专项练习：空间中平行的判定与性质-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间平行判定与性质，以线面、面面为模块，通过判定、存在性问题构建递进式训练体系，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行|11题|线面平行判定与存在性探究|从基础判定到动态存在性问题，体现线线平行推线面平行的核心逻辑| |面面平行|11题|面面平行判定、性质应用及存在性问题|以线面平行为基础，构建面面平行判定与性质的推导链条，强化空间转化能力|

专项练习——空间中平行的判定与性质 1、 线面平行 （一）判定：线面平行 1．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：；    【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又 ， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中， ， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，， . 2．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）先证平面平面，即可得到平面. （2）过作于，则可知为三棱锥底面上的高，然后利用计算体积即可. 【详解】（1）连接，分别是中点，，平面，平面，平面. 在矩形中，是中点，且,是平行四边形，，平面，平面，平面. 又，平面，平面平面，平面，平面. （2）过作交于点. 直棱柱中，平面平面，又平面平面，，平面，平面. ，，又为中点，. . . 3．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 4．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证： 平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】（1）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行； （2）取中点，证明，从而得到异面直线与所成的角或其补角，然后由余弦定理求得余弦值，进而求得正弦值. 【详解】（1）连接，与交于点， 则为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面． （2）取中点，连接，、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，， 则， ， 所以直线与夹角的正弦值为. 5．如图，三棱柱中，为中点，为中点. (1)求证：平面 (2)已知平面，求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、求线面角 【分析】（1）由线面平行的判定定理得到平面，平面，由面面平行的判定定理得到平面平面，再由面面平行的性质定理得到平面； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法求得线面角的正弦值. 【详解】（1）取中点M，连接， 在中，由于为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 在平行四边形中，为对边中点，所以 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）因为，所以， 那么以B为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立坐标系，如图所示， 则， 所以 不妨设平面的一个法向量为， 由可得，不妨令，那么， 则， 设为直线CE与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3). 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行、面面平行证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证； （2）由（1）中信息，利用线面平行的性质推理判断； （3）利用等体积法，结合柱体体积公式求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，为中点，连接，由D是的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面； 由，得四边形为平行四边形，， 而，则四边形为平行四边形， 而平面，平面，因此平面， 又平面， 则平面平面，而平面， 所以平面. （2）； 由（1）知平面，而平面平面，平面， 所以. （3）依题意，平面， 则 ， 所以的体积为. （二）存在性问题 7．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【知识点】空间中的点（线）共面问题、证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 9．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 10．如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面 平面. (2)在棱上是否存在一点，使得 平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，理由见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）通过证平面，平面，由线面平行即可证面面平行； （2）由面面平行的判定和性质，结合平行线的性质，即可判定存在性. 【详解】（1）因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又点为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面； （2）存在，， 过作交与，再过作，交于，连接， 则即为所求， 由，所以， 所以， 在直角，， 所以， 所以， 由得， 证明：当时，得， 由平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，平面， ，平面，平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. 11．如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)为边上满足的点，理由见解析 (3) 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、台体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）根据已知条件得到上下底面正方形的边长，再结合侧棱长求出正四棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积即可. （2）当时满足要求，先可证得，再结合线面平行的判定定理即可推出平面. （3）将侧面和侧面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知的最小值就是展开平面中线段的长度，用余弦定理即可计算得结果. 【详解】（1）由题意可知，下底边长 ，上底边长， 上下底面均为正方形，故，， 上下底面中心与同底面各顶点的距离差为： ， 设棱台高为，由勾股定理：，得， 由棱台体积公式可得： . （2）由，,可得， 因为且，故得，则， 如图，若在边上取点，满足，连接, 则因且,故得，则, 故,又因不在平面内，平面,故得平面. 即在边上存在点满足，使得平面. （3）如图将平面沿展开，使平面与平面共面， 因为棱上的动点，的最小值即图中的线段之长. 因，，可得， 则，由余弦定理， 即，故的最小值为. 2、 面面平行 （一）判定：证明面面平行 12．（多选）在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【知识点】判断面面平行、判断线面平行 【分析】根据线线平行、线面平行、面面平行的有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面， 由于平面，所以平面，A选项正确. B选项，连接，根据正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以, 因为分别是的中点，所以， 所以，所以B选项正确. C选项，由于分别是的中点，所以， 由于平面,平面， 所以平面，C选项正确. D选项，由于， ，， 所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误. 13．如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面平行的性质、证明面面平行 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，根据线面平行证明面面平行； （2）根据线面平行的性质证明线线平行. 【详解】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． （2）因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 14．已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】证明面面平行、线面垂直证明线线垂直、空间垂直的转化、线面平行的性质 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 15．如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，． (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面．    【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 16．如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 18．如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面,平面,再根据面面平行的判定定理证明即可； （2）设三棱台的高为，先计算三棱台的体积，再计算三棱锥的体积，从而得几何体的体积，最后求比值即可. 【详解】（1）由题意，,为等边三角形， 故为等边三角形，,, 在三棱台中， 故,且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 又因为,, 且, 所以相似于, 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 因为,平面,平面, 所以平面平面. （2）设三棱台的高为， 则， ， 所以， ， 所以， 所以. 19．如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】棱锥表面积的有关计算、证明面面平行、求线面角 【分析】（1）分别计算底面正方形面积和侧面四个全等三角形的面积，求和即可； （2）利用线面平行的判定定理，通过三角形中位线及平行线分线段成比例定理证明和，进而利用面面平行的判定定理得证； （3）找出点在底面的投影，构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在中，，所以， 又，即，所以 ，所以， 因为平面，平面，所以平面, 因为，平面，所以平面平面． （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以，取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． （二）性质：由面面平行证明线面平行、线线平行 20．如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线线平行 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 21．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、线面平行的性质 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． （三）存在性问题 22．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、空间平行的转化 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得 ，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明 ，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中， 且， 所以，则，同理得， 所以，则 ，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则 且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上， ，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又 ，即 ， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专项练习 一、线面平行 (一)判定：线面平行 1.如图所示，在四棱锥P一ABCD中， PAD=,E是PD的中点 (1)求证：CE//平面PAB: (2)求证：1//AD: M. 空间中平行的判定与性质 底面ABCD为梯形，BCAD,BC=专AD,面PBC∩面 第1页 2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D, BC的中点 (1)证明：AD//平面C1EF: (2)若2AA1=3AB=3,求三棱锥A-C1DE的体积. A B D B 第2页 E,F分别是棱B1C1,AC, 3.如图所示，正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点，Q为侧棱SD的中点 (1)证明：BQ//平面PAC; (2)若E是侧棱SC上靠近点C的三等分点，求证：BE//平面PAC ○ B 、、 C 第3页 4.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形， PA=2,E是侧棱PA的中点. (I)求证：PC‖平面BDE; (2)求直线PB与ED夹角的正弦值 D 第4页 PA与AB,AD分别垂直，垂足为A,且 5.如图，三棱柱ABC-AB:C1中，E为B1C1中点，F为AA1中点 (1)求证：EF//平面AB,C (2)已知AA1⊥平面ABC,AB=3,BC=AA1=4,AC=5,求直线CE与平面AB1C所成角的正弦值； B E C A B A 第5页 6.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，D是AB的中点. (1)求证：BC1平面A1CD; (2)已知E为A1B1中点，己知平面A1CD与平面A1B1C1的交线为1， 明； (3)求A-A1CD的体积. C E B D 第6页 试判断1与C1E的位置关系，并证 (二)存在性问题 7.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为正三角形， PB=PC=3,点E在PB上 (I)若E为中点，求证：PD//平面AEC: (2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值； (3)若PE:EB=2:1,在棱PC上是否存在一点F,使DF//平面AEC?并证明你的结论 A B 第7页 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N,Q分别为BC,PA,PB的 中点 (1)求证：点Q,N,C,D四点共面 (2)求证：平面MNQ//平面PCD (3)在线段PD上是否存在一点E,使得MN//平面ACE?若存在，求出器的值；若不存在，请说明 理由 D B M 第8页 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AB=2, AD=2V3;点E在线段PD上，且PE=1 (1)设平面PBCn平面PAD=,证明：BC//1; (2)证明：AE⊥PC: (3)线段CA上是否存在点M,使得EM//平面PBC?若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在， 请说明理由， ·A B 第9页 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，BC=BD=DC=2W5,AD=AB=PD=PB=2 (I)若点E为PC的中点，M为DC的中点，求证：平面BEM平面PAD (2)在棱PD上是否存在一点F,使得AF//平面PBC?若存在，请求出器的值：若不存在，请说明 理由 E D 第10页 11.如图，在正四棱台ABCD-A1B:C1D1中，AB=3A1B1=6, 且AM=2MB,P为棱BB1上的动点（含端点）. (I)求四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积： (2)在BC边上求一点N,使得A1M//平面C1DN,并说明理由： (3)求AP+PC的最小值. D C A B D M 第11页 AA1=4,M为AB边上一点， 二、面面平行 (一)判定：证明面面平行 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, D C B A.FG/平面AA1DD B.EF//AC C.FG/平面BC1D1 D.平面EFG/平面BC1D1 第1 FG分别是棱ABvB1CBB1的中点，则() 2页 13.如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N 面PAD与平面PBC的交线为1. (I)求证：平面MNQ//平面PAD: (2)求证：BC//1: D 第13页 、Q分别为PC、CD、AB的中点，设平 14.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，E、F、G分别是PC、 PAD与平面PBC的交线为，平面PAD⊥平面ABCD. (1)证明：平面EFG/平面PAB; (2)求证：BC/1; (3)求证：DC⊥PA. D G 第14页 PD、BC的中点，设平面 15.如图，一个圆锥的顶点是P,O是底面的圆心 (1)若∠PA0=号，求该圆锥的体积； (2)若Q是PA中点，C、D是底面圆上两点，∠AC PBD. D D 第1 AB是底面的一条直径，AB=2. C=号，CD‖AB,求证：平面QC0//平面 5页 16.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E为DD1的中点 (1)求证：BD1/平面AEC: (2)取CC1中点F,求证：平面AEC//平面BFD1 (3)求异面直线AE与DB所成角的余弦值 D C A E -- B 第16页 17.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点C 点M是棱A1D1上的一点，且D:M=3A1M (1)求证：D1G/平面DBFE: (2)已知点N是棱AB1上的一点，且B:N=3AN D E M N B G 第1 ,E,F,P分别为棱AB,D1C1,B1C1,AA1的中点， 求证：平面PMN//平面DBFE 7页 18.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AC=2A1C1=2,D为线段 BC上靠近B的三等分点，E为线段B1C1上靠近B1的三等分点. (1)求证：平面A1BE//平面AC1D: (2)求平面AC1D分割三棱台所得的几何体A1B1C1-ABD和C1-ADC的体积之比. C B E.1 B 第18页 19.如图所示，正四棱锥S一ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=V2,P为侧棱SD上的点， 且SP=3PD,2是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且SE=2EC. (I)求正四棱锥S-ABCD的表面积： (2)求证：平面BEQ//平面ACP; (3)求直线BQ与平面ABCD所成角的正切值. S A 第19页 (二)性质：由面面平行证明线面平行、线线平行 20.如图，己知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点. (1)求证：MN//平面PAD: ②)若线段PB上存在一点Q使得平面MNQ/平面PAD,求器的值. M 第20页 21.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD,BC=AD,E是PD的中点. (1)求证：BC//AD: (2)求证：CE//平面PAB; (3)在AD上是否存在点F使得平面CEF//平面PAB,若存在，求出点F的位置并给以证明，若不存 在，请说明理由. M B 第21页 (三)存在性问题 22.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G 点M是棱A1D1上的一点，且MD1=A1D1 (1)求证：D1G//平面DBFE (2)棱A1B1上是否存在一点N使平面PMN//平面 理由 D C B -- G B 第2 E,F,P分别为棱AB,D1C1B1C1AA1的中点， AN DBFE?若存在，求A可的值；若不存在，请说明 2页