2．5　幂函数与二次函数 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦幂函数与二次函数高考核心考点，按“定义-图象-性质-应用”逻辑架构整合知识，涵盖幂函数图象特征、二次函数解析式求法及闭区间最值等关键内容，通过考点梳理、母题变式、多维探究和分层练习，帮助学生构建系统知识网络，突破交汇命题难点。 资料以数学抽象与逻辑推理为核心，设计二次函数最值分类讨论专题培养思维严谨性，通过幂函数图象对比强化直观想象，设置基础到拓广三级练习适配学情，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生数学运算能力与解题效率，为高考冲刺提供实战支撑。

2．5　幂函数与二次函数 课标要求 考情分析 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). ◎考点考法：主要考查幂函数与二次函数的图象和性质，常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象． 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 1．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C． D． 2．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 3．已知函数f(x)＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．(0，20) B．[0，20) C．[0，20] D．[20，＋∞) 4．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是________． 5．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________． 考点一　幂函数的图象与性质　基础考点　自练自悟 1．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C．－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．在(0，＋∞)上单调递减 D．定义域为[0，＋∞) 3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 4．幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________． 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 考点二　二次函数的解析式　一题多变　母题探究 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． 1．(变条件)将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式． 2．(变条件)将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式． 确定二次函数解析式的方法 考点三　二次函数的图象与性质　多维探究　发散思维 角度1　二次函数的图象 (多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性与最值 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 1．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 2．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上单调递增，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) 3．已知函数f(x)＝x2－tx－1，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t). A级　基础过关 1．若幂函数f(x)的图象过点(2，)，则函数y＝f(x)＋1－x的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D． 2．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上，此函数(　　) A．单调递增 B．不是单调函数 C．单调递减 D．不能确定 3．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是(　　) 4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，则(　　) A．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＞0 B．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＜0 C．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＞0 5．(多选)已知函数f(x)＝ax2－2bx－1，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)是偶函数，则b＝0 B．若f(x)＜0的解集是(－1，1)，则ab＝1 C．若a＝1，则f(x)＞0恒成立 D．∀a≤0，b＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递增 6．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)＝x2＋ax＋b的单调递增区间为________． 7．已知函数f(x)＝3x2－12x＋5在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，则n的取值范围是________． 8．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(x)＝________，若f(a＋1)＜f(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 9．已知二次函数f(x)的最小值为1，函数y＝f(x＋1)是偶函数，且f(0)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围． 10．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在x∈[3，4]，使g(x)＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立，求实数m的取值范围． B级　能力提升 11．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，且当x∈[0，t＋1]时，有f(x)max－f(x)min≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 12．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m＞－ C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D．当m＞0时，x1＜2＜3＜x2 13．已知函数f(x)＝kx2＋(3＋k)x＋3，其中k为常数． (1)若f(2)＝3，求函数f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，设函数g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在区间[－2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)是否存在k使得函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． C级　拓广探索 14．已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m＜1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A． B．1 C． D．2 15．若f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．5　幂函数与二次函数 课标要求 考情分析 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). ◎考点考法：主要考查幂函数与二次函数的图象和性质，常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象． 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 1．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C． D． 解析　设f(x)＝xα，由f(2)＝2α＝，得α＝－1，则f(x)＝x-1，故f(4)＝4-1＝. 答案　D 2．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 解析　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]. 答案　A 3．已知函数f(x)＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．(0，20) B．[0，20) C．[0，20] D．[20，＋∞) 解析　当a＝0时，f(x)＝5＞0成立；当a≠0时，则解得0＜a＜20.综上，0≤a＜20.故选B. 答案　B 4．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是________． 解析　函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴，又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1. 答案　(－∞，1] 5．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________． 解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α＜0，故α＝－1. 答案　－1 考点一　幂函数的图象与性质　基础考点　自练自悟 1．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C．－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 解析　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2-1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. 答案　D 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．在(0，＋∞)上单调递减 D．定义域为[0，＋∞) 解析　设幂函数y＝f(x)＝xα，α∈R，由题意得2α＝，α＝－，故y＝f(x)＝x＝，定义域为(0，＋∞)，故D错误；定义域不关于原点对称，y＝f(x)为非奇非偶函数，A，B错误；由于－＜0，故y＝f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，C正确． 答案　C 3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c. 答案　D 4．幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________． 解析　由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2. 答案　2 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 考点二　二次函数的解析式　一题多变　母题探究 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． [解析]　方法一(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)，所以二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＝，所以h＝. 又根据题意函数有最大值8，所以k＝8， 所以f(x)＝a＋8. 又f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用零点式) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f(x)的最大值为8，所以a＜0，且＝8，解得a＝－4.故f(x)＝－4x2＋4x＋7. 1．(变条件)将本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式． 解析　设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0). 因为函数f(x)的最大值为8，所以a＜0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8， 所以a＝－8，所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x. 2．(变条件)将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式． 解析　因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意的x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为直线x＝2. 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)＝0的两根为x1＝1和x2＝3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0). 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1. 所以f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 确定二次函数解析式的方法 考点三　二次函数的图象与性质　多维探究　发散思维 角度1　二次函数的图象 (多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b [解析]　因为题图与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． [答案]　AD 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性与最值 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． [解析]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－或a＝－1. 二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动． (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 1．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 解析　因为abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合题意，故选D. 答案　D 2．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上单调递增，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) 解析　由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4. 答案　C 3．已知函数f(x)＝x2－tx－1，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t). 解析　f(－1)＝t，f(2)＝3－2t， f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，∴f(2)≤f(－1)， ∴f(x)max＝f(－1)＝t； 当t＜1时，f(2)－f(－1)＞0，∴f(2)＞f(－1)， ∴f(x)max＝f(2)＝3－2t， 综上有G(t)＝ A级　基础过关 1．若幂函数f(x)的图象过点(2，)，则函数y＝f(x)＋1－x的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D． 解析　设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，)，∴f(2)＝2α＝，则α＝，∴f(x)＝，∴y＝＋1－x＝－＋，∴所求最大值为.故选B. 答案　B 2．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上，此函数(　　) A．单调递增 B．不是单调函数 C．单调递减 D．不能确定 解析　因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上函数单调递增．故选A． 答案　A 3．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是(　　) 解析　若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A可能；若a＜0，则f(x)的图象开口向下，过点(0，1)，对称轴为x＝－＞0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＜－，B可能；若0＜a＜，则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，C不可能；若a＞，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，D可能． 答案　C 4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，则(　　) A．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＞0 B．∀x∈(0，1)，都有 f(x)＜0 C．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得 f(x)＞0 解析　由a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上． 因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)＜0，B正确，A、C、D错误，故选B. 答案　B 5．(多选)已知函数f(x)＝ax2－2bx－1，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)是偶函数，则b＝0 B．若f(x)＜0的解集是(－1，1)，则ab＝1 C．若a＝1，则f(x)＞0恒成立 D．∀a≤0，b＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递增 解析　对于A，函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，即ax2＋2bx－1＝ax2－2bx－1，即4bx＝0对任意的x∈R恒成立，则b＝0，故A正确；对于B，若不等式f(x)＜0的解集为(－1，1)，则a＞0且－1，1为方程f(x)＝0的两根，则解得故ab＝1，故B正确；对于C，若a＝1，则f(x)＝x2－2bx－1，Δ＝4b2＋4＞0，故f(x)＞0不恒成立，故C错误；对于D，当a＝0时，因为b＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，当a＜0时，函数f(x)的对称轴为直线x＝，且＞0，由二次函数的单调性可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此，∀a≤0，b＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，故D正确． 答案　ABD 6．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)＝x2＋ax＋b的单调递增区间为________． 解析　易知函数f(x)的定义域为(－1，1).因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，所以a－1＝0，即a＝1.经检验，a＝1符合题意，所以g(x)＝x2＋x＋b，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－，所以g(x)的单调递增区间是. 答案　 7．已知函数f(x)＝3x2－12x＋5在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，则n的取值范围是________． 解析　因为函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，且函数 f(x)的最小值为f(2)＝－7.令f(x)＝5，解得x＝0或4，因为f(x)在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，所以n的取值范围是2≤n≤4. 答案　[2，4] 8．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(x)＝________，若f(a＋1)＜f(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 解析　设f(x)＝xα，将点代入得α＝－，所以f(x)＝x－，其在(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1＞3－2a＞0，可得a∈. 答案　x　 9．已知二次函数f(x)的最小值为1，函数y＝f(x＋1)是偶函数，且f(0)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为f(x)的最小值为1，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a＞0)，又f(0)＝3，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，则或解得≤a＜1或a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]∪. 10．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在x∈[3，4]，使g(x)＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b＝a(x－1)2＋1＋b－a. 因为a＞0，所以g(x)在[2，3]上单调递增， 所以⇒⇒ (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1， 因为存在x∈[3，4]，使g(x)＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立， 所以当x∈[3，4]时，g(x)min＝g(3)＝4＜2m2－tm＋7对任意的t∈[0，5]都成立， 即－mt＋2m2＋3＞0对任意的t∈[0，5]都成立，其中t看作自变量，m看作参数，所以 解得m＜1或m＞， 故实数m的取值范围为(－∞，1)∪. B级　能力提升 11．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，且当x∈[0，t＋1]时，有f(x)max－f(x)min≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 解析　由题意得，函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为直线x＝t，∵f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，∴t≥1，∴当x∈[0，t＋1]时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，∴1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤，又t≥1，∴1≤t≤，即实数t的取值范围是[1，]，故选B. 答案　B 12．(多选)若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m＞－ C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D．当m＞0时，x1＜2＜3＜x2 解析　当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0，所以x1＝2，x2＝3，故A正确； 方程(x－2)(x－3)＝m化为x2－5x＋6－m＝0， 由方程有两个不等实根得Δ＝25－4(6－m)＝1＋4m＞0，所以m＞－，故B正确； 当m＞0时，画出函数y＝(x－2)(x－3)和函数y＝m的图象，如图所示，可得x1＜2＜3＜x2，所以C不正确，D正确． 答案　ABD 13．已知函数f(x)＝kx2＋(3＋k)x＋3，其中k为常数． (1)若f(2)＝3，求函数f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，设函数g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在区间[－2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)是否存在k使得函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)∵f(2)＝4k＋2(3＋k)＋3＝3，解得k＝－1，∴f(x)＝－x2＋2x＋3. (2)由(1)可得g(x)＝－x2＋2x＋3－mx＝－x2＋(2－m)x＋3，其对称轴方程为x0＝， 若g(x)在[－2，2]上为增函数，则x0≥2，解得m≤－2；若g(x)在[－2，2]上为减函数，则x0≤－2，解得m≥6. 综上可知，m的取值范围为 {m|m≤－2，或m≥6}． (3)当k＝0时，函数f(x)＝3x＋3在[－1，4]上的最大值是15，不满足条件； 当k≠0时，假设存在满足条件的k，则f(x)的最大值只可能在－1，4或对称轴处取得， 其中对称轴x0＝－， ①若f(x)max＝f(－1)＝4，则有k－3－k＋3＝4，k的值不存在； ②若f(x)max＝f(4)＝4，则16k＋12＋4k＋3＝4，解得k＝－，此时，对称轴x0＝∈[－1，4]，则最大值应在x0处取得，与条件矛盾，舍去； ③若f(x)max＝f(x0)＝4，则k＜0，且＝4， 化简得k2＋10k＋9＝0，解得k＝－1或k＝－9，满足k＜0且x0＝－∈[－1，4]， 综上可知，当k＝－1或k＝－9时，函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4. C级　拓广探索 14．已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m＜1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A． B．1 C． D．2 解析　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，ma＞mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 答案　B 15．若f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为________． 解析　因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，又函数f(x)的对称轴为直线x＝a， 所以f(x)min＝f(a)＝5－a2， f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}， 又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0， 所以f(x)max＝f(1)＝6－2a. 因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4， 所以f(x)max－f(x)min≤4， 即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3. 又a≥2，所以2≤a≤3. 即实数a的取值范围为[2，3]. 答案　 [2，3] 学科网（北京）股份有限公司 $