8.1　直线和圆课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线和圆”专题，覆盖直线与圆的方程、位置关系两大核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确方程求解、切线问题、距离最值等高频考点分布，归纳轨迹方程、弦长计算等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题实战+方法建模+素养培养”，如以2022全国甲文14题为例，通过待定系数法求圆方程，培养数学思维与运算能力。包含易错点分析（如两直线平行忽略重合检验），提炼“几何性质优先”等解题技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

8.1　直线和圆 返回目录 五年高考 考点1　直线和圆的方程 1.★★(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则 ☉M的方程为_______________________.     (x-1)2+(y+1)2=5     解析　设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则 解得  所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 返回目录 2.★★★(2022全国乙,文15,理14,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的 方程为____________________________________________________________________ ________________. (写出一个即可)         (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或  +  = 或  +(y-1)2=  返回目录 解析　若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1), 根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上, 设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2, AC的中垂线方程为y=x+1. 联立 解得圆心坐标为(2,3). 此时圆的半径r= = . 所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. 同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5, + = , +(y- 1)2= . 返回目录 三年模拟 1.★(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,3)已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平 行,则实数a的值为 ( ) A.-1或2　　    B.0或2　　    C.2　　    D.-1     D     解析　由题意知a·a-(a+2)=0,即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1, 经过验证可得a=2时两条直线重合,舍去,∴a=-1.故选D. 易错警示　解决两直线平行问题时,要对结果进行检验,排除两直线重合的情况. 返回目录 2.★★(2025届重庆部分学校联考,5)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1, 1),则原点到直线l2距离的最大值为 ( ) A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.      A     返回目录 解析　解法一　代数法　因为两直线交于点(1,1),则1+1+C=0,且A+B+C=0,则C=-2,A+B =2. 原点到直线l2的距离d= = = ,易知A2-2A+2=(A-1)2+1≥ 1,则d≤ , 当且仅当A=1时,d取最大值 ,故选A. 解法二　数形结合法　如图所示,l2恒过点E(1,1), 则当OE⊥l2时,原点O到直线l2距离有最大值|OE|,|OE|= = .故选A. 返回目录 3.★★(2026届浙江杭州一模,7)若圆C经过A(1,1),B(2,-2),圆心在直线x-y+1=0上,则圆C 的面积为( ) A.16π　　    B.25π　　    C.36π　　    D.49π     B     解析　设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,r>0, 所以 解得  所以圆C的面积为πr2=25π. 故选B. 返回目录 4.★★★(2025届河北衡水中学开学考,6)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈ R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为( ) A. ,3x+2y-5=0　　    B. ,3x+2y-5=0 C. ,2x-3y+1=0　　    D. ,2x-3y+1=0     A     解析    将直线l的方程(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)化为x+y-2+λ(3x+y-4)=0, 由 解得 因此直线l过定点A(1,1), 当AP⊥l时,点P(-2,-1)到直线l的距离最大, 最大值为|AP|= = ,又直线AP的斜率kAP= = ,所以直线l的方程 为y-1=- (x-1),【注意AP⊥l】即3x+2y-5=0.故选A. 返回目录 5.★★★(2026届广东八校联盟质检,7)P是圆(x-a)2+(y-a2)2=1上的动点,Q是直线y=x-2上 的动点,则|PQ|的最小值为 ( ) A. -1　　    B. 　　    C. -1　　    D.      C     解析　圆(x-a)2+(y-a2)2=1的圆心为(a,a2),半径r=1. 因为点(a,a2)到直线y=x-2的距离d= = ≥ >1, 当且仅当a= 时等号成立,所以直线与圆相离, 所以|PQ|的最小值为dmin-r= -1.故选C. 返回目录 6.★★★★(2026届湖北武汉质检,8)实数a,b,c,d满足cd=a2+b2=2,则(a-c)2+(b-d)2的最小值 为( ) A.3-2 　　    B.6-4 　　    C.2- 　　    D.2+      B     解析　因为a2+b2=2,所以点P(a,b)为圆x2+y2=2上的一点, 因为cd=2,所以点Q(c,d)是曲线y= 上的一点, 因此|PQ|2=(a-c)2+(b-d)2,如图.   因为|PQ|+|OP|≥|OQ|,|OP|= , 所以|PQ|≥|OQ|- ,当且仅当P为线段OQ与圆x2+y2=2的交点时取等号, 返回目录 又cd=2,故c2+d2≥2 =4,当且仅当c=d= 或c=d=- 时等号成立, 所以|OQ|= ≥2,当且仅当c=d= 或c=d=- 时等号成立, 因此|PQ|≥2- ,当且仅当 或 时等号成立, 所以当 或 时,(a-c)2+(b-d)2取最小值,最小值为(2- )2=6-4 .故选 B. 返回目录 7.★★★★(2025届山东德州开学考,8)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点,点B(4,0),且 P(x,y)满足x2+y2+x-2=0,则3|AP|+|BP|的最小值为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　∵x2+y2+x-2=0, ∴ +y2= . ∴P点轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,记为圆C, 设在x轴上存在定点M(a,0),使得圆上任意一点P(x,y),满足|PB|=3|PM|, 则 =3 ,化简得8(x2+y2)-(18a-8)x+(9a2-16)=0,   把x2+y2=2-x代入得18ax-9a2=0, 返回目录 要使等式恒成立,则a=0. ∴存在定点M(0,0),使圆上任意一点P满足|PB|=3|PM|, 则3|AP|+|BP|=3|AP|+3|MP|=3(|AP|+|MP|)≥3|AM|, 当A,P,M三点共线(A,M位于P两侧)时,等号成立. 又A点为直线3x+4y-7=0上一动点,则|AM|的最小值即为点M到直线3x+4y-7=0的距离, M(0,0)到直线3x+4y-7=0的距离d= = ,则|AM|min= . 故3|AP|+|BP|≥3|AM|≥3d= .故选D. 返回目录 8.★★(2026届四川广安联考,12)过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点,且垂直于直线x-y+1 =0的直线方程是_______________.     x+y-2=0     解析　解法一　点斜式法     由 解得  因此交点坐标为(1,1). 直线x-y+1=0的斜率为1,则与其垂直的直线的斜率为-1, 所以过点(1,1)且与直线x-y+1=0垂直的直线方程为y-1=-(x-1), 整理得x+y-2=0. 解法二　直线系法　设要求的直线方程为x-2y+1+λ(3x-y-2)=0,(不含直线3x-y-2=0) 即(1+3λ)x-(2+λ)y+1-2λ=0, 返回目录 由两直线垂直得 =-1,解得λ=- , 因此所求直线方程为- x- y + =0,即x+y-2=0. 返回目录 9.★★(2026届河北邢台名校开学联考,12)与圆x2+y2-2y=0关于直线y=x对称的圆的标准 方程为___________________.     (x-1)2+y2=1     解析　将圆的方程x2+y2-2y=0化为x2+(y-1)2=1, 所以圆心坐标为(0,1),半径r=1, 设圆心(0,1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),则 解得  则所求圆的圆心坐标为(1,0),又半径为1, 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=1. 返回目录 10.★★(2026届上海交大附中月考,9)在直角坐标平面xOy内有一直角△ABC,C= ,顶点 A的坐标为(2,1),BC所在直线方程为2x+y+1=0,则顶点C的坐标为_________. 返回目录 解析　因为C= ,所以AC⊥BC,因为BC所在直线方程为2x+y+1=0,A(2,1), 因此AC所在直线方程为y-1= (x-2), 即x-2y=0, 联立得 解得  所以顶点C的坐标为 . 返回目录 11.★★★(2026届江苏如皋中学阶段测试,15)已知圆C经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切, 且圆心在直线y=-2x上. (1)求圆C的方程; (2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程. 解析    (1)设圆心为C(a,-2a), 则 = . 化简,得a2-2a+1=0,解得a1=a2=1. 所以C(1,-2),半径r= = . 因此圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 返回目录 (2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足 条件. ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx, 由题意得 =1,解得k=- , ∴直线l的方程为y=- x,即3x+4y=0.综上,直线l的方程为x=0或3x+4y=0. 返回目录 五年高考 考点2　直线和圆、圆和圆的位置关系 1.★★(2023新课标Ⅰ,6,5分)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则 sin α=( ) A.1　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     返回目录 解析　设圆心为C.圆的方程x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆心为C(2,0),半径r= , 设点P(0,-2),切点分别为A,B,如图所示.   易得|CA|= ,|PC|=2 ,|AP|= , ∴cos = ,sin = 【α是∠APB的补角】, ∴sin α=2sin cos = ,故选B. 返回目录 2.★★(2021北京,9,4分)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时, 若|MN|的最小值为2,则m= ( ) A.±1　　    B.± 　　    C.± 　　    D.±2     C     解析　设圆x2+y2=4的圆心C到直线y=kx+m的距离为d,则d= ,当弦长最小时,d最大, 此时k=0,d=|m|,由题意知m2+1=4,所以m=± ,故选C. 返回目录 3.★★(2025全国一卷,7,5分)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= x+2的距离为1的点 有且仅有两个,则r的取值范围是( ) A.(0,1)　　    B.(1,3)　　    C.(3,+∞)　　    D.(0,+∞)     B     解析　圆x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心的坐标为(0,-2),圆心到直线y= x+2的距离d=  =2, 由题意得|r-d|<1,即|r-2|<1,解得1<r<3,故选B. 返回目录 4.★★★(2023全国乙文,11,5分)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是  ( ) A.1+ 　　    B.4　　    C.1+3 　　    D.7 C     解析　由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,此方程表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆. 设t=x-y,则x-y-t=0,设圆心(2,1)到直线x-y-t=0的距离为d,则d= = , 依题意知,直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点, ∴d= ≤3,即|1-t|≤3 ,∴-3 ≤t-1≤3 ,即1-3 ≤t≤1+3 , ∴t的最大值为1+3 ,即x-y的最大值为1+3 ,故选C. 返回目录 一题多解　由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9. 设x=2+3cos θ,y=1+3sin θ,θ∈[0,2π), ∴x-y=2+3cos θ-1-3sin θ=1+3(cos θ-sin θ)=1+3 cos , ∵θ+ ∈ , ∴cos ∈[-1,1], ∴(x-y)max=1+3 ,故选C. 返回目录 5.★★★(2024全国甲理,12,5分)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1= 0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( ) A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.2      C     返回目录 解析　由题知b= , ∴ax+ y+c=0, ∴a + (y+2)=0, ∴ 解得  ∴直线ax+by+c=0过定点(1,-2), 将x2+y2+4y-1=0化为标准方程为x2+(y+2)2=5. 当过圆心(0,-2)与定点(1,-2)的直线与直线AB垂直时,|AB|最小,且|AB|min=2 =4.故 选C. 返回目录 6.★★★★(2023全国乙理,12,5分)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线 PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|= ,则 · 的最大值为 ( ) A. + 　　    B. + 　　    C.1+ 　　    D.2+      A     解析    由D为BC的中点可知OD与PD垂直,即点D的轨迹是以OP为直径的圆周在☉O内 部的部分.取OP的中点M,有|DM|= = ,并且 = + ,因为|PA|=  =1, · =  · = | |·| |·cos∠APO= | |2= ,同时 · ≤|PA|·|MD|= ,所以  · = ·( + )= · + · ≤ + ,当 与 同向平行时取到最大值,故 选A. 返回目录 7.★★★(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则 下列说法正确的是 ( ) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切     ABD     返回目录 解析　圆心C(0,0)到直线l的距离d= , 若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2, 所以d= =|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确. 若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2, 所以d= >|r|, 所以直线l与圆C相离,故B正确. 若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d= <|r|, 返回目录 所以直线l与圆C相交,故C错误. 若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d= =|r|, 所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD. 返回目录 8.★★★(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2), 则 ( ) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3  D.当∠PBA最大时,|PB|=3      ACD     返回目录 解析　由题意可知直线AB的方程为 + =1,即x+2y-4=0, 则圆心(5,5)到直线AB的距离d= = >4, ∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离, ∴点P到直线AB的距离的取值范围为 , ∵ -4∈(0,1), +4∈(8,9), ∴A正确,B错误. 返回目录   过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA最小,当 点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为 ,圆的半 径为4,所以|P1B|=|P2B|= = =3 ,故选项C,D均正确.故选ACD. 返回目录 9.★(2022天津,12,5分)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m 的值为_________.     2     解析　圆心(1,1)到直线x-y+m=0的距离为 ,则 + =3,解得m=2(负值舍去). 返回目录 10.★★(2021天津,12,5分)若斜率为 的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B, 则|AB|=_________. 解析　设圆心为C,直线AB的方程为y= x+b,则C(0,1),A(0,b). 由直线AB:y= x+b与圆x2+(y-1)2=1相切得 =1,解得b=-1或b=3,所以|AC|=2,因为|BC| =1,所以|AB|= = . 返回目录 11.★★★(2023新课标Ⅱ,15,5分)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写 出满足“△ABC的面积为 ”的m的一个值:______________________________.     2或-2或 或- (写出一个即可)     解析　∵圆心(1,0)到直线x-my+1=0的距离d= , ∴|AB|=2 = , ∴S△ABC= |AB|·d= = , ∴2m2-5|m|+2=0,∴|m|=2或|m|= ,∴m=±2或m=± . 返回目录 12.★★★(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线 的方程:____________________________________.     x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)     解析　∵两圆C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=16的圆心分别为C1(0,0),C2(3,4),r1=1,r2=4,   ∴|C1C2|=5=r1+r2,则两圆外切(如图),且均与直线l1:x=-1相切,两圆圆心连线C1C2所在直线 的方程为y= x,记为l,l1与l交于点P ,由两圆另一外公切线l2过点P,设l2:y+ =k(x+ 返回目录 1),由l2与圆C1:x2+y2=1相切,得 =1,求出k= ,则直线l2的方程为7x-24y-25=0,由内公 切线l3与l垂直,设l3的方程为y=- x+m,由l3与圆C1:x2+y2=1相切得 =1,∴m= 或-  .当m=- 时,y=- x- ,与圆C2不相切,不符合题意,舍去.故m= ,则直线l3的方程为3x+4y- 5=0. 综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0. 返回目录 13.★★★(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆 (x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是_________. 返回目录 解析　设直线AB关于y=a对称的直线为l,∵kAB= ,∴kl=- . 显然点B(0,a)在直线l上, ∴直线l的方程为y=- x+a, 即(a-3)x+2y-2a=0.∵l与圆有公共点, ∴圆心(-3,-2)到直线l的距离d≤r, 即 ≤1, 即6a2-11a+3≤0,解得 ≤a≤ , ∴实数a的取值范围为 . 返回目录 14.★★★★★(2021全国甲,文21,理20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴 上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切. (1)求C,☉M的方程; (2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关 系,并说明理由. 返回目录 解析    (1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则P,Q的坐标为(1,± ),∵OP⊥ OQ, ∴ · =1-2p=0,∴p= , ∴抛物线C的方程为y2=x. ∵☉M的圆心为(2,0),☉M与直线x=1相切,∴☉M的半径为1, ∴☉M的方程为(x-2)2+y2=1. (2)直线A2A3与☉M相切.理由如下: 设A1( ,y0),A2( ,y1),A3( ,y2), 返回目录 ∵直线A1A2,A1A3均与☉M相切, ∴y0≠±1,y1≠±1,y2≠±1, 由A1,A2的坐标可得直线A1A2的方程为y-y0= ·(x- ),整理得x-(y0+y1)·y+y0y1=0,由于 直线A1A2与☉M相切,∴M到直线A1A2的距离d= =1,整理得( -1) +2y0y1+3-  =0,① 同理可得,( -1) +2y0y2+3- =0.② 观察①②,得y1,y2是关于y的一元二次方程( -1)·y2+2y0y+3- =0的两根, 返回目录 ∴ (*) 同理,得直线A2A3的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0, 则点M(2,0)到直线A2A3的距离d '= ,把(*)代入,得d '= =   返回目录 = = =1. ∴直线A2A3与☉M相切. 返回目录 三年模拟 1.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,2)已知直线l:ax+2y+a+4=0与圆C:x2+y2+2y-2=0,则 直线l与圆C的位置关系是 ( ) A.相离　　    B.相切　　    C.相交　　    D.不确定     C     解析　由题意可得直线l:a(x+1)+2y+4=0过定点A(-1,-2). 因为(-1)2+(-2)2+2×(-2)-2=-1<0,所以点A(-1,-2)在圆C内, 则直线l与圆C相交.故选C. 返回目录 2.★★(2025届江苏南京中华中学开学调研,5)设直线l:x+my-6=0和圆C:x2+y2-4x-4y=0相 交于M,N两点,若 · =0,则m= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.1     C     解析　圆C:x2+y2-4x-4y=0可化为C:(x-2)2+(y-2)2=8, 则圆心为C(2,2),半径r=2 , 因为 · =0,所以CM⊥CN, 又|CM|=|CN|,所以△CMN为等腰直角三角形,所以圆心C到直线l的距离d= r=2,即d=  =2,解得m= . 经检验符合题意.故选C. 返回目录 3.★★(2026届河北保定部分高中开学考,6)圆x2+y2=2上的点到直线3x-4y-10=0的距离可 能为 ( ) A.8　　    B.6　　    C.4　　    D.2     D     解析　由圆x2+y2=2,得圆心为(0,0),半径为 ,圆心(0,0)到直线3x-4y-10=0的距离d=  =2> , 则圆上的点到直线的距离的取值范围为[2- ,2+ ].故选D. 返回目录 4.★★(2026届安徽皖南八校大联考,6)已知过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-2y+1=0相切的两条 直线的夹角为α,则tan α= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析    x2+y2-4x-2y+1=0可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 因此圆心为(2,1),半径为2,所以点(0,-2)到圆心的距离为 = , 则切线长为 =3,所以tan = ,则tan α= = = .故选D. 返回目录 5.★★★(2025届山东青岛二中月考,6)过点P(1,-3)的直线l与曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤ 3)有两个交点,则直线l的斜率的取值范围为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　由题意易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x-1)-3(k≠0), 曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)是以M(2,0)为圆心,1为半径的半圆,如图,   返回目录 设曲线M的下端点为N(2,-1),要使l与曲线M有两个交点,则l应位于直线PN和切线PQ之 间(含PN), 所以kPQ<k≤kPN,易知kPN= =2, 由PQ与曲线M相切,得 =1, 解得k= ,所以kPQ= , 所以直线l的斜率的取值范围为 .故选B. 返回目录 6.★★★(2025届湖南长沙雅礼中学开学考,5)已知圆C的方程为x2+(y-2)2=a,则“a>2” 是“函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     B     返回目录 解析　由圆C的方程为x2+(y-2)2=a可得圆心为(0,2),半径r= , 若圆与直线y=x相交,则圆心到直线y=x的距离d= = < ,即a>2, 若函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点,则原点在圆的外部,即02+(0-2)2>a,解得a<4. 综上,若函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点,则2<a<4,所以“a>2”是“函数y=|x|的图 象与圆C有四个公共点”的必要不充分条件,故选B. 返回目录 7.★★★(2026届河北冀州中学开学考,6)已知A,B是圆O:x2+y2=1与x轴的两个交点,动点 M满足|MA|= |MB|,记点M的轨迹为E,则 ( ) A.E与圆O相切 B.E是两条平行的直线 C.∠MAB的最大值为  D.E上的点到原点O的距离的最大值为6     C     返回目录 解析　设M(x,y),由题意,不妨令A(-1,0),B(1,0),由|MA|= |MB|, 得 = · , 两边平方,整理得x2-6x+y2+1=0, 即(x-3)2+y2=8, 因此点M的轨迹E是圆心为点C(3,0),半径为2 的圆. 对于A,因为圆O与圆C的圆心距|OC|=3,且2 -1<|OC|<2 +1,所以两圆相交,因此A错 误; 对于B,由上述分析知E是圆心为点C(3,0),半径为2 的圆,因此B错误; 返回目录 对于C,如图所示,   当AM与圆C相切时,∠MAB取得最大值,此时记切点为M1, 由∠AM1C= ,得sin∠M1AB= = ,故∠MAB的最大值即∠M1AB= ,因此C正确; 对于D,如图,E上的点到原点O的距离的最大值为|OD|,易求得D(3+2 ,0),则|OD|=3+ 2 ,因此D错误.故选C. 返回目录 8.★★★(2025届广东部分学校第一次月考,6)已知直线l:(m-1)x+2y+3-m=0与圆C:x2+y2-6 x+6y=0交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是 ( ) A.[ ,3 ]　　    B.[2 ,6 ] C.[2 ,8 ]　　    D.[ ,6 ]     B     返回目录 解析　圆C:x2+y2-6x+6y=0,即圆C:(x-3)2+(y+3)2=18,则圆心为C(3,-3),半径r=3 , 直线l:(m-1)x+2y+3-m=0,即(x-1)m-x+2y+3=0, 令 解得 即直线l过定点P(1,-1),   因为12+(-1)2-6-6<0, 所以定点P在圆内, 设圆心C到直线l的距离为d, 返回目录 则弦长|AB|=2 , 当d=0时,弦长最长,过P的最长弦长为圆的直径,2r=6 , 当d最大时,直线l与CP垂直,dmax=|PC|= =2 , 所以弦长的最小值为2 =2 , 【关键点:当d最小时弦长最长,当d最大时弦长最短】 所以|AB|的取值范围为[2 ,6 ].故选B. 返回目录 9.★★★(2026届云南昆明期中,7)已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x-4y的取值范围为  ( ) A.[-4,16]　　      B.[-8,12] C.[-10,10]　　    D.[-16,4]     A     解析　设3x-4y=t,问题可转化为直线3x-4y-t=0与圆(x-2)2+y2=4有公共点,求t的取值范围. 由 ≤2,解得-4≤t≤16,所以3x-4y的取值范围为[-4,16].故选A. 返回目录 10.★★★(2026届湖南长沙雅礼中学月考,8)已知直线l:2xcos α+2ysin α-1=0与圆C:(x-1)2 +(y- )2= 相切,则满足条件的直线有 ( ) A.1条　　    B.2条　　    C.3条　　    D.4条     C     返回目录 解析　解法一　由题设知,圆心C(1, )到直线l的距离为 d=  = = , 化简得4sin -1=±3, 即sin =1或- , 当sin =1时,α= +2kπ,k∈Z; 返回目录 当sin =- 时,α= +2kπ或π+2kπ,k∈Z. 因此满足条件的直线有3条.故选C. 解法二　原点O到直线l的距离为d= = , 【思路探究:直线l的方程含参数,参数是以角的正弦、余弦形式出现的,借助三角恒等 变换计算点到直线的距离,可得原点O到直线l的距离为定值,则直线l与圆O:x2+y2= 相 切,再结合已知条件,利用公切线性质即可求解】从而满足条件的直线l为圆O:x2+y2=  和圆C:(x-1)2+(y- )2= 的公切线, 因为|OC|=2= + ,所以两圆外切,共有3条公切线.故选C. 返回目录 11.★★★★(2026届湖北华中师大附中月考,8)已知直线x+ay- a+2=0与圆O:x2+y2=r2 (r>0)交于不同的两点A,B,若∠AOB存在最小值且最小值不大于90°,则r的取值范围为  ( ) A.( ,2]　　    B.(3,2 ] C.(3,3 ]　　    D.(3,6]     C     返回目录 解析　将直线x+ay- a+2=0变形为x+2+a(y- )=0, 【方法技巧:将含有参数的直线方程按参数整理,求出所过定点坐标】 则可知直线恒过定点P(-2, ), 【思路探究:条件“∠AOB存在最小值且最小值不大于90°”的含义是定点P在圆内,且 过定点的直线被圆截得的弦长存在最小值,且最小值小于或等于 r】 |OP|= =3, 若r≤3,则直线可与圆O相切,如图1所示,此时A,B重合,若直线与圆O交于不同的两 点A,B, 返回目录 则∠AOB可不断趋于0,不存在最小值,与题意不符,因此r>3,  　      此时P在圆O内,直线与圆O一定交于两点A,B,此时对于任意给定的半径r, 根据圆的性质,知当OP⊥AB时,弦AB最短,∠AOB最小,此时弦长|AB|=2 = 2 , 在△AOB中,当∠AOB=90°时,|AB|= r, 由∠AOB的最小值不大于90°,得|AB|≤ r,即2 ≤ r,解得r≤3 . 综上,r的取值范围为(3,3 ].故选C. 返回目录 12.★★★★(2025届广东部分学校大联考,8)已知圆M:x2+y2-6y=0与圆N:(x-cos θ)2+(y- sin θ)2=1(0≤θ≤2π)交于A,B两点,则△ABM(M为圆M的圆心)面积的最大值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.2 　　    D.      C     返回目录 解析　由题意得M:x2+(y-3)2=9,所以圆心为M(0,3),半径r=3, 由两圆相交于A,B两点可知|MA|=|MB|=r=3, 所以S△ABM= |MA||MB|sin∠AMB= ×3×3sin∠AMB= sin∠AMB, 因为圆N的半径为1,所以|AB|≤2, 当|AB|=2时,|MN|= =2 , 又|MN|=  = , 则 =2 ,解得sin θ= ,则cos θ=± ,故|AB|可以取最大值2. 返回目录 当|AB|=2时,∠AMB最大,且是锐角, 在△ABM中,由余弦定理的推论可得cos∠AMB= = = , 所以sin∠AMB= = , 所以S△ABM≤ × =2 .故选C. 返回目录 13.★★★(多选)(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,9)过点P(2,2)作圆C:(x+2)2+(y+2)2= r2(r>0)的两条切线,切点分别为A,B,下列结论正确的是( ) A.0<r<2  B.若△PAB为直角三角形,则r=4 C.△PAB外接圆的方程为x2+y2=4 D.直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0     BD     返回目录 解析　圆C:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心为(-2,-2),半径为r, 当点P在圆C外时,才可以作2条切线, 所以|PC|= =4 >r,即0<r<4 ,因此A错误; 连接CA,CB,因为△PAB为直角三角形,则四边形PACB为正方形,所以|PC|=4 = r,解 得r=4,因此B正确; △PAC外接圆的圆心为PC的中点 ,即为(0,0),半径为 =2 , 又P,A,C,B四点共圆,【方法技巧:利用几何性质等价转化减少运算】 所以△PAB外接圆的方程为x2+y2=8,因此C错误; 将(x+2)2+(y+2)2=r2和x2+y2=8相减即得直线AB的方程, 所以直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0,因此D正确.故选BD. 返回目录 14.★★★(多选)(2026届浙江9+1高中联盟期中,10)已知点A为直线l:4x+3y+t=0(t∈R)上 的动点,向量 =(2,1),过点B向圆C:x2+y2=1作两条切线,切点分别为点D,E,则  ( ) A.若直线l与圆C相切,则t=±5 B.当t=1时,圆C截直线l所得的弦长为  C.点B到直线l的距离恒为  D.若t<0,则当|BC||DE|取到最小值时,l⊥BC     ABD 返回目录 解析    A项,当l与圆C相切时,圆心C到直线l的距离为 =1,所以t=±5,A项正确; B项,当t=1时,圆心C到直线l的距离为 ,所以弦长为2 = ,B项正确; C项,易知,直线l的一个法向量为n=(4,3),又 =(2,1),所以点B到直线l的距离为 = , C项错误; D项,由C知,B点的轨迹为一条与l平行的直线,不妨设为l',当t<0时,由点B到直线l的距离 为 ,易知l'与圆C无交点, 返回目录 由题意可知BC⊥DE,S△BDC=S△BEC= ·S四边形BDCE,则|BC||DE|=2S四边形BDCE=4S△BCD. 因为S△BCD= |BD||CD|= |BD|= · ,所以当|BC|取最小值时,|BC||DE|有最小值,此 时l'⊥BC,即l⊥BC,D项正确.故选ABD. 返回目录 15.★★(2026届湖北荆州中学月考,13)已知直线l:y= x+a与圆C:x2+(y-1)2=4交于A,B两 点,写出满足“∠ACB=120°”的a的一个值:______________________. 　-1或3(写出一个即可)     解析　由圆C:x2+(y-1)2=4可知,圆心为C(0,1),半径AC=2. 因为∠ACB=120°,所以∠CAB=30°.过C作CD⊥AB,则|CD|= |AC|=1.   所以圆心C到直线l的距离为|CD|= = =1, 解得a=-1或a=3. 故答案为-1或3(写出一个即可). 返回目录 $