，是锐角， 因此平面与平面不垂直，B错误； 对于C，由，得异面直线与所成角等于或其补角， 由为正三角形，得，因此异面直线与所成角为，C正确； 对于D，由正四面体可在内任意转动，得棱长最大的四面体外接球 是正八面体的内切球，设该球半径为，而 ，又， 则，设正四面体的棱长为，则其高， 由正四面体和外接球半径为，得，即， 解得，因此该正四面体棱长的最大值为，D正确. 11. 已知存在极大值点和极小值点，且，则（ ） A. 当时， B. 当时，有三个零点 C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数的导数，按分别确定函数的单调性，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于AB，当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值，在处取得极小值， 因此，函数只有一个零点，A正确，B错误； 对于CD，当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得，C错误； ，由，得，整理得， 则，而，因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 由原平均数为10，得，因此； 由原方差为6，根据方差定义得，因此； 加入数据10后，新样本的平均数，与原平均数相等； 新样本的方差. 13. 已知是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，关于原点的对称点为．若，且成等比数列，则椭圆的离心率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称性、等比中项的性质及余弦定理列式求解. 【详解】令椭圆的长半轴长为，半焦距为，设，则， 由关于原点的对称点为，得四边形为平行四边形，则， ，，由成等比数列， 得，则，在中，由余弦定理得， 联立解得，因此，所以椭圆的离心率为. 14. 半径为1的球可以整体放入一圆锥容器内（容器壁的厚度忽略不计），则该容器体积的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】作圆锥轴截面，求出圆锥的体积的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，当球与圆锥底面和侧面都相切时圆锥容器的容积最小， 作圆锥轴截面如图，为圆锥的高，为球心，为切点， 则，又， 则， 由，得， 因此该圆锥的体积 ， 当且仅当，即时取等号， 所以该容器体积的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角所对的边分别为，，且成等差数列． （1）求的面积； （2）若的角平分线交于，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由成等差数列，则，即， ，又， 解得，则，， ； 【小问2详解】 平分， ，则， 解得， ， ， 解得． 16. 已知． （1）求的最小值； （2）若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】（1）的最小值为 （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，进而求得最小值； （2）先确定是方程的一个根，将问题转化为时仅有一个实根，构造函数分析其单调性和值域，确定参数范围即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，. 故的最小值为. 【小问2详解】 方程整理为 ，显然是方程的一个实根. 要使方程有两个不等实根，只需有且仅有一个非零实根，即时仅有一个实根. 令，则 . 令，则 ，解得.  ①当时，，单调递减，此时， 且时，，时，，此时值域为， 因此当时，在有唯一解； ② 当时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取最小值， 当时，， 因此当时，在上有唯一解； 当时，在上无实数解； 当时，在上有2个解； 因此，满足条件. 综上，的取值范围是. 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点，，且． （1）证明：平面； （2）若，二面角的平面角为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在面内，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 【答案】（1）在直三棱柱中，平面，由平面，得， 由为的中点，，得，又，平面， 所以平面 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，利用面面角的法向量列式求出，再利用线面角的向量法求解；②利用三棱锥体积求出点到平面的距离，再由向量法求距离求出轨迹方程，进而求出轨迹长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而平面的法向量，由二面角的平面角为， 得，解得，，， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. ②由（1）得，则， 由三棱锥的体积为，得到平面的距离为， 由点在侧面上，设，则， 因此到平面的距离为， 点轨迹方程为，而 ， 则在侧面上的轨迹是线段，所以的轨迹长度为. 18. 已知盒子中共个大小相同的球，有红、白、黄三种颜色，其中红球个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出．记第次取到红球的概率为． （1）求（结果用和表示）； （2）若，白球与黄球个数之比为5:3，求红球最先被取出的概率（取出最后一个红球时盒子中还有白球和黄球）； （3）记随机变量为最后一个红球取出时所取出球的个数，求证：． 【答案】（1），； （2）； （3）随机变量的所有可能取值为， 则， 因此随机变量的期望 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用古典概率及全概率公式求解. （3）确定随机变量的取值并求出每个取值的概率，再利用数学期望的定义，结合组合数的性质推理得证. 【小问1详解】 依题意，，. 【小问2详解】 由及白球与黄球个数之比为5:3，得白球个数为，黄球个数为15， 取出最后一个红球时盒子还有白球和黄球的事件等价于最后一个红球后既有白球又有黄球的事件， 将45个球排成一列，最后一个是白球的事件为，最后一个是黄球的事件为， 则，， 因此， 所以红球最先被取出的概率为. 【小问3详解】 略 19. 定义：在平面内，直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，且点在第一象限．当与轴垂直时，直线为的等线． （1）求双曲线的方程； （2）若是四边形的等线，求点和点坐标； （3）若为坐标原点，，点的轨迹为曲线Γ，判断Γ在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点； （3）是，理由如下： 设，由，得，则点的轨迹的方程为， 在点处的切线方程为，即，， 直线与轴交点横坐标，则点与在直线的右侧，点在直线的左侧， 由（2）知，， 点到直线的， 点到直线的，点到直线的， 则，所以直线为的等线. 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，利用给定的定义列式求出即可. （2）求出直线的方程并与双曲线的渐近线方程联立求出点的坐标表示式，再利用给定的定义求解. （3）利用坐标代换法求出轨迹的方程，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式结合定义计算判断. 【小问1详解】 依题意，设双曲线的半焦距为，则， 由与轴垂直，且直线为的等线，得点，则，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，显然， 由，得， 则，解得， 直线的方程为，又双曲线的渐近线方程为， 由，得；由，得， 则，即点是线段的中点，而是四边形的等线， 又点到直线的距离相等，因此点到直线的距离相等， 直线必过线段的中点，即点在直线上，则， 又，于是，， 所以点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $