2026年中考数学二轮专题复习 逆等线模型

**基本信息** 聚焦逆等线模型的双动点线段和最小值问题，以SAS构造全等转化线段为核心方法，形成“模型判断-全等构造-线段转化-最值求解”的系统性解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与思路|1|双动点+首尾等线段条件下，SAS构造全等转化线段|模型定义→全等构造原理→将军饮马迁移| |基础例题|2（三角形、直角三角形）|作平行线/构造定长线段实现全等，转化为两点间线段最短|特殊图形中模型应用，强化构造技巧| |综合例题|1（矩形）|构造等角+定长线段证全等，结合坐标/相似计算|复杂图形中模型变式，提升综合推理能力|

逆等线模型 一、逆等线模型的定义 一般情况下，题目中满足以下两个条件，即可使用逆等线模型： 1. 双动点：存在两个动点（如点 D、E；点 E、F 等）。 2. 首尾相连的等线段：题目中给出 “AD=CE”“AE=BF”“AE=CF” 这类首尾相连的等长条件。 核心解决思路： 利用题目给出的等线段条件，通过 SAS 构造全等三角形，将要求和的两条线段 “拼接” 到一起，转化为我们熟悉的 “将军饮马”（两点之间线段最短）问题，从而求出最小值。 二、基础例题讲解 三角形中的逆等线模型 例 1：如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=8，AC=10，点 D，E 在 AB，AC 边上运动，且 AD=CE，则 CD+BE 最小值为?A B C D E 解题步骤： 1. 判断模型：双动点 E 和 D，且 AD=CE，符合逆等线模型。 2. 构造全等：过点 C 作 CF∥AB，截取 CF=AC，构造△CEF≌△ADC（SAS）。 · 条件：CE=AD（已知），∠ECF=∠DAC（由 CF∥AB 可得），CF=CA（构造）。 3. 转化线段：由全等得 EF=CD，因此 CD+BE=EF+BE。 4. 求最小值：此时 B、F 为定点，E 为动点，根据两点之间线段最短，连接 BF，BF 的长度即为 CD+BE 的最小值。 · 已知∠ABC=60°，可推出∠BCF=120°，通过作高 BM⊥CF，利用勾股定理计算得 BF= A B C D E A B C D E F A B C D E F M A B C D E F 解：如图，过点C作CF//AB截取FC=AC,过点B作BM⊥FC于点M，连结BF ∴ ∵CE=AD ∴ ∴FE=CD ∴ ∵∠ABC=60°，BC=8，BM⊥FC ∴, ∵AC=10 ∴FC= AC=10, FM=FC+CM=14 在中, 直角三角形中的逆等线模型 例 2：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，点 E，F 是线段 AB 上动点，且满足 AE=BF，连接 CE，CF，则 CE+CF 最小值为______。 A B C E F A B C E F D 解题步骤： 1. 判断模型：双动点 E 和 F，且 AE=BF，符合逆等线模型。 2. 构造全等：过点 B 作 BD∥AC，截取 BD=AC，构造△BDF≌△ACE（SAS）。 · 条件：AE=BF（已知），∠FBD=∠CAE（由 BD∥AC 可得），BD=AC（构造）。 3. 转化线段：由全等得 DF=CE，因此 CE+CF=DF+CF。 4. 求最小值：此时 C、D 为定点，F 为动点，根据两点之间线段最短，连接 CD，CD 的长度即为 CE+CF 的最小值。 A B C E F D 解：如图，过点B作BD//AC截取BD=AC,连结AD ∴ ∵AE=BF ∴ ∴CE=DF ∴ ∵BD//AC，BD=AC ∴四边形ADBC是平行四边形 ∵∠ACB=90° ∴四边形ADBC是矩形 ∴DC=AB=10 综合例题 例3：矩形 ABCD 中，AB=20，BC=15，动点 E，F 分别在边 AC、DC 上，且始终保持 AE=CF，当 BE+BF 取得最小值时，则 AE 的长为_____。A C B D E F 解题步骤： 1. 判断模型：双动点 E 和 F，且 AE=CF，符合逆等线模型。 2. 构造全等：作∠FCG=∠EAB，截取 CG=AB，构造△CGF≌△ABE（SAS）。 · 条件：AE=CF（已知），∠FCG=∠EAB（构造），CG=AB（构造）。 3. 转化线段：由全等得 GF=BE，因此 BE+BF=GF+BF。 4. 求最小值：此时 B、G 为定点，F 为动点，根据两点之间线段最短，连接 BG，BG 与 CD 的交点即为 F 点，此时 BE+BF 最小。 5. 计算 AE 长度：过点 G 作 GI⊥CD 于 I，利用 ，可求得 IG=12，IC=16，再通过 “8” 字相似即可算出 CF 的长度，即 AE 的长度。 A C B D E F G A C B D E F G I A C B D E F G I 解：如图，作∠FCG=∠EAB，截取 CG=AB, 过点G作GI⊥DC于点I ∵AE=CF ∴ ∴BE=GF ∴ ∵矩形 ABCD 中，AB=20，BC=15 ∴ 在中,令,则 ∵,即, 解得： ∴ ∵ ∴ ∴，即, 解得： ∴ 三、进阶练习题 1.菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=3，E，F 分别是 AD，BD 上两个动点，且 BF=DE，连接 AF，CE，则 AF+CE 最小值为____，此时∠BAF=____。A C D B E F 答案： ；60° 2.在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别是边 AB，CD 边上动点，且 AE=CF，则 BF+CE 的最小值为______。A C B D E F 答案： 3.如图，AD 是等边△ABC 的高，AB=，E，F 分别为线段 AD，AC 上的动点，且 AE=CF，则 BF+CE 最小值为______。C A B D E F 答案： 4. 在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，点 M，N 分别为 BC，AC 上的动点，且 AN=CM，AB=，当 AM+BN 的值最小时，CM 的长为______。A B C M N 答案： 5. 在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，点 E，F 分别是边 BC 和对角线 BD 上动点，且 BE=DF，则 AF+AE 的最小值为______。 A C B D E F 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $