2026届高三数学考前自测模拟试卷一（新高考一卷）

**基本信息** 2026届高三数学冲刺模拟卷（新高考一卷），覆盖集合、复数等核心知识，解答题融合概率统计（盲盒游戏）、椭圆、导数等综合题型，梯度分明，注重数学思维与应用能力，适配新高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、向量、概率、立体几何|单题基础巩固，多选题考查统计概率概念辨析（如第9题）| |填空题|3/15|二项式定理、双曲线、解三角形|注重运算能力（如第14题周长最大值）| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率统计、椭圆、导数|17题以盲盒游戏为情境，体现数据意识；19题导数零点证明，考查逻辑推理|

2026届高三数学冲刺模拟试卷一（新高考一卷） 【试卷说明：共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。】 注意事项： （1） 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 （2） 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 （3） 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 ，集合 ，则 A.    B.    C.    D. 2. 已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 A.    B.    C.    D. 3. 设向量 ，，则 的最大值为 A.    B.    C.    D. 4. 已知随机变量 ，若 ，则 A.    B.    C.    D. 5. 已知 ，且 ，则 A.    B.    C.    D. 6. 在棱长为2的正四面体 中，点 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的余弦值为 A.    B.    C.    D. 7. 过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，则直线 的斜率为 A.    B.    C.    D. 8. 设 ， 是方程 的两个不同实数根，则下列结论必定成立的是 A.    B.    C.    D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列关于统计与概率的命题中，正确的有 A. 两个变量的线性相关系数 越大，说明这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量 的方差为 ，则 C. 在经验回归方程中，决定系数 越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 D. 若随机变量 ，则 10. 已知定义在 上的函数 满足 是偶函数，且 ，则 A. 是偶函数 B. C. 的一个周期为4 D. 11. 在正方体 中，棱长为2，动点 在正方形 （含边界）内运动，则下列结论正确的有 A. 直线 平面 B. 三棱锥 的体积为定值 C. 满足 的点 的轨迹长度为 D. 若 为正方形 的中心，则直线 与平面 所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在 的展开式中，常数项为             。（用数字作答） 13. 若双曲线 （，）的渐近线方程为 ，且焦距为 ，则实数             。 14. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 ，且 ，则 周长的最大值为             。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 。 1. （1） 求角 的大小； 2. （2） 若 ，且 的面积为 ，求 的值。 16.（15分）如图，在正四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱长 ，点 为侧棱 的中点。 （1） 证明： 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值。 17.（15分）某盲盒机内装有形状大小完全相同的2个红球和1个黑球。某玩家进行连续抽奖游戏，每次从中随机抽出1个球，记下颜色后放回，充分摇匀后再进行下一次抽取。规定：抽到红球积1分，抽到黑球积2分。记该玩家抽取 次后的总积分为 ，且总积分为偶数的概率为 。 （1） 求 和 的值； （2） 探究 与 之间的等量关系，并求出数列 的通项公式； （3） 求抽取 次后的总积分 的数学期望 。 18.（17分）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上。 （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作一条不与 轴重合的直线 与椭圆 交于 ， 两点。直线 与直线 交于点 。证明：点 恒在一条定直线上，并求出该定直线的方程。 19.（17分）已知函数 。 （1） 讨论函数 在 上的单调性； （2） 若函数 有两个不同的零点 ， 且 ： 证明：； 证明：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学冲刺模拟试卷（新高考一卷） 【试卷说明：共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。】 注意事项： （1） 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 （2） 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 （3） 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 ，集合 ，则 A.    B.    C.    D. 2. 已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 A.    B.    C.    D. 3. 设向量 ，，则 的最大值为 A.    B.    C.    D. 4. 已知随机变量 ，若 ，则 A.    B.    C.    D. 5. 已知 ，且 ，则 A.    B.    C.    D. 6. 在棱长为2的正四面体 中，点 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的余弦值为 A.    B.    C.    D. 7. 过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，则直线 的斜率为 A.    B.    C.    D. 8. 设 ， 是方程 的两个不同实数根，则下列结论必定成立的是 A.    B.    C.    D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列关于统计与概率的命题中，正确的有 A. 两个变量的线性相关系数 越大，说明这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量 的方差为 ，则 C. 在经验回归方程中，决定系数 越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 D. 若随机变量 ，则 10. 已知定义在 上的函数 满足 是偶函数，且 ，则 A. 是偶函数 B. C. 的一个周期为4 D. 11. 在正方体 中，棱长为2，动点 在正方形 （含边界）内运动，则下列结论正确的有 A. 直线 平面 B. 三棱锥 的体积为定值 C. 满足 的点 的轨迹长度为 D. 若 为正方形 的中心，则直线 与平面 所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在 的展开式中，常数项为             。（用数字作答） 13. 若双曲线 （，）的渐近线方程为 ，且焦距为 ，则实数             。 14. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，若 ，且 ，则 周长的最大值为             。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 。 1. （1） 求角 的大小； 2. （2） 若 ，且 的面积为 ，求 的值。 16.（15分）如图，在正四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱长 ，点 为侧棱 的中点。 （1） 证明： 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值。 17.（15分）某盲盒机内装有形状大小完全相同的2个红球和1个黑球。某玩家进行连续抽奖游戏，每次从中随机抽出1个球，记下颜色后放回，充分摇匀后再进行下一次抽取。规定：抽到红球积1分，抽到黑球积2分。记该玩家抽取 次后的总积分为 ，且总积分为偶数的概率为 。 （1） 求 和 的值； （2） 探究 与 之间的等量关系，并求出数列 的通项公式； （3） 求抽取 次后的总积分 的数学期望 。 18.（17分）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上。 （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作一条不与 轴重合的直线 与椭圆 交于 ， 两点。直线 与直线 交于点 。证明：点 恒在一条定直线上，并求出该定直线的方程。 19.（17分）已知函数 。 （1） 讨论函数 在 上的单调性； （2） 若函数 有两个不同的零点 ， 且 ： 证明：； 证明：。 参考答案 一、单选题 1.C  2.B  3.C  4.B  5.B  6.D  7.B  8.A 二、多选题 1.BCD  10.ACD  11.ABC 三、填空题 1.60  13.1  14. 四、解答题 15. 解： （1） 由已知 ，根据正弦定理 ，将上式转化为边长的关系：， （3分）即 ，整理得 。 （5分）由余弦定理可知 。 （7分）因为 ，所以 。 （8分） （2） 因为 的面积 ，所以 。 （10分）在 中，由余弦定理得 ，代入已知得 。（11分）即 ，解得 。因为 ，，所以 。 （13分） 16. 解： （1） 证明：设底面正方形的对角线 与 交于点 ，连接 。（2分）因为 是正方形，所以 是 的中点。又因为 是侧棱 的中点，所以在 中， 是中位线，（4分）从而 。（5分）因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 （7分） （2） 以 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 ， 轴正方向，以竖直向上的射线为 轴，建立空间直角坐标系 。底面边长为2，，且 。则 ，，，。 （9分）因为 ，所以在 中，，所以 。由于 是 的中点，所以 。 （11分）设平面 的法向量为 ，易知 ，。，取 ，得 。（13分）直线 的方向向量 。设直线 与平面 所成角为 ，则 ，。所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 （15分） 17. 解： （1） 第1次抽奖，积分为偶数即抽到黑球，故 ； （2分）第2次抽奖，积分和为偶数，包含两种情况：两次全是红球（积分2），两次全是黑球（积分4）。所以 。 （4分） （2） 若第 次抽取后总积分为偶数，有两种互斥情况： 前 次积分为偶数，第 次抽到黑球，概率为 ； 前 次积分为奇数，第 次抽到红球，概率为 。（7分）所以 。变形得 。（10 分）因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列。故 。所以 。 （12分） （3） 设第 次抽球所得积分为 ，显然 的分布列为：，。故每次抽球积分的数学期望 。 （15分）由于每次抽球相互独立，且总积分 ，由期望的线性性质可得：。 （17分） 18. 解： （1） 由题意，离心率 ，即 ，化简得 。（2分）将点 代入椭圆方程 得：，解得 。（4分）所以 。故椭圆 的标准方程为 。 （5分） （2） 由 （1） 知，顶点 ，。由题意知，直线 过点 且不与 轴重合，设直线 的方程为 。 （6分）将直线 与椭圆方程联立 消去 得 。 （8分）设 ，，则 ，。 （10分）直线 的方程为 ，直线 的方程为 。设交点 ，则 点坐标满足上述两方程，即：。 （12分）将 和 代入上式得：。展开并整理得：。即 。 （14分）同除以 （显然 ，）得：，化简得 。又由韦达定理知 ，即 。 （15分）将 代入上式得：，移项整理得 ，即 。（16分）由于 不可能对所有参数 恒成立，故必有 ，即 。所以点 恒在定直线 上。 （17分） 19. 解： （1） 的定义域为 。。 （2分）令 ，解得 。当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。 （4分） （2） 证明：由 （1） 知，函数 在 处取得极小值也是最小值 。因为 有两个零点 ，，必有 。 （5分）不妨设 。要证 ，即证 。因为 ，所以 。又因为 在 上单调递增，故只需证明 ，即证 。 （8分）构造函数 。求导得 。 （10分）因为 ，所以 ，且括号内部分显然大于0，故 。所以 在 上单调递减。从而 ，即 成立，故 得证。 （12分） 证明：由于 ，即 且 。两边取自然对数，得 ，。（13分）令 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增。要证 ，即证 。因为 ，所以 。又 ，且 在 上单调递增，故只需证 ，即证 。（15分）构 造函数 。求导得 。（16分）所以 在 上单调递减， 故当 时，。于是 ，即 成立。从而推得 ，即 得证。（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $