精品解析：2026年北京市平谷区中考二模考试数学

北京市平谷区2026年初中学业水平考试统一练习（二） 数学试卷 2026.5 注意事项 1.本试卷共8页，共28题，满分100分，考试时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 我国一些银行的行标设计都融入了对称的知识，下面四个行标中是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心． 2. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴的定义可得，、、的取值范围，分别判断各选项是否正确． 【详解】解：由题干可知，，，， ∴，A错误； ，B错误； ，C正确；，D错误． 3. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则 ， 解得：， ∴这个多边形的边数为8． 故选：D 4. 掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意用列举法，即可求得掷一枚均匀的硬币两次，所有等可能的结果，又由两次均为反面朝上的只有1种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵掷一枚均匀的硬币两次，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， 又∵两次均为反面朝上的只有1种情况， ∴两次均为反面朝上的概率是：． 故选：D． 【点睛】本题考查了用列举法求概率．注意不重不漏的表示出所有等可能的结果是解此题的关键，注意：概率所求情况数与总情况数之比． 5. 关于的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可判断． 【详解】解： ， ， ， 可得 ，即， 方程无实数根． 6. 中国天宫空间站在近地轨道的平均飞行速度约为米/秒，绕地球一圈约90分钟，用科学记数法表示天宫空间站绕地球一圈的行程约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据路程公式：路程速度时间，计算地球周长，先统一时间单位，再计算结果，最后将结果改写为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 90分钟 秒， 天宫空间站绕地球一圈的行程为（米）． 7. 如图，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图，再由三角形外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∵， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是直线与函数（，为常数）的图象的交点，过点作轴的垂线，垂足为点，且．给出下面四个结论： ①； ②已知点，过点作轴的平行线交直线于点，交函数于点，当时，； ③已知点，过点作轴的平行线交直线于点，交函数于点，当时，点在点的上方； ④已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数于点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出代入反比例函数解析式，即可判断①；根据题意画出图形，由，得出代入，即可判断②；根据函数图象可得，当时，点在点的上方，即可判断③，根据题意函数图象可得，当时，点在点的左侧，此时在点的上方，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵轴， ∴的横坐标为， 当时，， ∴， 将代入， ∴， 解得：，故①正确； ②如图所示， 依题意，，， ∴， 当时，，， ∴； ③如图所示，根据函数图象可得，当时，点在点的上方，故③正确； ④如图所示，当时，点在点的左侧，此时在点的上方，则，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②③④． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴被开方数满足， 解得． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得 ， 展开各项，得 ， 移项合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 12. 在平面直角坐标系中，将直线：向左平移1个单位长度，得到直线：，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：将直线：向左平移个单位长度，得到直线的解析式为 ， 又：， ，解得． 13. 如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径． 【详解】解：连接，设正方形边长为， ∵正方形面积为， ∴． ∵正方形内接于， ∴正方形的对角线为的直径． 设半径为r， ． 根据勾股定理，： ∴， 代入， 得 ， 化简得． ∵半径为正数， ∴． 14. 为深入推进健康中国行动，倡导全民健身与科学健身理念，进一步增强青少年体质健康水平，某校积极响应国家号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 若该校有名学生，请你根据以上信息估计该校最喜爱篮球运动的学生有__________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是统计知识的综合应用，灵活运用条形统计图与扇形统计图的信息是解题的关键．根据条形统计图与扇形统计图中足球项目的人数与占比，可先求出抽取的学生总数，再算出样本中篮球项目的人数与占比，进而用样本估计总体，求出全校最喜爱篮球运动的学生人数． 【详解】解：由条形图得抽取的学生中，最爱足球运动的学生有人，由扇形图得，抽取的学生中，最爱足球运动的学生占， 抽取的学生总数为人， 抽取的学生中最喜爱篮球运动的学生有人， 则在该校名学生中，最喜爱篮球运动的学生有人． 故答案为;． 15. 如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质可得 ，，勾股定理求出，由垂直的定义得到，解直角三角形求出，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵矩形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积为． 16. 某工厂需要加工4种零部件，每个零部件必须先经过加工工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条独立的生产线上并行完成，各零部件在两道工序上的所需时间（单位：分钟）如下表所示： 零部件 甲 乙 丙 丁 加工时间 9 4 8 6 组装时间 7 5 3 10 （1）若按零部件顺序甲→乙→丙→丁依次进行加工（即零部件在加工工序上的处理顺序为甲、乙、丙、丁，组装工序在不违反“先加工后组装”的前提下，可按实际完成顺序安排），则全部零部件完成两道工序至少需要__________分钟； （2）若要使全部零部件完成两道工序的总时间最短，则加工工序上的处理顺序应为__________（写出一种即可）． 【答案】 ①. 37 ②. 乙，丁，甲，丙 【解析】 【分析】（1）加工顺序固定，根据先加工后组装，组装线同一时间只能加工一个零部件的规则，依次计算各零部件组装完成时间，即可得到总时间． （2）根据两道工序的最短时间调度规则，将加工时间小于组装时间的零部件按加工时间从小到大排前，加工时间大于组装时间的零部件按组装时间从大到小排后，即可得到总时间最短的加工顺序． 【详解】（1）解:加工顺序为甲→乙→丙→丁，先计算各零部件加工完成时间： 甲加工完成时间：分钟， 乙加工完成时间：分钟， 丙加工完成时间：分钟， 丁加工完成时间：分钟. 组装开始时间取当前零部件加工完成时间与上一零部件组装完成时间的最大值，依次计算组装完成时间： 甲组装完成时间：分钟， 乙组装完成时间的最大值： 分钟， 丙组装完成时间的最大值： 分钟， 丁组装完成时间的最大值： 分钟， 因此第一问总时间为分钟. （2）列出各零部件的加工时间和组装时间： 甲：，，满足， 乙：，，满足， 丙：，，满足， 丁：，，满足， 将满足的零部件按从小到大排序，得到顺序：乙，丁， 将满足的零部件按从大到小排序，得到顺序：甲，丙， 拼接后得到加工组装顺序：乙→丁→甲→丙，该顺序总时间最短，验证得总时间为分钟，符合要求． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ①去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ②去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【详解】解： ∴原式． 20. 已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可知，，，可证 ，根据全等三角形的性质可证四边形是平行四边形，根据，可证四边形是菱形； （2）连接，交于点，设，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得： ， ，由，可以求出，可证 ，根据相似三角形的性质可知，所以可得 ，即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接，交于点， 设， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 21. 学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得 分． 根据题意可列方程为： ． 解得， ∴编程得 （分）， 手工创作得 （分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【解析】 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式以及不等式恒成立问题，熟练运用待定系数法和分类讨论思想分析函数与不等式的关系是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，列方程组求解、的值； （2）先将（1）中求得的、值代入函数解析式，再根据题意列出不等式组，通过对的取值进行分类讨论，结合一次函数的增减性分析不等式恒成立的条件，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 由题意得，当时，可得不等式组， 解①：整理得 ， 当，即时，，随着逐渐增大，无法恒小于一个数，不成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，； 解②：整理得，， 当时，逐渐减小，不成立， 当时，不成立， 当时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，． 23. 如图，为的直径，点为圆上一点，点是的中点，过点作交延长线于点，连结、． （1）求证：是的切线； （2）连结，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连结， ∵点是的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连结，易证，再根据已知可得，即可证明结论； （2）设与交于点，连结，易求，  ，得到，求出，，在中，，求出，证明 ，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与交于点，连结， ∵点是的中点， ， ， ， ， 为的直径， ， 在中，， 设，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 24. 某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … （1）甲组挤出头出料时的出料量为__________； （2）通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2） （3）①9.5 ②4.4 【解析】 【分析】第（1）问：根据“出料量与时间成正比例”，设，用表格数据求出比例系数，再代入计算出料量； 第（2）问：根据乙组表格中的数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接，得到反比例型函数图象； 第（3）问：观察乙组数据，发现，即，代入求； 先根据甲组的正比例函数，求出“出料”所需的时间，再代入乙组的反比例模型，反求挤出头孔径． 【小问1详解】 解：∵出料量与出料时间成正比例函数关系， ∴设与之间的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得：， ∴与之间的函数解析式为， ∴当时，， ∴甲组挤出头出料时的出料量为； 【小问2详解】 在坐标系中，根据表格数据，依次描出点： ，，，，， 再用平滑的曲线，将描出的各点依次连接起来，形成一条从左上向右下逐渐下降的曲线； 【小问3详解】 观察乙组数据， ，，，，， ∴与满足， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． 【点睛】解题核心是先根据变量关系确定函数解析式，再分步代入计算，注意乙组中与成反比例，而非与直接反比例，同时跨组计算时要找准前后关联量，计算时留意小数取值与单位规范． 25. 平谷区教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 志愿服务活动次数频数分布表 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： （1）__________； （2）请补全频数分布直方图； （3）随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； （4）为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 【答案】（1）12 （2） （3）23 （4）乙班、丙班、甲班；25 【解析】 【分析】（1）利用总数减去已知的频数即可求解； （2）根据（1）求得的的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据各组频数，将数据按从小到大排列后，找到第25个和第26个数据即可求解； （4）先计算各班的平均数，根据丙班在三个班级中活跃度排名居中，可得或或，再分别计算方差进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：∵和共有（人），、和共有（人），共抽取了50名学生志愿者， ∴数据按从小到大排列后的第25个和第26个数据是内的第7个和第8个数据，均为23， ∴中位数为． 【小问4详解】 解：甲班平均数为， 乙班平均数为， 丙班平均数为， ∵丙班在三个班级中活跃度排名居中， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或， 当时，丙班平均数为，与甲班平均数相同， ∵甲班的方差为， 丙班的方差为， ∵， ∴甲班优于丙班， ∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、甲班、丙班，不符合题意； 当时，丙班平均数为，与乙班平均数相同， ∵乙班的方差为， 丙班的方差为， ∵， ∴丙班优于乙班， ∴三个班级的排名由前到后依次为丙班、乙班、甲班，不符合题意； 当时，丙班平均数为， ∵， ∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、丙班、甲班，符合题意； 综上所述，． 26. 在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． （1）当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； （2）点，，在该抛物线上，若抛物与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】（1）①二次函数的解析式为；② （2） 理由：令则 ， 解得或， ， ， ， ， ， ， ∵点在该抛物线上， ∴点关于的对称点也在该抛物线上， ∴， ∴， 抛物线的解析式为 ， 则抛物线图象开口向下， ∴当时随的增大而减小， ∵点，，在该抛物线上， ． 【解析】 【分析】（1）①利用二次函数的增减性判断出对称轴为，再代入对称轴公式求出参数，从而得到函数解析式；②将函数解析式配方为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，再结合的条件，比较函数值与的大小关系； （2）先通过解方程求出抛物线与轴的交点，结合交点范围确定参数和对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性，将点转化到对称轴右侧，根据开口向下时对称轴右侧的增减性，比较三点的函数值大小． 【小问1详解】 ①解：已知关于的二次函数，由题意得对称轴为， 可得， 解得， 故二次函数的解析式为． ②解：已知二次函数的解析式为，配方得， 可知抛物线图象开口向下，顶点为， 故当，函数值． 【小问2详解】 略 27. 如图，在中，，，过点作射线，交线段于，，过点作于点，延长到点，使． （1）若，，求的长； （2）连接，交射线于点，为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ①如图所示； ②，证明：如图，过点作于，过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）因为是等腰直角三角形且，所以先得出的长度；因为，是直角三角形，已知的值，所以结合勾股定理可求出的长度，又因为，即可得到的长． （2）①依据题干描述的点的位置、连线关系补全图形即可． ②首先证明和全等，得到对应角相等，进而推出；如果M是中点，可过点作于，过点作交于，结合线段的和差关系推导与的数量关系． 【详解】解：， ， 在中： ， 设 ， ． ， 根据勾股定理： ，即， 解得（）， ． ． （2）①如图所示； ②， 证明：如图，过点作于，过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ． 28. 定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． （1）以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， （2）在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； （3）在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“切端点”定义可得，满足点是半径为的的“切端点”则，据此逐个判断即可； （2）设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为，则，，，，，再根据“切端点”定义可得，，得到解得； （3）先求出，，则，，，设边上的高为，，设点是线段上任意一点，则，根据“切端点”定义可得，，即可得到，解得． 【小问1详解】 解：根据“切端点”定义可得，，，与相切， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得最小值为， 即满足点是半径为的的“切端点”则， ∵半径为2的， ∴，， 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 对于，，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，满足，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 综上所述，是半径为2的的“切端点”的有，； 【小问2详解】 解：设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 在（1）的条件下，若直线上存在半径为2的的“切端点”，即直线上存在点，满足， ∴时，会存在在点，满足， 解得； 【小问3详解】 解：令得到，令得到，解得， ∴直线与轴交点，与轴交点， ∴，， ∴ ， 设边上的高为， ∴ ， ∴， 即到直线的距离为， 设点是线段上任意一点，则最小值为，最大值为， ∴， ∵线段上的所有点都是的“切端点”， ∴线段上的任意一点满足， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市平谷区2026年初中学业水平考试统一练习（二） 数学试卷 2026.5 注意事项 1.本试卷共8页，共28题，满分100分，考试时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 我国一些银行的行标设计都融入了对称的知识，下面四个行标中是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 3. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是    A. B. C. D. 5. 关于的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 中国天宫空间站在近地轨道的平均飞行速度约为米/秒，绕地球一圈约90分钟，用科学记数法表示天宫空间站绕地球一圈的行程约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是直线与函数（，为常数）的图象的交点，过点作轴的垂线，垂足为点，且．给出下面四个结论： ①； ②已知点，过点作轴的平行线交直线于点，交函数于点，当时，； ③已知点，过点作轴的平行线交直线于点，交函数于点，当时，点在点的上方； ④已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数于点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 分解因式：______． 11. 方程的解为__________． 12. 在平面直角坐标系中，将直线：向左平移1个单位长度，得到直线：，则__________． 13. 如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 14. 为深入推进健康中国行动，倡导全民健身与科学健身理念，进一步增强青少年体质健康水平，某校积极响应国家号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 若该校有名学生，请你根据以上信息估计该校最喜爱篮球运动的学生有__________人． 15. 如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为__________． 16. 某工厂需要加工4种零部件，每个零部件必须先经过加工工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条独立的生产线上并行完成，各零部件在两道工序上的所需时间（单位：分钟）如下表所示： 零部件 甲 乙 丙 丁 加工时间 9 4 8 6 组装时间 7 5 3 10 （1）若按零部件顺序甲→乙→丙→丁依次进行加工（即零部件在加工工序上的处理顺序为甲、乙、丙、丁，组装工序在不违反“先加工后组装”的前提下，可按实际完成顺序安排），则全部零部件完成两道工序至少需要__________分钟； （2）若要使全部零部件完成两道工序的总时间最短，则加工工序上的处理顺序应为__________（写出一种即可）． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 21. 学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 23. 如图，为的直径，点为圆上一点，点是的中点，过点作交延长线于点，连结、． （1）求证：是的切线； （2）连结，若，，求的长． 24. 某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … （1）甲组挤出头出料时的出料量为__________； （2）通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 25. 平谷区教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 志愿服务活动次数频数分布表 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： （1）__________； （2）请补全频数分布直方图； （3）随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； （4）为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 26. 在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． （1）当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； （2）点，，在该抛物线上，若抛物与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 27. 如图，在中，，，过点作射线，交线段于，，过点作于点，延长到点，使． （1）若，，求的长； （2）连接，交射线于点，为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②猜想与的数量关系，并证明． 28. 定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． （1）以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， （2）在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； （3）在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $