期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦机械能守恒定律在杆、绳、弹簧三类约束系统的应用，通过分模块解题思路提炼与真题典例训练，构建“守恒条件-系统特性-关联方程”的科学思维体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |杆连接系统应用|3例+3变式|确定系统→判断守恒→分析速度关联（同轴转动/沿杆分速度）→列方程|以守恒条件为基础，通过杆约束建立速度关系，体现运动与相互作用观念| |绳连接系统应用|3例+3变式|划定系统→分解速度（沿绳/垂直绳）→分析能量转化→联立方程|通过速度分解突破绳约束，强化科学推理与模型建构能力| |弹簧类问题应用|3例+3变式|确定系统→验证条件→分析形变量与临界态→列能量守恒方程|结合弹性势能特性，突出能量观念与质疑创新思维|

期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用专项训练 期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用专项训练 考点目录 机械能守恒定律在杆连接系统的应用 机械能守恒定律在绳连接系统的应用 机械能守恒定律在弹簧类问题的应用 考点一 机械能守恒定律在杆连接系统的应用 解题思路点拨 1. 确定系统：将杆、所有相连物体视为一个整体。 1. 判断守恒：确认只有重力做功，无摩擦、无其他外力做功，系统机械能守恒。 1. 分析速度关联：根据杆约束，找出各物体速度大小关系（同轴转动、沿杆分速度相等）。 1. 选零势能面，分别写出系统初、末状态的总动能、总势能。 1. 列机械能守恒方程，结合速度关系式联立求解速度、高度等物理量。 例1．（25-26高一下·山东淄博·期中）某建筑工地上，工人用一根长度为的轻质硬杆，两端分别固定一个配重块；左侧块质量，右侧块质量。杆上距块的位置有一个光滑转轴，可以将整套装置悬挂在支架上。测试时，工人把杆抬到水平位置（、在同一水平高度）然后无初速释放，让块在竖直平面内顺时针摆动。当块第一次摆到最低点时，忽略空气阻力与轴处摩擦，重力加速度，求： (1)此时块的速度大小； (2)从初始水平位置到该过程中，杆对块是否做功？若做功，求出杆对块做的功； (3)此时固定轴受到杆的作用力大小和方向。 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）质量分别为和的两个小球和，中间用轻质杆固定连接，杆长为，在离球处有一个光滑固定轴，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球摆动到最低点位置时，求： (1)小球Q的速度大小为多少； (2)在此过程中杆对小球Q所做的功； (3)杆对小球P的作用力大小和方向。 例3．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，长为L的轻杆一端连接在光滑活动铰链O上，另一端固定一个质量为4m的小球A，穿过固定板光滑小孔P的足够长细线一端连接在小球A上，另一端吊着质量为m的小球B，用水平拉力F拉着小球A，使小球A处于静止状态。这时轻杆与竖直方向夹角为53°，A、P间细线与竖直方向夹角为37°，重力加速度为g，小球均可视为质点，，。求： (1)水平拉力F的大小； (2)撤去拉力后，小球A摆至最低点时的速度大小； 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，左、右两个光滑半圆轨道半径分别为3R和R，它们和足够长的光滑水平直轨道AB、CD平滑相连并竖直放置。穿在轨道上、质量为3m的小环a初始位置如图1所示，已知重力加速度为g，求： (1)给a向右的初速度，求到达B点时a受到轨道施加的弹力F； (2)给a向右的初速度v2，若a在左半圆环上运动时始终受到轨道施加的指向圆心的弹力，求v2的范围； (3)如图2所示，将质量为m的小环b穿在轨道上，用长为3R的轻质杆连接a、b两环。初始时，a、b两环具有一定的初速度，且a环恰能运动到直导轨CD上。求a环在右半圆轨道上运动过程中机械能最大时的速度大小v3。 变式2．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）长为的轻杆可绕在竖直平面内无摩擦转动，质量为的小球固定于杆端点，质量为的小球固定于杆中点，开始杆处于水平，由静止释放，当杆转到竖直位置时求： (1)球的速度大小； (2)这个过程中杆对球所做的功。 变式3．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求： (1)小球P的速度大小为多少； (2)Q球对杆的拉力； (3)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对Q球做了多少功。 考点二 机械能守恒定律在绳连接系统的应用 解题思路点拨 1. 划定绳连接的整体系统，排除外界做功、摩擦等干扰，判定机械能守恒。 1. 找速度关系：将物体实际速度分解为沿绳、垂直绳分量，沿绳分速度相等，得到各物体速度等式。 1. 分析运动过程，确定初、末位置，写出各物体动能、重力势能。 1. 列系统机械能守恒方程，与速度关联式联立计算。 1. 多过程问题分段分析，注意物体运动方向、势能增减。 例1．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图甲所示，质量为2m的小球A的通过足够长的轻绳绕过定滑轮P与质量为m的小球B相连，A通过长度为3L的轻杆与转轴O相连，O、P距离为5L，且在同一水平线上。使球A由杆OA与OP成处静止释放，重力加速度为，不计一切阻力和定滑轮质量，两球视为质点，，。求： (1)球A经过直线OP时，球A、B系统重力势能减小量； (2)球A经过直线OP时，球A的速度大小和加速度大小； (3)球A运动到OP对称的如图乙所示位置时，轻杆的弹力和轻绳的弹力。 例2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图所示，两根轻绳连接小球P，右侧绳一端固定于A，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，物体Q、N通过一轻弹簧连接，Q、N质量均为m。整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向夹角分别为37°和53°，此时物体N与地面弹力恰好为零。现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，两绳均拉直且无弹力，释放小球P开始运动，已知AP间绳长L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，求： (1)小球P的质量M； (2)小球P运动到图示位置时Q的速度v； (3)小球P从释放到图示位置过程中轻绳对物体Q做的功W。 例3．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，物体A的质量为，圆环B的质量为，通过足够长且不可伸长的轻绳连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度，现由静止释放圆环，不计定滑轮的大小和摩擦，忽略空气的阻力，取。 (1)若，求圆环能下降的最大高度； (2)若圆环下降时的速度，则与应满足什么关系。 变式1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面的倾角，B小球与竖直劲度系数为的轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为，B的质量为，重力加速度为，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，到A沿斜面下滑至速度最大过程中，求： (1)释放小球A前弹簧的压缩量，A沿斜面下滑速度最大时弹簧的伸长量； (2)释放小球A后瞬间，小球A加速度大小？ (3)A沿斜面下滑的速度最大值。 变式2．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示，挡板P固定在倾角为的斜面左下端，斜面右上端与半径为的半圆形轨道连接，且点与圆心在同一水平面上。点有一光滑轻质小滑轮，质量均为、大小不计的物块B、C由一轻质弹簧拴接（弹簧平行于斜面），其中物块C紧靠在挡板处，物块B用跨过滑轮的轻质细绳与一质量为、大小不计的小球A相连，初始时刻小球A锁定在点，细绳与斜面平行且恰好绷直无张力，物块B、C处于静止状态。某时刻解除对小球的锁定，当小球沿半圆轨道运动到最低点时（物块B未到达点），物块C对挡板的作用力恰好为0，已知重力加速度为，不计一切摩擦，弹簧弹性势能表达式为（x为弹簧的形变量），求： (1)弹簧的劲度系数； (2)物块B沿斜面上升距离为时，物块B的速度大小。 变式3．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图甲所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮（固定）下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直，A在水平地面上。A的质量为m，B的质量为km，不计一切阻力，重物和滑轮均视为质点，重力加速度为g。 (1)k为何值时，A对地面的压力恰好为零； (2)k=1时，图甲所示位置释放，当B的位移为h时（未落地），求B的速度大小v； (3)如图乙所示，k=2，把A固定在地面上，所有绳子恰好拉直无作用力，B从图示位置静止释放，图中所示绳长L且与水平方向夹角为30°，求B刚运动到最低点时，A与动滑轮间的绳中拉力大小FA。 考点三 机械能守恒定律在弹簧类问题的应用 解题思路点拨 1. 确定研究系统：物体、弹簧、地球整体为研究对象。 1. 验证条件：只有重力和弹簧弹力做功，确认系统机械能守恒。 1. 选取初、末状态，明确弹簧初、末形变量，判断弹性势能变化。 1. 分别写出初、末态：总动能 + 重力势能 + 弹性势能。 1. 列守恒方程求解；涉及多物体、往复运动，重点分析最高点、最低点、原长位置等临界态。 1. 注意：弹簧弹性势能只与形变量有关，同一形变量下弹性势能相等。 例1．（25-26高一下·北京海淀·期中）如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部是一长为的竖直细管，上半部是半径为的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，管内有一原长为、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为的鱼饵到达管口时，对管壁的作用力恰好为零，不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能、已知重力加速度为。求： (1)质量为的鱼饵到达管口时的速度大小； (2)弹簧压缩到时的弹性势能； (3)已知地面与水面相距，若每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在到之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的长度是多少？ 例2．（25-26高一下·湖北·期中）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，劲度系数为的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为的物体，一轻绳绕过光滑定滑轮后分别与物体、相连，物体质量也为，轻绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住使轻绳刚好伸直且拉力为零，由静止释放物体，不计一切摩擦，物体不会碰到地面，弹簧弹性势能的表达式为，重力加速度，求： (1)释放B的瞬间，弹簧的形变量和物体的加速度大小； (2)物体的最大动能； (3)其他条件不变，将物体改换成物体后，向上运动到最高点时，弹簧恰好恢复原长，求物体的质量。 例3．（25-26高一下·广东深圳·期中）某同学设计了一个如图所示的游戏装置，水平轨道右侧有一固定的弹射装置，左侧与固定在竖直平面内圆心角为120°的圆弧轨道BD平滑连接，之后再与圆心角为60°的竖直圆弧管道DE平滑连接。圆弧半径均为R，管道DE内径远小于R，E点为轨道最高点，其中水平轨道上有一段长为4R、表面粗糙的 AB段。将质量为m的滑块（视为质点）挤压弹簧后由静止释放，滑块将沿轨道运动，滑块与AB段间的动摩擦因数，其余轨道均光滑，重力加速度为g。 (1)若弹簧弹性势能，求滑块第一次运动到圆轨道最低点B时的速度和对轨道的压力大小； (2)若滑块飞出E点后恰好落到A点，求弹簧弹性势能多大； (3)若滑块滑入圆轨道后仍能沿原路返回至水平轨道，求弹簧弹性势能应该满足的条件。 变式1．（25-26高一下·北京·期中）如图甲所示，一轻质弹簧左端固定在墙壁上，右端与置于水平面上的质量为的小滑块相连。在以下的讨论中小滑块可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，取弹簧原长时弹性势能为0，且空气阻力可忽略不计。 (1)若水平面光滑，以弹簧原长时小滑块的位置为坐标原点，建立水平向右的坐标轴，如图甲所示。已知弹簧的劲度系数为。请在图乙中画出弹簧弹力与小滑块所在位置坐标上的关系图像，并根据图像求出小滑块由某一位置向位置运动过程中弹簧弹力做的功。 (2)若水平面不光滑，且已知小滑块与水平面之间的动摩擦因数为。仍以弹簧原长时小滑块的位置为坐标原点，建立水平向右的坐标轴，将小滑块沿水平面向右拉到距离点为的点按住（），如图丙所示。计算中可以认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，已知重力加速度为，弹簧的劲度系数为。 a.若放手后小滑块第一次经过点时恰好停止，请分析与、和等物理量之间应满足什么条件； b.若放手后小滑块第二次经过点时恰好停止，请分析与、和等物理量之间应满足什么条件； c.若放手后小滑块第三次经过点时恰好停止，请直接写出与、和等物理量之间应满足什么条件。 变式2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图所示，竖直平面内有一半径为的光滑四分之一圆弧轨道，其底端与水平地面平滑连接。水平地面上段粗糙，长度为，物块与段间的动摩擦因数为0.5。点右侧地面也是粗糙的，与物块间的动摩擦因数为0.2。在点右侧有一固定在竖直墙壁上的轻质弹簧，其左端恰好位于点。现有一质量为的小物块（可视为质点）从圆弧轨道顶端点由静止释放。已知第一次将弹簧压缩到的最短时的压缩量为，重力加速度取，，，求： (1)小物块到达圆弧轨道底端点时对轨道的压力大小； (2)物块运动到点（即刚接触弹簧）时的速度大小； (3)弹簧的劲度系数； (4)物块从释放到停止的过程中，在水平地面运动的总路程（结果保留三位有效数字）。 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，从A点以v0=4 m/s的水平速度抛出一质量m=2 kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°，C点在圆心O的正下方，圆弧轨道C端切线水平与水平面平滑连接。C点右侧水平面粗糙，在水平面上固定一个弹簧，弹簧的左端D距C点的水平距离为L＝0.4 m，小物块离开C点后继续在水平面上向弹簧滑去，将弹簧压缩了x=0.1 m后停止滑行。小物块和水平面间的动摩擦因数μ=0.2，圆弧半径R=0.75 m，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10 m/s2。求： (1)物块经过B点的速度vB的大小； (2)物块滑动至C点时，圆弧轨道对小滑块的作用力的大小； (3)物块停止滑行时弹簧具有的弹性势能大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用专项训练 期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用专项训练 考点目录 机械能守恒定律在杆连接系统的应用 机械能守恒定律在绳连接系统的应用 机械能守恒定律在弹簧类问题的应用 考点一 机械能守恒定律在杆连接系统的应用 解题思路点拨 1. 确定系统：将杆、所有相连物体视为一个整体。 1. 判断守恒：确认只有重力做功，无摩擦、无其他外力做功，系统机械能守恒。 1. 分析速度关联：根据杆约束，找出各物体速度大小关系（同轴转动、沿杆分速度相等）。 1. 选零势能面，分别写出系统初、末状态的总动能、总势能。 1. 列机械能守恒方程，结合速度关系式联立求解速度、高度等物理量。 例1．（25-26高一下·山东淄博·期中）某建筑工地上，工人用一根长度为的轻质硬杆，两端分别固定一个配重块；左侧块质量，右侧块质量。杆上距块的位置有一个光滑转轴，可以将整套装置悬挂在支架上。测试时，工人把杆抬到水平位置（、在同一水平高度）然后无初速释放，让块在竖直平面内顺时针摆动。当块第一次摆到最低点时，忽略空气阻力与轴处摩擦，重力加速度，求： (1)此时块的速度大小； (2)从初始水平位置到该过程中，杆对块是否做功？若做功，求出杆对块做的功； (3)此时固定轴受到杆的作用力大小和方向。 【答案】(1) (2)是， (3)，方向竖直向下 【详解】（1）系统机械能守恒，P、Q角速度相同，线速度满足。 由能量守恒方程： 代入数据解得： （2）对P块应用动能定理：重力做负功，杆的作用力做正功。 设杆对P块做功为，则： 解得： 因此，杆对P块做正功，大小为。 （3）P块在最高点：受重力与杆作用力，向心力向下： 解得： 故P对杆的作用力，方向向下。 Q块在最低点：受重力与杆作用力，向心力向上： 解得： 故Q对杆的作用力，方向向下。 杆受力平衡，转轴O对杆的作用力竖直向上，大小为： 根据牛顿第三定律，杆对转轴O的作用力大小为，方向竖直向下。 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）质量分别为和的两个小球和，中间用轻质杆固定连接，杆长为，在离球处有一个光滑固定轴，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球摆动到最低点位置时，求： (1)小球Q的速度大小为多少； (2)在此过程中杆对小球Q所做的功； (3)杆对小球P的作用力大小和方向。 【答案】(1)4m/s (2)－8J (3)，方向向上 【详解】（1）在Q球顺时针摆动到最低点位置时，设小球P的速度大小为，则Q的速度为，有 由于两球是做同轴转动，所以两球的角速度大小相等，由于，所以 解得 （2）该过程小球Q的机械能的变化量为 由功能关系，小球Q机械能的变化量等于杆对小球Q所做的功，即其做功为－8J。 （3）对小球P分析可知 解得 即杆对球P的作用力向上，大小为。 例3．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，长为L的轻杆一端连接在光滑活动铰链O上，另一端固定一个质量为4m的小球A，穿过固定板光滑小孔P的足够长细线一端连接在小球A上，另一端吊着质量为m的小球B，用水平拉力F拉着小球A，使小球A处于静止状态。这时轻杆与竖直方向夹角为53°，A、P间细线与竖直方向夹角为37°，重力加速度为g，小球均可视为质点，，。求： (1)水平拉力F的大小； (2)撤去拉力后，小球A摆至最低点时的速度大小； 【答案】(1)7mg (2) 【详解】（1）对小球受力分析如图所示 同一条绳子张力处处相等，有T=mg 将力正交分解，有， 代入数据可得 （2）小球A摆至最低点时，B的速度为零，则小球A摆至最低点的过程中，AB整体机械能守恒 代入数据可得 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，左、右两个光滑半圆轨道半径分别为3R和R，它们和足够长的光滑水平直轨道AB、CD平滑相连并竖直放置。穿在轨道上、质量为3m的小环a初始位置如图1所示，已知重力加速度为g，求： (1)给a向右的初速度，求到达B点时a受到轨道施加的弹力F； (2)给a向右的初速度v2，若a在左半圆环上运动时始终受到轨道施加的指向圆心的弹力，求v2的范围； (3)如图2所示，将质量为m的小环b穿在轨道上，用长为3R的轻质杆连接a、b两环。初始时，a、b两环具有一定的初速度，且a环恰能运动到直导轨CD上。求a环在右半圆轨道上运动过程中机械能最大时的速度大小v3。 【答案】(1)18mg，竖直向上 (2)或 (3) 【详解】（1）小环a从初始位置运动到B点，根据机械能守恒定律可得 在B点，根据牛顿第二定律可得 联立解得 方向竖直向上； （2）若小环a的初速度较小，恰好运动到左侧半圆环圆心等高处，根据机械能守恒定律可得 解得 若小环a的初速度较大，恰好运动到左侧半圆环最高点，根据机械能守恒定律可得 在最高点，有 解得 由此可知，若a在左半圆环上运动时始终受到轨道施加的指向圆心的弹力，则小环a初速度v2的范围为或； （3）由题意知，a、b两环的初速度大小相等，a环恰能运动到直导轨CD上，则两环的末速度为0，根据系统机械能守恒定律可得 解得 a、b两环组成的系统机械能守恒，a环在右半圆轨道上运动过程中机械能最大时，b环机械能最小，此时a的速度与杆垂直，b环速度为0，机械能最小，杆过右侧半圆轨道的圆心，根据几何关系可得，a环距离AB轨道的高度为 根据系统机械能守恒可得 联立解得 变式2．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）长为的轻杆可绕在竖直平面内无摩擦转动，质量为的小球固定于杆端点，质量为的小球固定于杆中点，开始杆处于水平，由静止释放，当杆转到竖直位置时求： (1)球的速度大小； (2)这个过程中杆对球所做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）A、B小球随杆转动，设杆转到竖直位置时线速度分别为、，因为球A、B的角速度相同，所以线速度 A、B小球随杆转动过程，系统机械能守恒，即 联立解得 （2）设在转动过程中杆对球A做功为，则根据动能定理有 解得 变式3．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求： (1)小球P的速度大小为多少； (2)Q球对杆的拉力； (3)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对Q球做了多少功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在Q球顺时针摆动到最低点位置时，设小球P的速度大小为，则Q的速度为，根据机械能守恒定律有 由于两球是做同轴转动，所以两球的角速度大小相等，由于 所以 解得， （2）对Q球分析有 解得 根据牛顿第三定律可知，Q球对杆的拉力为 （3）对Q球，根据动能定理有 解得 考点二 机械能守恒定律在绳连接系统的应用 解题思路点拨 1. 划定绳连接的整体系统，排除外界做功、摩擦等干扰，判定机械能守恒。 1. 找速度关系：将物体实际速度分解为沿绳、垂直绳分量，沿绳分速度相等，得到各物体速度等式。 1. 分析运动过程，确定初、末位置，写出各物体动能、重力势能。 1. 列系统机械能守恒方程，与速度关联式联立计算。 1. 多过程问题分段分析，注意物体运动方向、势能增减。 例1．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图甲所示，质量为2m的小球A的通过足够长的轻绳绕过定滑轮P与质量为m的小球B相连，A通过长度为3L的轻杆与转轴O相连，O、P距离为5L，且在同一水平线上。使球A由杆OA与OP成处静止释放，重力加速度为，不计一切阻力和定滑轮质量，两球视为质点，，。求： (1)球A经过直线OP时，球A、B系统重力势能减小量； (2)球A经过直线OP时，球A的速度大小和加速度大小； (3)球A运动到OP对称的如图乙所示位置时，轻杆的弹力和轻绳的弹力。 【答案】(1) (2)， (3)（方向沿指向转轴），（方向沿） 【详解】（1）初始中，由余弦定理得 A运动到线上时 绳子缩短，B下降，A下降高度 系统重力势能减小量 （2）A绕O做圆周运动，速度方向垂直，此时与绳共线，因此A速度垂直绳，B的速度等于A沿绳分速度，即 由机械能守恒 解得 A的加速度为法向向心加速度与切向加速度的合加速度：法向 切向 则加速度 （3）运动到对称位置，长度回到，B高度不变，A总下降高度，且，因此A速度沿方向，有 由机械能守恒得 解得 沿方向合力提供向心力 解得（方向沿指向转轴） 沿方向对A、B由牛顿第二定律得 解得（方向沿） 例2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图所示，两根轻绳连接小球P，右侧绳一端固定于A，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，物体Q、N通过一轻弹簧连接，Q、N质量均为m。整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向夹角分别为37°和53°，此时物体N与地面弹力恰好为零。现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，两绳均拉直且无弹力，释放小球P开始运动，已知AP间绳长L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，求： (1)小球P的质量M； (2)小球P运动到图示位置时Q的速度v； (3)小球P从释放到图示位置过程中轻绳对物体Q做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，将物体Q、N视为整体，则左侧绳子上的拉力为 对小球P受力分析，则有 联立解得 （2）小球P处于图示位置时，对物体N进行受力分析，可知弹簧弹力为 将小球P托至与A、B两点等高的水平线上时，两绳均拉直且无弹力，对物体Q分析，可知此时弹簧的弹力 由于，因此两个状态下，弹簧的弹性势能相等。 因为AP的长度不变，所以P做圆周运动，此刻图示位置P沿绳子的速度方向刚好垂直于AP。而Q的速度也是沿绳方向，所以 则P、Q以及弹簧组成的系统机械能守恒，有 其中Q上升的高度 联立解得 （3）对物体Q，由动能定理有 代入数据解得 例3．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，物体A的质量为，圆环B的质量为，通过足够长且不可伸长的轻绳连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度，现由静止释放圆环，不计定滑轮的大小和摩擦，忽略空气的阻力，取。 (1)若，求圆环能下降的最大高度； (2)若圆环下降时的速度，则与应满足什么关系。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，设圆环能下降的最大高度为，根据系统机械能守恒可得 由几何关系可得 联立解得 （2）圆环下降 时的速度为 把圆环速度分解，如图所示 由几何关系可得 由系统机械能守恒可得 又有 联立解得A和B的质量关系为 变式1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面的倾角，B小球与竖直劲度系数为的轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为，B的质量为，重力加速度为，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，到A沿斜面下滑至速度最大过程中，求： (1)释放小球A前弹簧的压缩量，A沿斜面下滑速度最大时弹簧的伸长量； (2)释放小球A后瞬间，小球A加速度大小？ (3)A沿斜面下滑的速度最大值。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）细线刚刚拉直但无拉力作用，则有 解得 当A速度最大时，系统加速度为0，合力为0。对A沿斜面平衡，则有 对B竖直方向平衡，则有 解得 （2）释放瞬间，弹簧形变不变，弹力不变，A、B加速度大小相等，设为a，对A、B分别由牛顿第二定律，有， 解得 （3）从释放到A速度最大过程中，A下滑距离等于B上升距离，即 由于弹簧初态压缩量和末态伸长量大小相等，初末弹性势能相等，弹簧弹力总做功为0。 对A、B、弹簧系统，由机械能守恒定律有 解得 变式2．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图所示，挡板P固定在倾角为的斜面左下端，斜面右上端与半径为的半圆形轨道连接，且点与圆心在同一水平面上。点有一光滑轻质小滑轮，质量均为、大小不计的物块B、C由一轻质弹簧拴接（弹簧平行于斜面），其中物块C紧靠在挡板处，物块B用跨过滑轮的轻质细绳与一质量为、大小不计的小球A相连，初始时刻小球A锁定在点，细绳与斜面平行且恰好绷直无张力，物块B、C处于静止状态。某时刻解除对小球的锁定，当小球沿半圆轨道运动到最低点时（物块B未到达点），物块C对挡板的作用力恰好为0，已知重力加速度为，不计一切摩擦，弹簧弹性势能表达式为（x为弹簧的形变量），求： (1)弹簧的劲度系数； (2)物块B沿斜面上升距离为时，物块B的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设弹簧的劲度系数为，初始时刻弹簧的压缩量为，则B沿斜面方向由平衡条件可得 小球沿半圆轨道运动到最低点时，物块C对挡板的作用力恰好为0，设此时弹簧的压缩量为，对C由平衡条件可得 可得 当小球沿半圆轨道运动到最低点时，B沿斜面运动的位移为 联立解得， （2）如图所示 设物块B上滑R时小球A到达Q点时的速度为，对进行分解，沿绳子方向的速度为 由于沿绳子方向的速度处处相等，所以此时B的速度也为；对A、B、C和弹簧组成的系统，在整个过程中，只有重力和弹簧弹力做功，系统满足机械能守恒，则有 联立解得 变式3．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图甲所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮（固定）下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直，A在水平地面上。A的质量为m，B的质量为km，不计一切阻力，重物和滑轮均视为质点，重力加速度为g。 (1)k为何值时，A对地面的压力恰好为零； (2)k=1时，图甲所示位置释放，当B的位移为h时（未落地），求B的速度大小v； (3)如图乙所示，k=2，把A固定在地面上，所有绳子恰好拉直无作用力，B从图示位置静止释放，图中所示绳长L且与水平方向夹角为30°，求B刚运动到最低点时，A与动滑轮间的绳中拉力大小FA。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据平衡条件，对A分析 对B分析 又 联立解得 （2）根据动滑轮特点，可得， 根据系统机械能有 解得 （3）当k=2时，B的质量为2m。刚开始B做自由落体运动，绳绷紧后能量损失，做圆周运动，根据机械能守恒定律有 解得 在绳绷紧瞬间，B沿半径方向的速度突变为0，只有沿切线方向的速度，即 B运动到最低点的过程，根据机械能守恒定律有 解得 B在最低点，根据牛顿第二定律有 解得 又 解得 考点三 机械能守恒定律在弹簧类问题的应用 解题思路点拨 1. 确定研究系统：物体、弹簧、地球整体为研究对象。 1. 验证条件：只有重力和弹簧弹力做功，确认系统机械能守恒。 1. 选取初、末状态，明确弹簧初、末形变量，判断弹性势能变化。 1. 分别写出初、末态：总动能 + 重力势能 + 弹性势能。 1. 列守恒方程求解；涉及多物体、往复运动，重点分析最高点、最低点、原长位置等临界态。 1. 注意：弹簧弹性势能只与形变量有关，同一形变量下弹性势能相等。 例1．（25-26高一下·北京海淀·期中）如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部是一长为的竖直细管，上半部是半径为的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，管内有一原长为、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为的鱼饵到达管口时，对管壁的作用力恰好为零，不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能、已知重力加速度为。求： (1)质量为的鱼饵到达管口时的速度大小； (2)弹簧压缩到时的弹性势能； (3)已知地面与水面相距，若每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在到之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的长度是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）鱼饵运动至管口时，对管壁恰好无压力，此时重力完全充当向心力，依据牛顿第二定律有 解得 （2）对于质量为的鱼饵，从释放点到点的过程中，机械能守恒，有 代入解得弹簧的弹性势能 （3）设质量为的鱼饵到达点时的速度为，根据机械能守恒定律，有 鱼饵离开管口后做平抛运动，下落总高度为，根据平抛运动规律，竖直方向满足，水平位移为 当鱼饵质量为时，平抛水平位移最小，解得 当鱼饵质量为时，平抛水平位移最大，解得 因此，鱼饵能够落到水面的长度，解得 例2．（25-26高一下·湖北·期中）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，劲度系数为的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为的物体，一轻绳绕过光滑定滑轮后分别与物体、相连，物体质量也为，轻绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住使轻绳刚好伸直且拉力为零，由静止释放物体，不计一切摩擦，物体不会碰到地面，弹簧弹性势能的表达式为，重力加速度，求： (1)释放B的瞬间，弹簧的形变量和物体的加速度大小； (2)物体的最大动能； (3)其他条件不变，将物体改换成物体后，向上运动到最高点时，弹簧恰好恢复原长，求物体的质量。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）释放B的瞬间，弹簧处于压缩状态 解得 设绳子拉力，由牛顿第二定律，对B有 对A有 解得 （2）当A、B物体的加速度为0时，A速度最大，此时A有最大动能，设此时拉力为T，弹簧伸长量为，则由平衡条件，得， 解得 由开始运动到达到最大动能过程，弹性势能不变，由能量守恒定律，得 解得 （3）物块A运动到最高点时速度为零，此时弹簧恢复原长，弹簧弹性势能为零 由能量守恒定律，得 解得 例3．（25-26高一下·广东深圳·期中）某同学设计了一个如图所示的游戏装置，水平轨道右侧有一固定的弹射装置，左侧与固定在竖直平面内圆心角为120°的圆弧轨道BD平滑连接，之后再与圆心角为60°的竖直圆弧管道DE平滑连接。圆弧半径均为R，管道DE内径远小于R，E点为轨道最高点，其中水平轨道上有一段长为4R、表面粗糙的 AB段。将质量为m的滑块（视为质点）挤压弹簧后由静止释放，滑块将沿轨道运动，滑块与AB段间的动摩擦因数，其余轨道均光滑，重力加速度为g。 (1)若弹簧弹性势能，求滑块第一次运动到圆轨道最低点B时的速度和对轨道的压力大小； (2)若滑块飞出E点后恰好落到A点，求弹簧弹性势能多大； (3)若滑块滑入圆轨道后仍能沿原路返回至水平轨道，求弹簧弹性势能应该满足的条件。 【答案】(1), (2) (3)或 【详解】（1）从释放到B点，由能量守恒 解得 在B点，由牛顿第二定律可得 解得，根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力大小为 （2）E点距水平轨道高度为，滑块从E点飞出后做平抛运动。竖直方向 可得 水平方向位移等于AB长度，则有 从释放到E点，能量守恒 联立解得 （3）滑块滑入圆轨道后原路返回，有两种情况：能滑入圆轨道，且最高上到圆心等高的点速度为0。到达B点时动能大于0，即 最高上到圆心等高的点速度为0，有 可得 在D点不脱离轨道，且最多上到E点速度为0，然后返回。在D点由牛顿第二定律可得 D点相对水平轨道B的高度为，由能量守恒得 最多上到E点速度为0，然后返回，则有 可得 综上，弹簧弹性势能满足或 变式1．（25-26高一下·北京·期中）如图甲所示，一轻质弹簧左端固定在墙壁上，右端与置于水平面上的质量为的小滑块相连。在以下的讨论中小滑块可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，取弹簧原长时弹性势能为0，且空气阻力可忽略不计。 (1)若水平面光滑，以弹簧原长时小滑块的位置为坐标原点，建立水平向右的坐标轴，如图甲所示。已知弹簧的劲度系数为。请在图乙中画出弹簧弹力与小滑块所在位置坐标上的关系图像，并根据图像求出小滑块由某一位置向位置运动过程中弹簧弹力做的功。 (2)若水平面不光滑，且已知小滑块与水平面之间的动摩擦因数为。仍以弹簧原长时小滑块的位置为坐标原点，建立水平向右的坐标轴，将小滑块沿水平面向右拉到距离点为的点按住（），如图丙所示。计算中可以认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，已知重力加速度为，弹簧的劲度系数为。 a.若放手后小滑块第一次经过点时恰好停止，请分析与、和等物理量之间应满足什么条件； b.若放手后小滑块第二次经过点时恰好停止，请分析与、和等物理量之间应满足什么条件； c.若放手后小滑块第三次经过点时恰好停止，请直接写出与、和等物理量之间应满足什么条件。 【答案】(1)， (2)a. kl0=2μmg  b. c. 【详解】（1）以x轴的正方向为弹簧弹力的正方向，根据胡克定律可得弹簧弹力与位置坐标x的关系为：F=-kx 由此在图乙中画出F-x的图像如下图所示： 根据F-x图像与x轴围成的面积代表弹簧弹力做功，由此可得将弹簧拉伸或压缩x的过程中，弹簧弹力所做的功为 （2）a.对小滑块由P点第一次经过O点时恰好停止的过程，由功能关系得 解得l0与μ、m和k等物理量之间应满足条件为kl0=2μmg。 b.若放手后小滑块第二次经过O点时恰好停止，设小滑块运动到最左端时距离O点的距离为l1，即弹簧最大压缩量为l1，对小滑块由最左端到第二次经过O点时恰好停止的过程，由功能关系得： 可得全程小滑块运动的路程为s=l0+2l1 对全过程，由功能关系得 联立解得 C.若放手后小滑块第三次经过点时恰好停止，则满足 变式2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图所示，竖直平面内有一半径为的光滑四分之一圆弧轨道，其底端与水平地面平滑连接。水平地面上段粗糙，长度为，物块与段间的动摩擦因数为0.5。点右侧地面也是粗糙的，与物块间的动摩擦因数为0.2。在点右侧有一固定在竖直墙壁上的轻质弹簧，其左端恰好位于点。现有一质量为的小物块（可视为质点）从圆弧轨道顶端点由静止释放。已知第一次将弹簧压缩到的最短时的压缩量为，重力加速度取，，，求： (1)小物块到达圆弧轨道底端点时对轨道的压力大小； (2)物块运动到点（即刚接触弹簧）时的速度大小； (3)弹簧的劲度系数； (4)物块从释放到停止的过程中，在水平地面运动的总路程（结果保留三位有效数字）。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）物块从到过程，由机械能守恒定律： 在点，由牛顿第二定律： 联立解得： 根据牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小 （2）物块从运动到过程，由动能定理： 代入数据： （3）物块从点压缩弹簧到最短的过程，由能量守恒   代入数据： 解得： （4）物块第一次返回点时能量为 物块继续向左穿过返回轨道： 在轨道上往返一次回到点能量为 再次通过段向右到达点能量 设第二次压缩弹簧位移为 即 解得 第二次返回点能量 因为，物块最后停在段上，滑行距离 总路程 保留三位有效数字得：（或，视有效数字进位） （注：根据计算） 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，从A点以v0=4 m/s的水平速度抛出一质量m=2 kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°，C点在圆心O的正下方，圆弧轨道C端切线水平与水平面平滑连接。C点右侧水平面粗糙，在水平面上固定一个弹簧，弹簧的左端D距C点的水平距离为L＝0.4 m，小物块离开C点后继续在水平面上向弹簧滑去，将弹簧压缩了x=0.1 m后停止滑行。小物块和水平面间的动摩擦因数μ=0.2，圆弧半径R=0.75 m，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10 m/s2。求： (1)物块经过B点的速度vB的大小； (2)物块滑动至C点时，圆弧轨道对小滑块的作用力的大小； (3)物块停止滑行时弹簧具有的弹性势能大小。 【答案】(1)5m/s (2) (3) 【详解】（1）物经过B点的速度 （2）设小物块到达C点时速度为v2，从B至C点由动能定理得 解得 设C点受到的支持力为FN，则有 解得 （3）当弹簧压缩到最短时，由能量关系有 解得EP=26J 2 学科网（北京）股份有限公司 $