精品解析：2026年山东省聊城市阳谷县第二实验中学中考模拟数学试卷

2026年山东省聊城市阳谷县第二实验中学中考模拟数学试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列各数中属于负数的是（ ） A. B. C. 的相反数 D. 的相反数 【答案】C 【解析】 【分析】先根据绝对值、相反数的性质计算每个选项的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）判断即可． 【详解】对每个选项逐一计算判断： 选项A：， ， 不是负数． 选项B：， ， 不是负数． 选项C：根据相反数定义，2的相反数是， ， 是负数． 选项D：根据相反数定义， 的相反数是， ， 不是负数． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意； B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故D符合题意； 故选：D． 3. 某种病毒的直径约为 ，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法形式为，其中要求，表示小于1的正数时，为负数，等于原数小数点移到第一个非零数字后移动的位数． 【详解】解：∵原数为，将小数点向右移动到第一个非零数字1后，得到，满足 ，一共移动了7位， ∴ ． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．熟记法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图所示的几何体是由5个相同的小正方体组成，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据三视图的法则可得：从左面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，则C为左视图，D为主视图，A为俯视图． 考点：简单组合体的三视图 6. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，用表示出的值，再根据解为正数且分式分母不为0，求出的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 整理得 ， ∵方程的解为正数， ∴，即， 解得， ∵分式方程分母不能为0， ∴，即， 解得， 因此的取值范围是且． 7. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可． 【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下： 第一次 第二次 开始 ∴两次都是红球． 故选D． 【点睛】考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别． 8. 把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】B 【解析】 【分析】截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长20米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管a根，3米长的b根，由题意得到关于a与b的方程，求出方程的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设2米长的根，3米长的根， ∵、均为正整数， 根据题意，得：． ∴，，， 共有3种可能， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出a，b的值是解本题的关键，注意a，b只能取正整数． 9. 小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 两个正六边形为相似图形，所以我们要求面积比，则可求边长比，因此只需求出小正六边形的边长即可，根据这一特殊角，解即可得解． 【详解】解：设小正六边形的边长为，则， ∵是小正六边形的外角， ∴， 将作简化图如下， 过作于点， 在中，，， ∴ 在中，， ， 整理得． 解得，（舍）， ．．小正六边形得边长为5， 小正六边形与圆内接正六边形是相似图形， ∴相似比为， ∴面积比为， 故选：D． 10. 一列数，，，，，其中，，，，则（　　） A. B. C. 2020 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律问题，同时考查了有理数的加减乘除乘方的运算，根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值．注意观察总结规律，并能正确的应用规律是解答此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∴这列数是、、、、、、，发现这列数每三个循环， 由，且， ， 故选B． 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 12. 将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形，求出∠DAE，再求出∠FAE，利用三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵△ADE为等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠E=45°， 又∵∠CAB=30°， ∴∠FAE=∠DAE-∠CAB=45°-30°=15°， ∴∠BFE=∠E+∠FAE=45°+15°=60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查三角板形成的角，等腰直角三角形性质，角的和差，三角形外角性质，掌握三角板形成的角，等腰直角三角形性质，角的和差，三角形外角性质是解题关键． 13. 如图，已知双曲线与直线相交于A，B两点，第一象限内的点（在点A左侧）是双曲线上的动点，过点B作轴交x轴于点D，过点作轴交双曲线于点E，交于点，若B是的中点，四边形的面积为4，则直线的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，正比例函数与反比例函数，掌握相关知识是解题的关键． 先根据是中点，点纵坐标为，可得点纵坐标为，从而得出点的坐标，从而可表示出点的坐标，根据列出关于的方程，解方程求出的值，即可得出的坐标，最后利用待定系数法进行计算即可． 【详解】解：是中点，轴，点纵坐标为， 点纵坐标为， 把代入直线得，， ， 点的横坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ，，，， ， 将点纵坐标代入方程得， 点的横坐标为， ， ， ， 解得：， 点坐标，点坐标，， 当时，， ， 点坐标， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为． 故答案为：． 14. 如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则扇形圆心角的度数为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用弧长公式 求解． 【详解】解：设等边三角形的边长为，圆心角， 根据弧长公式，得 ，解得 ． 15. （1）函数的图像与函数的图像关于__________成轴对称，函数的图像可以看成是由函数的图像绕__________至少旋转__________得到的． （2）对于函数，当时，__________；当__________时，． 【答案】 ①. 轴 ②. 原点 ③. ④. ⑤. 或 【解析】 【分析】第一问根据轴对称的定义和旋转的性质，判断两个二次函数图象的位置关系；第二问利用代入法，分别求函数值和自变量的值，结合平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）取图象上任意一点，该点关于轴对称的点为 ，代入满足等式，因此两个函数图象关于轴成轴对称. 图象上任意一点绕原点旋转后，得到的对应点都满足，因此的图象可看作的图象绕原点至少旋转得到； （2）当时，将代入得： ； 当时，将代入得： ； 等式两边同乘得， 根据平方根的定义开方得． 三 、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解不等式并将它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式2x－1＞，并将它的解集在数轴上表示出来； （3）解不等式组，并写出它的整数解． （4）解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】（1）x<-5；（2）x>1；（3）-2<x≤1，整数集：-1，0，1；（4）-7<x<3，正整数集：1，2． 【解析】 【分析】（1）先解不等式，再在数轴上表示解集（2）先去分母，解不等式，再在数轴上表示解集（3）先解不等式组，再根据要求写出整数解（4）先解不等式组，再根据要求写出正整数解. 【详解】解：（1） （2） （3） 此不等式组的解集为,整数解为. （4） 此不等式组的解集为,正整数解为 【点睛】此题重点考查学生对不等式及不等式组解的理解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键. 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，CD＝1，延长AC到E，使AE＝AB，连接DE，BE． (1)求BD的长； (2)求证：DA＝DE． 【答案】(1)BD＝2；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知∠CAB=60°，想办法证明DA=DB=2CD即可； （2）由题意可知三角形ABE是等边三角形，然后在证明Rt△DCA≌Rt△DCE，即可求证． 【详解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB， ∴∠CAB＝60°＝2×∠CAD， ∴∠CAD＝∠DAB＝30°；， ∴∠DAB＝∠DBA＝30°， ∴BD＝DA＝2CD＝2． (2)∵AE＝AB，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠EAB＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∵BC⊥AE， ∴AC＝CE， ∵∠ACD＝∠DCE＝90°，CD＝CD， ∴Rt△DCA≌Rt△DCE(SAS)， ∴DA＝DE． 【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形，解题的关键是掌握角平分线的性质以及等边三角形的性质，此题难度不大． 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用、二次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先将点代入直线，解得，易知该直线的解析式为，再将点代入直线，进而确定点，将其代入反比例函数解析式并求解即可； （2）设与x轴交于点，设，则，，易知，，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可得当时，面积取最大值，然后确定点的坐标即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， ∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴将点代入直线， 可得，即， 将代入反比例函数， 可得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 如下图，设与轴交于点， ∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图像于点， ∴可设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，面积取最大值，最大值为4， 此时． 19. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的百分比___________； （3）已知“”这组的数据如下：83，85，87，81，86，84，88，85，86，86，88，89．这组数据的众数是___________分；抽取的n名学生测试成绩的中位数是___________分； （4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2） （3）， （4）优秀人数是672人 【解析】 【分析】（1）先求出样本容量，再用样本容量减去已知各部分的频数，即可求出“”这组的频数，从而补全频数直方图； （2）用“”这组的频数除以样本容量即可； （3）根据众数和中位数的定义求解即可； （4）用1200乘以80分以上人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， 补全频数直方图如下： 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：将“”这组数据进行排序： 81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89，出现次数最多的为， ∴众数为分， 故答案为：； ∵“”分的人数已有22人， ∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分， ∴中位数是分； 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）． ∴优秀人数是672人． 【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体，求数据的众数与中位数． 20. 如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°． （1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）； （2）若（1）中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号） 【答案】（1）2米（2）（2＋2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，可得△ABC是等腰直角三角形，即可得出BC的长； （2）根据主臂伸展角∠MAB和伸展臂伸展角∠ABC的范围求出伸展到最远时AC的长度即可得出结果． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m， ∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2（m）， 答：伸展臂BC的长为2米； （2）如图： 由题意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D， 在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m， ∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2（m）， ∵∠MAB＝30°，BD⊥MN， ∴∠ABD＝60°， ∵∠ABC＝105°， ∴∠CBD＝45°， 在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2m， ∴CD＝BC•cos45°＝2×＝2（m）， ∴AC＝CD＋AD＝2＋2， ∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2＋2）米的土石． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确解直角三角形是解题的关键． 21. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F （1）求证：BF平分∠DFE； （2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形性质和圆周角定理求出∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，根据垂径定理求出CH＝DH，求出BC＝BD，根据等腰三角形性质求出∠BCD＝∠CDB，求出∠EFB＝∠DFB即可； （2）根据全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根据全等三角形的性质求出BD＝BE＝5，证△DHB∽△ADB，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵C、D、B、F四点共圆， ∴∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB， ∵CD⊥OA，OA过O， ∴CH＝DH， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠CDB， ∴∠EFB＝∠DFB， ∴BF平分∠DFE； （2）解：设⊙O的半径为R， ∵在△DFB和△EFB中 , ∴△DFB≌△EFB（SAS）， ∴BD＝BE， ∵BE＝5， ∴BD＝5， ∵AB为⊙O直径，CD⊥AB， ∴∠ADB＝∠DHB＝90°， ∵∠DBH＝∠ABD， ∴△DHB∽△ADB， ∴， ∵AH＝，BD＝5，AB＝2R，BH＝2R﹣， ∴, 解得：R＝，R＝﹣2（舍去）， 即⊙O的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形，垂径定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 22. （1）问题发现 如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）类比探究 如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标． 【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由见详解；（2）AB=kAC， 180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值为3 【解析】 【分析】（1）先证明△ABD≌△ACE，从而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，结合∠AGB＝∠FGC，即可得到结论； （2）先证明ABCADE，从而得，结合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，进而即可得到结论； （3）把OPM绕点M顺时针旋转90°得到 （与N重合），则，，(3，3)，，进而即可求解． 