精品解析：广东广州市铁一中学2026届高三适应性考试数学试题

2026年广州市铁一中学高三适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求得. 1. 已知，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“数据a，，，，的极差为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 为虚数单位，则 A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出得选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 随机变量，当最大，则的取值为3 B. 以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是，0.3 C. 已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为2.2 D. 若，，则事件，相互独立 10. 已知点在曲线上，，则（ ） A. 点不可能在第三象限 B. 点可能在直线上 C. 当点在第一象限时，的最小值为 D. 当直线与曲线有两个交点时，的取值范围为 11. 一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，以此类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 13. 盒子中有1个红球，2个黄球，3个白球，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和白球）的概率为________． 14. 将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来.例如，将十进制数5转化成二进制数：，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：，即十进制数13转化成二进制数为1101.记为十进制中正整数的二进制表示中数字1的个数，例如，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，. （1）求； （2）若，求四边形的面积. 16. 设函数. （1）当时，求在区间上的极值； （2）证明：存在，使在处的切线经过原点. 17. 已知平行四边形内接于椭圆，且平行四边形的面积为．直线，的方程分别为，． （1）若，求直线的方程； （2）证明：为定值． 18. 已知正方体的棱长为2，点分别为上下底面的中心，圆锥的顶点为，圆锥底面为正方形的内切圆，为中点，如图所示． （1）设点Q在圆锥的底面圆周上运动． （ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值； （ⅱ）若，证明：平面． （2）设平面和圆锥侧面的公共点构成集合，若，求PM的最小值． 19. 2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） （2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州市铁一中学高三适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求得. 1. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则. 2. 已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 3. 已知，则“”是“数据a，，，，的极差为4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，数据为1,2,3,4,5，极差为，所以“”是“数据，，，，的极差为4” 的充分条件； 数据，，，，的极差为4，则，解得，所以“”是“数据，，，，的极差为4”的不必要条件； 因此“”是“数据，，，，的极差为4”的充分不必要条件. 4. 在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的基本定理求解即可. 【详解】∵点M是边的中点，， 又，，即， ． 5. 已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合是钝角三角形，则需为钝角，从而得到不等式，求出答案 【详解】的圆心为，半径为2， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆无交点，不合要求，舍去； 设直线，要使得是钝角三角形，则需为钝角， 则圆心到直线的距离， 其中，即，故， 解得，其中，解得，只有B满足要求. 6. 为虚数单位，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数，进而即可求解答案. 详解：由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数， 设， 两边同乘可得： 两式相减可得 所以，故选C. 点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数公式可得，再求和并结合二项式系数的性质求出，然后赋值即得. 【详解】依题意， ， 则 ， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：正确掌握并运用组合数公式及阶乘的运算性质是解决本题的关键. 8. 已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的中心对称性可得原函数的轴对称性，再结合指对数运算，进行估值可得，最后利用单调性即可作出判断. 【详解】由指数式化对数得：， ， ， 所以可得大小关系：， 已知：在上单调递增，且是奇函数， 由奇函数性质可得：， 即关于中心对称，则， 又因为单调递增：所以当时，，则在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增； 即在处取得最小值， 再由导函数关于中心对称，可得原函数关于直线对称， 所以自变量距离越远，越大， 因为，， 所以，即 因此函数值大小为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出得选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 随机变量，当最大，则的取值为3 B. 以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是，0.3 C. 已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为2.2 D. 若，，则事件，相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】使用二项分布概率公式分析选项，使用线性回归方程及残差的定义分析选项，使用全概率公式和条件概率公式分析选项. 【详解】， 由，解得， 由，解得， 又因为，且，所以，选项正确； 已知，两边取自然对数得，令，则， 因为变换后的线性方程为，所以，，即，选项正确； 已知关于的回归方程为，当时，， 而样本数据点为，则残差，选项错误； 已知，，由条件概率公式， 则，即， 所以，即， 则事件，相互独立，选项正确. 10. 已知点在曲线上，，则（ ） A. 点不可能在第三象限 B. 点可能在直线上 C. 当点在第一象限时，的最小值为 D. 当直线与曲线有两个交点时，的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】当时，可得曲线的方程，分析可判断A的正误；将与曲线联立，分析可判断B的正误；当点在第一象限时，可得点的方程，根据椭圆的定义，分析求解，可判断C的正误；分别求出曲线在各个象限内的方程，联立求解，结合双曲线的渐近线的性质，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：当时，方程为，即，无实数根，故A正确； 选项B：若点在直线上，则， 与曲线W联立得，整理得，无实数根，故B错误； 选项C：当时，方程为，整理得， 则，所以， 则点A为左焦点，设右焦点为F， 由椭圆的定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，故C正确； 选项D：当时，方程为， 与联立，得， 由判别式，解得， 当时，，解得，不符合题意，（舍去） 当时，，解得，，符合题意； 所以当直线与曲线在第一象限有两个交点时，； 当时，方程为，渐近线方程为，（舍去） 当时，方程为，渐近线方程为，（舍去）， 综上，若要直线与曲线有两个交点，的取值范围为，故D错误. 11. 一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，以此类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先建立坐标系得到球心坐标与半径的关系，推导半径的递推公式，再结合等比数列性质分析各选项. 【详解】建立空间直角坐标系，将棱长为的正方体放置在第一象限，设球的球心坐标为. 为正方体的内切球， ，球心坐标为. 对于A选项： 球与球外切， ∴两球心距离等于半径之和，即， ∴，解得，故A正确. 对于B选项： 对任意，球与球外切，同理两球心距离为， 整理得，为常数， ∴数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确. 对于选项： 等比数列的前项和， ∵， ∴，故，即，故C错误， 对于D选项： 球的体积，∵是公比为的等比数列，∴是公比为的等比数列， 体积和， ∵， ∴， 计算得， ， 代入得， 故，D正确. 【点睛】方法归纳：对于正方体内与三个相邻面相切的球，其球心坐标可表示为，利用两球外切时球心距等于半径和建立递推关系，转化为等比数列问题求解。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭的性质结合韦达定理，或将已知根代入方程利用复数相等的充要条件，即可求解的值。 【详解】方法一：由实系数一元二次方程的虚根性质可知，方程的两个虚根互为共轭复数， 已知是方程的一个根，则另一根为， 根据韦达定理，对于方程，两根之积等于常数项， 因此. 方法二：将代入方程，得：  ， 展开并整理得，即， 因为为实数，根据复数相等的充要条件，可得方程组：  ， 解得. 13. 盒子中有1个红球，2个黄球，3个白球，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和白球）的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合排列组合计数问题求出古典概率. 【详解】依题意，黄球最先被全部取出时，可以取2次球，也可取3次球，还可取球4次， 若取球2次，黄球最先被全部取出的概率； 若取球3次，黄球最先被全部取出的概率； 若取球4次，黄球最先被全部取出的概率， 所以所求概率为. 故答案为： 14. 将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来.例如，将十进制数5转化成二进制数：，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：，即十进制数13转化成二进制数为1101.记为十进制中正整数的二进制表示中数字1的个数，例如，则__________. 【答案】192 【解析】 【分析】根据表示都可以表示成6为二进制数，然后分析1出现的次数即可. 【详解】因为表示成二进制为， 所以表示都可以表示成6为二进制数，不足6位在前面补0， 将表示成6为二进制数是，每个数位出现0和1的次数一样， 所以每个位上出现1的次数为，所以6个数位上共出现次1， 又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，. （1）求； （2）若，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，再结合二倍角公式即可求解； （2）先由平方关系以及差角公式求出，再由正弦定理求出，进而由三角形面积公式得出四边形的面积． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理可得，所以， 再由正弦定理，可得， 又因为为的角平分线，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 中，，，， 所以， 从而 ， 由正弦定理可得， 而 . 16. 设函数. （1）当时，求在区间上的极值； （2）证明：存在，使在处的切线经过原点. 【答案】（1）极小值，极大值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值； （2）先设切点进而得出切线方程，再应用切线过原点及切线是在处的切线计算求参，即可证明. 【小问1详解】 当时，，. 令，在区间内解得，0，. 故当时，；当时，；当时，； 故在处取得极小值， 在处取得极大值. 【小问2详解】 ，. 设切点为，切线方程为. 由于切线过原点，故，即. 代入得. 取，代入得， 此时，切点, 故时切线为，使在处的切线经过原点. 故存在满足条件. 17. 已知平行四边形内接于椭圆，且平行四边形的面积为．直线，的方程分别为，． （1）若，求直线的方程； （2）证明：为定值． 【答案】（1）或 （2）由已知关于原点对称，设，，， 由直线的斜率存在，易知， 又点都在椭圆上，故， 两式相减，得，得， 因此，. 【解析】 【分析】（1）由对称性，得的面积，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出，结合点到直线的距离公式求出高，最后利用三角形面积公式列出方程，即可得解； （2）设出点，根据点两点均在椭圆上，运用点差法，得到，再结合，即可得解. 【小问1详解】 由椭圆的对称性可得，故的面积. 当时，直线的方程为，设，， 联立，整理得， 则有，， 则弦长 ， 又点到直线的距离， 故， 整理得 ，得或，解得或， 故直线的方程为或. 【小问2详解】 略 18. 已知正方体的棱长为2，点分别为上下底面的中心，圆锥的顶点为，圆锥底面为正方形的内切圆，为中点，如图所示． （1）设点Q在圆锥的底面圆周上运动． （ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值； （ⅱ）若，证明：平面． （2）设平面和圆锥侧面的公共点构成集合，若，求PM的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用平面可得，可求出的值，从而得出直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值 （ⅱ）根据勾股定理可求得，利用线面平行的判定定理可证明平面平面，再利用平面与平面平行的性质即可得证. （2）以为原点，建立如图坐标系，设，由在圆锥侧面上可转化为与的夹角余弦值为，利用向量法求出平面的法向量，结合即可求出的最小值，从而得解. 【小问1详解】 （ⅰ）解：由于平面，所以为平面的法向量， 设直线和平面所成角为，则， 因为平面， 所以直线和平面所成角的正弦值为． （ⅱ）证明：因为， 因为圆锥底面圆的半径，所以， 所以，结合可知共线．所以平面． 下面证明平面平面， 由于，结合平面，平面， 所以平面，由于，显然， 所以为平行四边形，所以， 结合平面，平面，所以平面， 由于为平面中的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 以为原点，建立如图坐标系，此时，，，，， 设，则在圆锥侧面上，的夹角余弦值为， 即①， 设平面的法向量为，由， 在平面上 ②，，结合①②可得， ， 取等条件，所以的最小值为． 19. 2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） （2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大. 【解析】 【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可； （2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算； （ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值. 【小问1详解】 根据直方图可得，， 由题知，，则， 等品的质量指标值不小于， 即. 【小问2详解】 （ⅰ）指标值在和的总件数为， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是. ，， ，， 分布列为： . （ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品， 由题知，， 由（1）知，等品的概率为， 则，于是， ， 记， 则， 则递增， 递减， 故当时利润最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $