3.1 导数的概念及运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念及运算”“曲线的切线”两大核心考点，依据高考评价体系梳理了导数定义、运算法则、切线方程等考查要求，通过近五年全国卷真题分析明确导数运算占比约30%、切线问题占比约45%的高频考点分布，归纳定义应用、切线方程求解等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”的备考策略，如以2023全国甲卷曲线切线题为例，提炼“求导-求斜率-点斜式”三步解题法，培养学生数学思维中的推理能力和数学语言中的模型观念。特设易错点分析如复合函数求导遗漏链式法则，帮助学生掌握得分技巧，教师可利用模拟题精准把握学情，实现高效复习教学。

3.1　导数的概念及运算 返回目录 三年模拟 考点1　导数的概念及运算 1.★(2026届湘豫名校联盟摸底,6)已知f(x)在R上可导,则f '(1)= ( ) A.  　　     B.   C.  　　    D.       B     解析　由导数的定义知  =f '(1).故选B. 返回目录 2.★★(2026届安徽五校第一次联考,4)下列求导运算正确的是 ( ) A.(ln 2)'=  B.(3x+log3x)'=(3x+x)ln 3 C.(ex )'=  D. '=      D     返回目录 解析    (ln 2)'=0,A错误; (3x+log3x)'=3xln 3+ ,B错误; (ex )'=ex + ,C错误;  '= = ,D正确.故选D. 返回目录 3.★★(2026届江西多校联考,4)已知函数f(x)的导函数为f '(x),若f(x)=-f '(-1)x3+2x2-2, 则f(2)= ( ) A.20　　    B.18　　     C.16　　    D.14     D     解析　由f(x)=- f '(-1)x3+2x2-2得f '(x)=-3f '(-1)x2+4x, 所以f '(-1)=-3f '(-1)(-1)2+4×(-1),即f '(-1)=-3f '(-1)-4, 解得f '(-1)=-1,所以f(x)=x3+2x2-2, 则f(2)=23+2×22-2=14.故选D. 返回目录 4.★★(2025届安徽肥东第一中学联考,2)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且f(x)=2xf ' + sin x,则f '  = ( ) A.- 　　     B. 　　     C. 　　    D.-      A     返回目录 解析　因为f(x)=2xf ' +sin x,所以f '(x)=2f ' +cos x,令x= , 则f ' =2f ' +cos , 解得f ' =- ,则f '(x)=-1+cos x, 则f ' =-1+cos =-1- =- .故选A. 返回目录 5.★★(2026届广东湛江八校联考,7)某跳水运动员在10米高的跳台起跳后,其速度v(单 位:米/秒)与时间t(单位:秒)之间的函数关系式为v(t)=-9.8t+4.7,则该运动员(身高忽略不 计)在t=1秒时离水面的高度为 ( ) A.9.6米　　    B.9.7米　　     C.9.8米　　    D.9.9米     C     解析　由h'(t)=v(t)=-9.8t+4.7, 可设h(t)=-4.9t2+4.7t+k(该式表示高度与时间的关系式),因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.9t2+ 4.7t+10, 则该运动员在t=1秒时离水面的高度为h(1)=-4.9+4.7+10=9.8米.故选C. 返回目录 6.★★★(2026届山西晋中开学考,8)已知f '(x)为函数f(x)=x2+2cos 2x的导函数,则f '(x)的大 致图象是( )          B     解析　由题意有f '(x)=2x-4sin 2x, 又x∈R,且f '(-x)=-2x-4sin(-2x)=-f '(x),所以f '(x)为奇函数,排除A; 由f ' =2× -4sin = -4<0,排除D; 当x→+∞时,f '(x)→+∞,排除C,故选B. 返回目录 7.★★★(2025届江西南昌模拟,7)我们知道一个常识:奇函数的导函数是偶函数,偶函数 的导函数是奇函数.推广到一般的情况:如果函数f(x)的图象有对称中心,那么其导函数 f '(x)的图象会有对称轴;如果函数f(x)的图象有对称轴,那么其导函数f '(x)的图象会有对称 中心.请你运用以上性质研究函数f(x)=ln 的对称性,下列选项正确的是 ( ) A.f(x)的图象有对称中心  B.f(x)的图象有对称中心  C.f(x)的图象有对称轴x=-  D.f(x)的图象有对称轴x=      B     返回目录 解析　因为函数f(x)=ln ,定义域为(-2,3),所以f '(x)= · = · =  , 其图象关于直线x= 对称,所以f(x)的图象关于 ,即 对称,故选B. 返回目录 8.★★★(创新考法·估计三角函数值)(2025届陕西咸阳三模,8)英国数学家泰勒发现 的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时, f(x)=f(0)+f '(0)x + x2+ x3+…+ xn+….该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算sin 2 的值为(精确到小数点后两位)( ) 注:f ″(x)表示f(x)的2阶导数,即为f '(x)的导数, f (n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数,即为f (n-1)(x) (n≥3)的导数.n!表示n的阶乘,即n!=1×2×3×…×n. A.0.85　　    B.0.88　　    C.0.91　　    D.0.95     C     返回目录 解析　由题意知f(x)=sin x,知f(0)=0. f '(x)=cos x⇒f '(0)=1; f ″(x)=-sin x⇒f ″(0)=0; f (3)(x)=-cos x⇒f (3)(0)=-1; f (4)(x)=sin x⇒f (4)(0)=0; f (5)(x)=cos x⇒f (5)(0)=1; f (6)(x)=-sin x⇒f (6)(0)=0; f (7)(x)=-cos x⇒f (7)(0)=-1, 返回目录 求出sin x=x- + - +…,令x=2,得 sin 2=2- ×23+ ×25- ×27+…=2- + - +…≈0.91, 故选C. 返回目录 五年高考 考点2　曲线的切线 1.★★(2023全国甲文,8,5分)曲线y= 在点 处的切线方程为 ( ) A.y= x　　     B.y= x C.y= x+ 　　    D.y= x+      C     解析　由y= ,可得y'= ,则y'|x=1= ,∴曲线在点 处的切线方程为y- = (x-1), 即y= x+ ,故选C. 返回目录 2.★★(2024全国甲理,6,5分)设函数f(x)= ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两 坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析    f '(x)=  , ∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=3,∴切线的方程为y=3x+1, 令x=0,得y=1;令y=0,得x=- , ∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S= ×1× = . 返回目录 3.★★★(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( ) A.eb<a　　     B.ea<b　　     C.0<a<eb　　    D.0<b<ea     D     解析　设切点坐标为(x0,y0),则y0= . 对y=ex求导得y'=ex,则切线斜率k= , 切线方程为y- = (x-x0), 因为切线过点(a,b),所以b- = (a-x0),即 (a-x0+1)-b=0(*). 由题意知方程(*)有两个解.【不能直接求方程(*)的解,考虑其对应函数有两个零点,利 用导数法求解】 返回目录 设g(x)=ex(a-x+1)-b,则g'(x)=ex(a-x),令g'(x)>0,得x<a,令g'(x)<0,得x>a,故函数g(x)在x=a处 取得极大值,也是最大值. 要使g(x)有两个零点,则必有g(a)>0,即ea(a-a+1)-b>0,即b<ea. 结合选项知选D. 小题速解　当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的 切线的斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y= ex的下方,∴0<b<ea,故选D.   返回目录 4.★★(2021全国甲理,13,5分)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为______________.     y=5x+2     解析    y= =2- , 所以y'= ,所以k=y'|x=-1=5, 从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2. 返回目录 5.★★★(2025全国一卷,12,5分)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=______.     4     解析　由y=ex+x+a,得y'=ex+1.设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a相切时的切点为(x0,y0),则  解得  返回目录 6.★★★(2024新课标Ⅰ,13,5分)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a 的切线,则a=____________.     ln 2     解析　因为y=ex+x,所以y'=ex+1, 所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的斜率k=2, 又切线过点(0,1),所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的方程为y=2x+1, 对y=ln(x+1)+a求导得y'= ,由直线y=2x+1也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,得 =2,解得 x=- ,将x=- 代入y=ln(x+1)+a得y=a-ln 2, 所以曲线y=ln(x+1)+a与直线y=2x+1相切的切点坐标为 ,代入y=2x+1,解得a= ln 2. 返回目录 7.★★★(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________, ___________________.     y=- x(不分先后)         y= x     解析　由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}. 易证函数y=ln|x|为偶函数, 当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0,ln x0), ∵y'= ,∴切线斜率k=y' = , 故切线方程为y-ln x0= (x-x0), 又知切线过原点(0,0), 返回目录 ∴-ln x0=-1,∴x0=e, 故切线方程为y-1= (x-e),即y= x. 由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=- x, 故过坐标原点的两条切线方程为y= x和y=- x. 返回目录 8.★★★(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值 范围是______________________.     (-∞,-4)∪(0,+∞)     解析　设f(x)=y=(x+a)ex, 则f'(x)=(x+a+1)ex, 设切点为(x0,(x0+a) ), 因此切线方程为y-(x0+a) =(x0+a+1)· (x-x0), ∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a) =(x0+a+1) ·(-x0),整理得 +ax0-a=0,由切线有两条,得关 于x0的方程 +ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.【经检验符合题 意】 返回目录 思路导引　设切点坐标为(x0,(x0+a) ),利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而得到 切线方程,再把原点代入可得 +ax0-a=0,因为有两条切线,所以关于x0的方程有两个不 等实根,由Δ>0即可求出a的取值范围. 返回目录 9.★★★(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1))和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围 是_____________.     (0,1)     返回目录 解析　当x>0时, f(x)=ex-1, f '(x)=ex,则kBN= . 当x<0时, f(x)=1-ex, f '(x)=-ex,kAM=- , 由切线垂直可知kAM·kBN=- · =-1,得x1+x2=0, 设kBN=k,则kAM=- , 则 = = = , ∵x2>0,∴ ∈(0,1). 故 的取值范围是(0,1). 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届安徽质量检测,4)已知函数f(x)=-x2+3x,则曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方 程为 ( ) A.x+y-3=0　　    B.x-y+1=0 C.x+y-2=0　　    D.x-y-1=0     B     解析　∵f(x)=-x2+3x,∴f '(x)=-2x+3,则f '(1)=1,又f(1)=2,故曲线在点(1, f(1))处的切线方程 为y-2=x-1,即x-y+1=0.故选B. 返回目录 2.★★(2026届河北示范高中联盟月考,3)若直线y=kx+b是曲线y=2x-ln(x+1)+3的切线,则 k的取值范围是 ( ) A.(1,2]　　     B.(-∞,2)　　     C.(-∞,1)　　     D.(1,2)     B     解析　因为y=2x-ln(x+1)+3,所以y'=2- (x>-1).设切点的横坐标为x,因为直线y=kx+b是 该曲线的切线, 所以k=2- (x>-1).因为x+1>0,所以 >0,所以2- <2,所以k∈(-∞,2).故选B. 返回目录 3.★★(2025届陕西安康考前最后一卷,5)已知函数f(x)=excos x的图象在x=x0  处的切线平行于x轴,则该切线的方程为 ( ) A.y=1　　     B.y=   C.y=  　　    D.y=       D     返回目录 解析　由f(x)=excos x,得f '(x)=ex(cos x-sin x),依题意,得f '(x0)=0, 即 (cos x0-sin x0)=0,则tan x0=1,因为0<x0< ,所以x0= , 则f = cos =  , 所以该切线的方程为y=  .故选D. 返回目录 4.★★(2025届江苏南通高品质高中模拟预测,5)若曲线y=x4的一条切线l1与直线l2:4x-y- 20=0平行,则l1与l2之间的距离为 ( ) A. 　　    B.2 　　     C.5　　     D.10     A     解析　设直线l1与曲线y=x4切于点P(x0,y0).y'=4x3,由直线l1与直线l2平行,且直线l2的斜率 为4,得4 =4,解得x0=1,则y0=1,所以直线l1:y-1=4(x-1),即4x-y-3=0, 所以直线l1与l2之间的距离为 = .故选A. 返回目录 5.★★★(2025届河南部分学校模拟,5)已知曲线f(x)=(x+k)ln(x+k)的一条切线的方程为y =x,则k=( ) A.0　　    B.1　　    C.-1　　    D.e     B     解析　由题意得f '(x)=1+ln(x+k).由y=x与曲线f(x)相切,设切点为(x0,x0), 则f '(x0)=1+ln(x0+k)=1,故x0+k=1,由f(x0)=x0,得(x0+k)ln(x0+k)=x0,将x0+k=1代入上式,得x0=0, 故k=1.故选B. 返回目录 6.★★★(2026届广东广州花都调研,7)已知f(x)为奇函数,当x<-1时, f(x)=ln ,则曲线 f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是 ( ) A.x+4y-4ln 2-3=0　　    B.x+2y+2ln 2-3=0 C.x-4y+4ln 2-3=0　　    D.x-2y-2ln 2-3=0     A     返回目录 解析　首先根据函数的奇偶性求出x>1时的函数解析式. 若x>1,则-x<-1,则当-x<-1时, f(-x)=ln =ln , ∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-ln ,即当x>1时, f(x)=-ln . 然后根据导数的几何意义求切线方程. f(3)=-ln =-ln =ln 2, f '(x)=- , 则f '(3)=- =- , 因此切线方程为y-ln 2=- (x-3),即x+4y-4ln 2-3=0.故选A. 返回目录 7.★★★(2026届江西阶段检测,7)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),P为曲线y=2-ln x上 一动点,则AP的最小值为 ( ) A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.2      D     解析　依题意,知当曲线y=2-ln x在P处的切线垂直于AP时,AP取得最小值, 设P(x0,2-ln x0),对y=2-ln x求导得y'=- ,y' =- ,则 · =-1,整理得 +x0+ln x0-2 =0, 而函数f(x0)= +x0+ln x0-2在(0,+∞)上单调递增,【y= +x0-2与y=ln x0均在(0,+∞)上单调 递增】 又f(1)=0,因此x0=1,点P(1,2),所以APmin=2 .故选D. 返回目录 8.★★★(2026届河北沧州质量检测,7)已知函数f(x)= ,则曲线y=f(x)在点 (0, f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　由题意可得f'(x)=  ,所以f '(0)= =-3,又知f(0)=2,所以曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线为y=f '(0)(x-0)+f(0)=-3x+2,与两坐标轴的交点分别为 ,(0,2). 所以三角形的面积为 × ×2= .故选D. 返回目录 9.★★★(2026届河南安阳调研,7)过点P(0,1)作曲线y=x2-2x+5的两条切线,切点分别 为M,N,则直线MN的方程为 ( ) A.2x+y-9=0　　    B.2x-y+9=0 C.2x+y-1=0　　    D.2x-y+1=0     A     解析　设切点坐标为(a,a2-2a+5).由y=x2-2x+5,得y'=2x-2,则曲线在切点(a,a2-2a+5)处的 切线方程为y-(a2-2a+5)=(2a-2)(x-a),即y=(2a-2)x-a2+5,把点P的坐标代入,得1=-a2+5,解得 a=2或a=-2,当a=2时,y=5,当a=-2时,y=13,不妨取M(2,5),N(-2,13),可得直线MN的方程为2x +y-9=0. 返回目录 10.★★★(2025届陕西安康模拟预测,7)已知曲线f(x)=ln x+x2-ax 与倾斜角为45° 且横截距为a的直线l相切,则a= ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     B     解析　倾斜角为45°且横截距为a的直线l的方程为y=x-a, 设直线l与曲线f(x)=ln x+x2-ax 的切点为(x0,ln x0+ -ax0),因为f '(x)= +2x-a, 所以 +2x0-a=1且ln x0+ -ax0=x0-a, 所以ln x0+ - x0=x0- , 所以ln x0- + +2x0-2=0, 返回目录 设g(t)=ln t-t2+ +2t-2,t≥ , 则g'(t)= -2t- +2= -2(t-1)= , 因为t≥ ,所以1-2t2≤1- <0, 所以当t>1时,g'(t)<0,g(t)在(1,+∞)上单调递减, 当 ≤t<1时,g'(t)>0,g(t)在 上单调递增, 所以g(t)max=g(1)=0,所以x0=1, 所以1+2-a=1,解得a=2.故选B. 返回目录 11.★★★(2026届山东九五高中协作体质量检测,8)若不等式ex-2≥ax+b≥ln x恒成立, 则实数a的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C.[1,2]　　     D.[1,e]     D     返回目录 解析　设f(x)=ex-2,g(x)=ln x,则f '(x)=ex,g'(x)= , 设曲线f(x)与g(x)的公切线的切点分别为(x1, -2),(x2,ln x2),则切线方程为y-( -2)= (x-x1), y-ln x2= (x-x2),即y= x- x1+ -2,y= x-1+ln x2, 所以 = ①,- x1+ -2=-1+ln x2②,由①得x1=ln =-ln x2,代入②得- x1+ -2=-1-x1,即 ( -1)(1-x1)=0,解得x1=0或x1=1, 所以公切线的斜率为1或e, 由图可得a∈[1,e].故选D. 返回目录 12.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,8)已知函数f(x)= 若在点P可 以作曲线y=f(x)的两条切线,则点P的坐标可以为 ( ) A.(1,1)　　    B.(1,2)　　     C.(-1,1)　　    D.(2,2)     B     返回目录 解析　作出函数f(x)= 的图象,如图.   对f(x)求导得f '(x)=  曲线f(x)=ex在x=0处的切线为y-f(0)=f '(0)(x-0)⇒y-1=x⇒y=x+1,而曲线f(x)=ln(x+1)+1在x= 0处的切线为y-f(0)=f '(0)(x-0)⇒y-1=x⇒y=x+1,由于分段函数在分界点处的切线相同, 所以可取公切线y=x+1上的点P,再作曲线f(x)的另一条切线即可.根据选项分析,只有(1, 2)在公切线y=x+1上,故选B. 返回目录 13.★★★★(创新风向·多想少算)(2025届江苏南京东山高级中学二模,8)已知y=(x -a)2+(xln x-a+3)2(a∈R),则y的最小值为 ( ) A.2　　     B.1　　     C. 　　    D.      A     返回目录 解析　设点P(x,xln x)是函数f(x)=xln x图象上的点,点Q(a,a-3)是直线l:y=x-3上的点, 则|PQ|= ,所以y=|PQ|2. f '(x)=ln x+1,设曲线f(x)在点M(x0,y0)处的切线l1与直线l平行, 则f '(x0)=ln x0+1=1,解得x0=1,则点M(1,0), 所以|PQ|的最小值为点M(1,0)到直线l的距离d= = , 所以y=(x-a)2+(xln x-a+3)2的最小值为2,故选A. 返回目录 14.★(2026届湖南益阳教学质量检测,12)曲线y= 在点(1,0)处的切线方程为_________.     y=x-1 解析　由题意得y'= = ,所以y'|x=1=1,所以所求切线方程为y=x-1. 返回目录 15.★★(2026届河北石家庄一中摸底,12)已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线 方程是y= x+2,则f(1)+f '(1)=_________.     3     解析　因为函数f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y= x+2,所以f(1)= ×1+2= , f '(1)= ,所以f(1)+f '(1)= + =3. 返回目录 16.★★(2026届山西长治质量监测,12)曲线y=x2+ 在点(1,4)处的切线的倾斜角为_______ _____.     135°     解析　由y=x2+ 得y'=2x- ,则y'|x=1=2- =-1, 所以曲线在点(1,4)处的切线的倾斜角为135°. 返回目录 17.★★★(2026届湖北武汉华中师大一附中月考,12)若曲线y=x+2 在点(1,3)处的切 线也是曲线y=ln x+x+2a的切线,则a=_________.     1     解析　由y=x+2 ,得y'=1+ ,y'|x=1=2,故曲线y=x+2 在(1,3)处的切线方程为y=2x+1;由 y=ln x+x+2a,得y'=1+ ,设直线y=2x+1与曲线y=ln x+x+2a相切于点(x0,ln x0+x0+2a),则1+  =2,解得x0=1,则切点为(1,1+2a), 代入切线方程得1+2a=2+1,解得a=1. 返回目录 18.★★★★★(2026届广东深圳中学摸底,19)已知函数f(x)=aex,g(x)=ln x+b(a,b∈R). (1)当b=1时, f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (2)证明:当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与y=g(x)总存在两条公切线; (3)若直线l1,l2是曲线y=f(x)与y=g(x)的两条公切线,且l1,l2的斜率之积为1,求a,b的关系式. 返回目录 解析    (1)当b=1时,由f(x)≥g(x)得aex≥ln x+1,即a≥ . 设F(x)= ,则F'(x)= , 设p(x)= -ln x-1, 则p'(x)=- - =- <0, ∴p(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴当x∈(0,1)时,p(x)>p(1)=0,此时F '(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,p(x)<p(1)=0,此时F '(x)<0, 返回目录 ∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴F(x)max=F(1)= ,∴a≥ , 即a的取值范围为 . (2)证明:设直线l是曲线f(x),g(x)的公切线,分别与曲线f(x),g(x)相切于点(x1,a ),(x2,ln x2 +b), ∵f '(x)=aex,g'(x)= , 则f '(x1)=a ,g'(x2)= , ∴切线方程为y-a =a (x-x1), 返回目录 y-ln x2-b= (x-x2), 即y=a x+a (1-x1),y= x+ln x2+b-1. ∴a = 且a (1-x1)=ln x2+b-1, ∵a=e-1,∴ = ,∴x1-1=-ln x2, ∴ln x2+b-1=a (1-x1)= , ∴b= -ln x2+1, 令h(x)= -ln x+1, 返回目录 则h'(x)= , 设q(x)=1-ln x-x, 则q'(x)=- -1=- <0, ∴q(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴当x∈(0,1)时,q(x)>q(1)=0,此时h'(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,q(x)<q(1)=0,此时h'(x)<0, ∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴h(x)max=h(1)=1, 当x→0时,h(x)=ln x +1→-∞,当x→+∞时,h(x)→-∞,又b<1, 返回目录 ∴h(x)的图象与直线y=b有两个不同的交点, ∴方程b= -ln x2+1总有两个不相等的实数根,即直线l有两条, ∴当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)总存在两条公切线. (3)同(2)得  由①得x2= , 代入②得(1-x1)a =-ln a-x1+b-1, ∴(1-x1)a +ln a+x1-b+1=0, 设两条公切线l1,l2与曲线y=f(x)分别相切于点(s,aes),(t,aet), 返回目录 则l1,l2的斜率分别为k1=aes,k2=aet, 由k1k2=1得a2es+t=1, 由题意知,a>0, 两边同取自然对数得2ln a+s+t=0, 即s+t=-2ln a, 又  将s=-t-2ln a代入③得 (1+t+2ln a)ae-t-2ln a+ln a-t-2ln a-b+1=0, 即(1+t+2ln a) -t-ln a-b+1=0, 返回目录 ∴1+t+2ln a+(1-t)aet-(ln a+b)aet=0,⑤ ⑤-④得ln a+b-(ln a+b)aet=0, ∴(ln a+b)(1-aet)=0对任意t恒成立, ∴ln a+b=0. 返回目录 $