【详解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC−∠DAC，∠CAE＝∠DAE−∠DAC ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∵， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AGB＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE， 故答案是：BD＝CE，BD⊥CE； （2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β， ∴ABCADE， ∴， ∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∴BADCAE， ∴∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB＝∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β， ∴AB=kAC，直线BD和CE相交所成的较小角的度数为：180°-α-β； （3）由题意得：MN=MP，∠NMP=90°， 把OPM绕点M顺时针旋转90°得到 （与N重合），则，， ∵点M的坐标为（3，0）， ∴(3，3) ∵OPM， ∴，即线段OP长度最小时，的长度最小， ∴当⊥y轴时，的长度最小，此时(0，3)， ∴N(0，3)，OP的最小值为3 . 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键． 23. ①我们规定：二次函数与互为中心对称函数； ②定义：表示两个数中的最小值，对于函数和，当时，；当时，，则函数． （1）已知二次函数，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大．则该二次函数的解析式为______，其中心对称函数的解析式为______．并求出当、同时随增大而减小时，的取值范围． （2）在（1）的条件下，求出函数； （3）若宽为3的矩形中，点，矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），，当时，同时随的增大而减小 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求出a的值，即可得到的解析式，结合二次函数的性质即可解答； （2）联立，求出或，根据定义函数，即可解答； （3）由（2）中函数解析式，画出函数图像，求出最值，结合矩形的性质，设函数的图象与x轴交点为两点（M点在N点左侧），分点在x轴上方和下方，两种情况，结合图形讨论即可． 【小问1详解】 解：二次函数中，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， ，且， ， ， ， 二次函数的图象关于，且， 二次函数图象开口向下， 当时，随增大而减小； 综上所述，当时，同时随的增大而减小； 【小问2详解】 解：联立 解得：或， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述：； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 二次函数的图象关于对称，且， 二次函数图象开口向下， 当时，随增大而增大， ， 当时，随增大而增大， 同理得：当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数在上有一个最小值，最小值为； 设函数的图象与x轴交点为两点（M点在N点左侧）， 当点在x轴上方时，如图， 令，解得或（舍去）； ∴， 同理，令，解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∵宽为3的矩形中，点，， ∴在轴上，，， ∴直线的解析式为， ∵，， 矩形与函数的图像只有一个交点或没有交点， 当点在x轴下方时，如图， 当点重合时，矩形与函数的图像有两个交点， 此时，，即； 如图，当点重合时，矩形与函数的图像有三个交点， 此时，，即； ∴当时，如图，矩形与函数的图像有三个交点， ∴矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质和新定义，二次函数与特殊四边形的综合问题，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省聊城市阳谷县第二实验中学中考模拟数学试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列各数中属于负数的是（ ） A. B. C. 的相反数 D. 的相反数 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某种病毒的直径约为 ，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由5个相同的小正方体组成，其左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 9. 小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 10. 一列数，，，，，其中，，，，则（　　） A. B. C. 2020 D. 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则_______． 13. 如图，已知双曲线与直线相交于A，B两点，第一象限内的点（在点A左侧）是双曲线上的动点，过点B作轴交x轴于点D，过点作轴交双曲线于点E，交于点，若B是的中点，四边形的面积为4，则直线的表达式为_____． 14. 如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则扇形圆心角的度数为 ______． 15. （1）函数的图像与函数的图像关于__________成轴对称，函数的图像可以看成是由函数的图像绕__________至少旋转__________得到的． （2）对于函数，当时，__________；当__________时，． 三 、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解不等式并将它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式2x－1＞，并将它的解集在数轴上表示出来； （3）解不等式组，并写出它的整数解． （4）解不等式组并写出它的正整数解． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，CD＝1，延长AC到E，使AE＝AB，连接DE，BE． (1)求BD的长； (2)求证：DA＝DE． 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当面积最大时，求点的坐标． 19. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的百分比___________； （3）已知“”这组的数据如下：83，85，87，81，86，84，88，85，86，86，88，89．这组数据的众数是___________分；抽取的n名学生测试成绩的中位数是___________分； （4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 20. 如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°． （1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）； （2）若（1）中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号） 21. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F （1）求证：BF平分∠DFE； （2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径． 22. （1）问题发现 如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）类比探究 如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标． 23. ①我们规定：二次函数与互为中心对称函数； ②定义：表示两个数中的最小值，对于函数和，当时，；当时，，则函数． （1）已知二次函数，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大．则该二次函数的解析式为______，其中心对称函数的解析式为______．并求出当、同时随增大而减小时，的取值范围． （2）在（1）的条件下，求出函数； （3）若宽为3的矩形中，点，矩形与（2）中的函数的图像有三个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $