专题04 图形的平移与旋转 （期末复习知识清单）（22大题型2易错2方法）数学新教材青岛版八年级下册

专题04 平移与旋转 知识点01 平移的概念 1、平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. 3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. 知识点02 平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 【注意】 1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小； 2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只要是按直线方向即可. 3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分. 知识点03 平移的作图 1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. 2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 知识点04 旋转的相关概念 1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. 温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. 知识点05 旋转的性质 1、旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． 2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点06 旋转作图 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 知识点07 中心对称及相关概念 中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为 180°； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 【注意】 （1）中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是180°； （2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系； （3）成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定 对称中心两侧或与对称中心重合. 知识点08 中心对称的性质 1、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与 对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【注意】 （1）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. 2、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 3、中心对称与轴对称的异同 轴对称 中心对称 1 有一条对称轴——直线 图形绕中心旋转——点 2 图形沿轴折叠（翻转180°） 图形绕中心旋转180° 3 折叠后两个图形重合 旋转后两个形重合 知识点09作已知图形关于某一点对称的图形 作图步骤： （1） 确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2） 确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3） 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 知识点10 中心对称图形 1、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). 2、中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. 3、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 知识点11 关于原点对称的点的坐标 1、关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 2、关于坐标轴对称的点的坐标特点 点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为 P′(a，－b)， 点 P(a，b) 关于 y 轴对称的点的坐标为 P′(－a，b). 简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”. 3、作关于原点对称的图形的常用步骤： (1) 写出图形顶点坐标； (2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标； (3) 描点； (4) 顺次连接； (5) 下结论. 【题型一】平移的概念 【典例1】（2025春•西湖区校级期中）动画电影爆火后，不少同学对于动画设计有了学习兴趣，下列选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（　　） A． B． C．D． 【考点】利用平移设计图案．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】根据平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小进行判断，即可得到答案． 【解答】解：A．左边图案通过平移变换无法得到右边图案， 故该选项不符合题意； B．右边图案是左边图案旋转得到的，不符合平移性质， 故此选项不符合题意； C．左边图案与右边图案形状、方向与大小没有改变，符合平移性质， 故此选项不合题意； D．右边图案是左边图案旋转得到的，不符合平移性质， 故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了利用平移设计图案，解答本题的关键是熟练掌握平移的性质． 【变式1-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可． 【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质， ∴只有C选项的图形是通过平移得到， ∴C选项符合题意， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列运动属于平移的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的定义，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，掌握平移成为解题的关键． 根据平移的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．放飞风筝过程中，风筝的形状和方向会发生变化，不属于平移，不符合题意； B．拉出抽屉，抽屉沿着一定方向做相同距离的移动，属于平移，符合题意； C．转动方向盘，方向盘是绕着中心做旋转运动，不属于平移，不符合题意； D．荡秋千，秋千做的是圆弧摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意． 故选B． 【变式1-3】下列车标，可看作图案的某一部分经过平移所形成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小，不可旋转与翻转，依次判断即可． 【详解】可看作图案的某一部分经过平移所形成的是D选项所示图形， 故选D． 【点睛】此题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而导致错选． 【题型二】利用平移的性质进行计算 【典例2】（2025•碑林区校级三模）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3cm，EF＝7cm，则阴影部分的面积为（　　） A．16cm2 B．12cm2 C．11cm2 D．8cm2 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】C 【分析】由平移的性质可知BC，BE＝AD＝2，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH，S阴影＝S直角梯形BEFH，最后根据面积公式得出答案． 【解答】解：∵将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF， ∴BC＝EF＝7，BE＝AD＝2，∠DEF＝∠B＝90°， ∴BH＝BC﹣CH＝7﹣3＝4． ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键． 【变式2-1】（2025秋•浦东新区校级月考）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．如果AA′＝1，那么A′D的长为　 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】3． 【分析】先证明△DA′E∽△DAB，再利用相似三角形的性质求得A'D便可． 【解答】解：如图， ∵S△ABC＝16，S△A'EF＝9，且AD为BC边的中线， ∴S△A'DES△A'EF＝4.5，， ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'， ∴A'E∥AB， ∴△DA'E∽△DAB， ∴（）2，即， 解得A'D＝3或（舍）， 故答案为：3． 【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 【变式2-2】如图，直角三角形DEF是直角三角形ABC沿BC平移得到的，如果，，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】24 【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可AB= DE，，然后求出HE，再求出梯形ABEH的面积即为阴影部分的面积． 【详解】解：∵Rt△ABC沿BC方向平移得到Rt△DEF， ∴， ， ∴阴影部分面积=梯形ABEH的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分面积=； 故答案为：24． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质并判断出阴影部分面积=梯形ABEH的面积是解题的关键． 【变式2-3】（2025秋•乐清市校级期中）如图，点C，D在线段AQ上，射线DP⊥CQ，连结PC，PQ，将△PCQ沿着QC边向左平移得△BAC，记AB的长为m，CB的长为n．若AC＝4，AD＝5，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．mn B．m﹣n C．m2+n2 D．m2﹣n2 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】D 【分析】根据平移的性质进行判断即可． 【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M， 由平移可知， PC＝AB＝m，AC＝CQ，BM＝PD，AM＝CD． 因为AC＝4，AD＝5， 所以CD＝5﹣4＝1． 在Rt△PCD中， PD2＝PC2﹣CD2＝m2﹣1． 因为CM＝4﹣1＝3， 则在Rt△BCM中， BM2＝BC2﹣CM2＝n2﹣9， 所以m2﹣1＝n2﹣9， 则m2﹣n2＝﹣8， 即m2﹣n2的值不变． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 【题型三】利用平移解决实际问题 【典例3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 【变式3-1】（2025•雨花区校级开学）参考附图，一张面积225平方厘米的正方形纸被剪去一部分，剩下图形的任何两条邻边皆成直角．现在图形的周长是　　 厘米． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】60． 【分析】根据正方形的面积结合15×15＝225可得正方形的边长为15厘米，再根据平移的性质，现在图形的周长是被裁剪前正方形的周长，即可求解． 【解答】解：∵一张面积225平方厘米的正方形纸被剪去一部分，15×15＝225， ∴正方形的边长为15厘米， 如图，由平移的性质，现在图形的周长是被裁剪前正方形的周长， 则现在图形的周长是4×15＝60（厘米）． 故答案为：60． 【点评】本题考查了平移的性质，正方形的面积，解决本题的关键是掌握平移的性质． 【变式3-2】如图，在由小正方形组成的网格图中，有a，b两户家用电路接入电表，则两户电路接点与电表接入点之间所用电线（    ） A．两户一样长 B．a户较长 C．b户较长 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据平移的性质进行求解即可 【详解】解：如图所示，将b家庭的电路中的平移到，段平移到，段平移到，段平移到，这样a家庭的电路就可以由经过平移后的b家庭的电路平移得到， ∴两户电路接点与电表接入点之间所用电线一样长， 故选A． 【点睛】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解答此题的关键． 【变式3-3】如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小明沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．100米 B．98米 C．96米 D．94米 【答案】C 【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是矩形风景欣赏区，长米，宽米， 则小明从出口到出口所走的路线长为（米）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 【题型四】 点在坐标系中的平移 【典例4】若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 由点在x轴上，可得，则，再根据平移的性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 【变式4-1】将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　 　． 【答案】（﹣6，﹣2）． 【分析】根据点Q在x轴上，得到m+6＝0，计算即可． 【详解】解：∵P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点， ∴Q（m，m+6）， ∵点Q在x轴上， ∴m+6＝0，解得：m＝﹣6， ∴点P（﹣6，﹣2）， 故答案为：（﹣6，﹣2）． 【点睛】本题考查了点的平移，根据上加下减平移规律得到平移坐标，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【变式4-2】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（-6，7）、（-3，0）、（0，3）． (1)画出△ABC； (2)在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′（5，4），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点 A′的坐标 ； (3)P（-3，m）为△ABC 中一点，将点P 向右平移4个单位后，再向下平移7个单位得到点Q（n，-3），则 m＝ ，n＝ ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，A′（﹣1，8） (3)4，1 【分析】（1）在坐标系中找到A、B、C的位置，即可作图解答； （2）将C点向右平移5个单位，再向上平移一个单位即可得到，按相同的轨迹找到、，即可解答； （3）根据平移的性质，再结合P、Q两点的坐标即可分别求出m、n． （1） 如图，△ABC即为所求； （2） 如图，△A′B′C′即为所求，A′（﹣1，8）； （3） ∵P(-3,m)为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移7个单位得到点Q(n,-3)， ∴n=﹣3+4=1，m-7=﹣3， ∴n=1，m=4． 故答案为：4，1． 【点睛】本题主要考查了作图---平移变换，熟知图形的平移不变性的性质是解答此题的关键． 【题型五】图形在坐标系中的平移 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，将△ABC平移得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若，，，则B与的距离为______． 【答案】 【分析】由平移的性质知，由两点间距离公式求出，即可得到B与的距离． 【详解】解：∵△ABC平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B与的距离为． 故答案为： 【点睛】此题考查了平移的性质和两点间距离公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，已知是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点，将沿x轴正方向平移得到，若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，求出点B的坐标，再结合即可求出点E的坐标，从而知道平移的方向，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴， ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵E是点B沿x轴向右平移得到的点， ∴点E的纵坐标为2， 将代入中，得， ∴点， ∴点E是点B向右平移4个单位长度得到的， ∴点D也是点A向右平移4个单位长度得到的， ∴点，即点， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的性质，求出平移的方向是解题关键． 【变式5-3】如图，的顶点，，，若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点是． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)求的面积，并说明对应点的连线之间有什么位置关系. 【答案】(1)作图见解析； (2) (3)9.5； 【分析】（1）先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后连线，再确定点的坐标即可； （2）由平移的性质即可求解； （3）利用面积的和差关系求解，连接，，，根据平移的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即所得；点的坐标为：． （2）解：先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， ∴点的坐标为：． （3）解：由题意可知，， 如图所示，连接，，， 根据平移的性质得：． 【点睛】本题考查了作图−平移变换，平面直角坐标系中点的坐标以及平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【题型六】平移作图 【典例6】（2025秋•滁州期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．若点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（﹣2，0）． （1）请在图中画出平面直角坐标系xOy； （2）把△ABC先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点B的对应点B1的坐标． （3）求（2）中△A1B1C1的面积． 【考点】作图﹣平移变换．版权所有 【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】（1）平面直角坐标系xOy，如图1即为所求； （2）△ABC先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△A1B1C1，如图2即为所求； B1（﹣4，﹣4）； （3）5． 【分析】（1）根据已有点的坐标，画出直角坐标系即可； （2）根据平移规则，画出△A1B1C1，进而写出点B1的坐标即可； （3）借助网格求面积即可． 【解答】解：（1）平面直角坐标系xOy，如图1即为所求； （2）△ABC先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△A1B1C1，如图2即为所求； 由图可知：B1（﹣4，﹣4）； （3）△A1B1C1的面积为． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式6-1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，三角形中任意一点，经平移后其对应点为，将三角形作同样平移得到三角形． (1)请写出各顶点的坐标，并画出平移后的图形； (2)求出的面积． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了图形的平移，割补法求面积． （1）先根据平移前后点的坐标求出平移后点的坐标，再作出平移后的图即可； （2）根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：∵三角形中任意一点，经平移后其对应点为， ∴三角形向右平移两个单位，再向下平移三个单位得到三角形， ∵， ∴， 即， 则三角形如图所示： （2）解： ． 【变式6-2】（2025秋•池州期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的△A′B′C′； （2）图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数是　　 ．（点P异于点A） 【考点】作图﹣平移变换．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】（1） ； （2）4． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，依次连接即可； （2）利用等高模型作出点P即可． 【解答】解：（1）将△ABC向左平移2格，再向上平移4格，画出平移后的△A′B′C′，如图： （2）如图，点P异于点A，则满足条件的点P的个数为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． 【变式6-3】对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“﹣1型平移”．已知点和点． (1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为　 　． (2)①将线段进行“﹣1型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是　 　． ②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是　 ． (3)知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，画图、观察、归纳可得，当的取值范围是　 　时，的最小值保持不变． 【答案】(1)； (2)，或； (3)． 【分析】（1）根据“1型平移”的定义求解即可； （2）①画出线段即可求解；②根据定义求出t的最大值，最小值即可； （3）观察图象可知：当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为． 【详解】（1）解：由“1型平移”的定义可知：的坐标为； （2）解：①如图所示，观察图象可知：将线段进行“﹣1型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是； ②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是或； （3）：如图所示： 观察图象可知：当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时． 【点睛】本题考查平移变换，“t型平移”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题． 【题型七】旋转中的相关概念 【典例7】下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到． 故选：C 【变式7-1】如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可. 【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键． 【变式7-2】如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据图示进行分析解答即可． 【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转， 故选B． 【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答． 【变式7-3】下列运动属于旋转的是（ ） A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．温度计中，液柱的上升或下降 【答案】B 【分析】根据旋转的定义对各项依次判断即可解答. 【详解】选项A，滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转； 选项B，钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转； 选项C，气球升空的运动是平移，不属于旋转； 选项D，温度计中，液柱的上升或下降，属于平移，不属于旋转． 故选B． 【点睛】本题考查旋转的概念，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【题型八】旋转中心的确定 【典例8】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，线段绕一点旋转后得到线段，点A旋转到了点，则旋转中心为（    ） A．点C B．点D C．点E D．点F 【答案】B 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握旋转性质，平行四边形性质 ，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质，是解题的关键． 根据四边形和四边形是平行四边形，得点P，Q分别是在中点．由，得点M，N分别在的垂直平分线上．得，得，得，得，即得D是旋转中心． 【详解】解：连接， 取点G，H，I，M，N， 连接分别交于点P，Q， 作射线， 射线过点D， ∴点D为旋转中心． 故选：B． 【变式8-1】如图， 在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度得到， 则旋转中心是点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心 【详解】解：如图，连接，，可得其垂直平分线相交于点P， ∴旋转中心是点P， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键． 【变式8-2】如图，两个全等正方形和，旋转正方形能和正方形重合，则可以作为旋转中心的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，旋转的性质，可得以及的中点，可以作为旋转中心，据此即可求解． 【详解】解：依题意，以及的中点，可以作为旋转中心 故选：C． 【点睛】本题考查了找旋转中心，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式8-3】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】连接、，分别作、的垂直平分线，两者的交点就是旋转中心． 【详解】解：如图，由旋转可知： 和为对应点，和为对应点， 连接、，作、的垂直平分线， 可得：点B为旋转中心， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，根据对应点连线的平分线的交点即为旋转中心解答，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型九】 求旋转图形中相关角度的大小 【典例9】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理，是解题的关键．根据平行线的性质求出，再根据，求出最小的旋转角即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴扇叶至少旋转． 故选：A． 【变式9-1】．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角为（    ） A．75° B．60° C．45° D．15° 【答案】B 【分析】根据题意可知旋转角为，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：△ABD经旋转后到达△ACE的位置，△ABC是等边三角形， 旋转角为， 故选B 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，找旋转角，找到旋转前后对应的线段所产生的夹角即为旋转是解题的关键． 【变式9-2】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， 又 ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式9-3】如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点逆时针旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转的角度可能是(　　) A．45° B．60° C．90° D．180° 【答案】C 【分析】由于△MNP绕某点逆时针旋转一定的角度，得到△M1N1P1，而对应边MN⊥M′N′，所以图形旋转了90°． 【详解】解：△MNP绕某点逆时针旋转一定的角度，得到△M1N1P1， 由图可得对应边MN⊥M′N′，即旋转的度数为90°，并且旋转中心为点B． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 【题型十】 求旋转图形中线段的长度 【典例10】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B． 【分析】先由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，再证明△ACA′、△BCB′是等边三角形，得到BB′＝BC，再根据含30度角的直角三角形的性质求解BC即可． 【详解】解：由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA， ∵∠A＝60°， ∴△ACA′是等边三角形， ∴∠A′CA＝60°，则∠B′CB＝60°， ∴△BCB′是等边三角形， ∴BB′＝BC， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4， ∴， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键． 【变式10-1】如图，在中，，，，将绕直角边的中点H旋转，得到，若的直角顶点D落在的斜边上，与交于点G，则线段的长度为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理以及三角形面积公式求得、的长，再证明，据此求解即可． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 由旋转的性质得，，，，， ∵点H为边的中点， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 【变式10-2】如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过A，向y轴作垂线，可得，利用全等得到A到x轴，y轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【详解】解：作轴于点E，轴于点D，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标的旋转变换问题，利用全等得到对应点的坐标是解决本题的突破点． 【变式10-3】如图：点在y轴上，B是x轴上的动点，将线段绕点A逆时针旋转得线段，则长的最小值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】以为边作等边三角形，连接，，再过点作轴于，根据线段绕点逆时针旋转得线段，是等边三角形，可得，从而得到，根据“垂线段最短”知的最小值为的长，又，所以，从而得到，根据，可得，即可得到的最小值． 【详解】解：以为边作等边三角形，连接，，再过点作轴于，如图所示：    ∵将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 根据“垂线段最短”知的最小值为的长， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴长的最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，熟练应用全等三角形的性质及垂线段最短是解题的关键． 【题型十一】旋转作图 【典例11】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知和直线． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——旋转变换，作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于直线成轴对称的； （2）根据旋转的性质即可画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式11-1】分别画出绕点逆时针旋转和后的图形．    【答案】见解析 【分析】根据题意所述旋转三要素，依次找到各点对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的图形． 【详解】解：如图，旋转得到，旋转得到，旋转得到．    【点睛】此题考查了旋转作图的知识，解答此类问题一定要仔细审题，找到旋转三要素，然后找到各点的对应点，注意规范作图． 【变式11-2】如图，已知，，是平面直角坐标系上三点．      (1)请画出关于轴对称的； (2)请画出绕点逆时针旋转得到； (3)在（1）中，若上有一点，请直接写出对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据图形旋转的性质画出即可； （3）根据关于轴对称的点的坐标特点即可得出结论． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）与关于轴对称，， ． 【点睛】本题考查的是作图—对称与旋转变换，熟知对称与旋转的性质是解答此题的关键． 【变式11-3】（1）如图①，是正方形内一点，连接，，． ①画出将绕点顺时针旋转得到的； ②若，，，求的长． （2）如图②，设是等边三角形内的一点，，，，则的度数是 　　． 【答案】（1）①见解析；②6；（2） 【分析】（1）①根据旋转的性质作图即可；②连接，首先证明为等腰直角三角形，可确定，，进而得到，然后在中由勾股定理可得； （2）将绕点逆时针旋转得，首先证明为等边三角形，可知，，在中，由勾股定理的逆定理证明为直角三角形，且，然后由即可获得答案． 【详解】解：（1）①如图，为所作； ②连接，如图， ∵绕点顺时针旋转得到的， ∴，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴在中，； （2）∵为等边三角形， ∴， 可将绕点逆时针旋转得， 如图②，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了旋转作图、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 【题型十二】在平面直角系中根据旋转求坐标 【典例12】如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】A． 【分析】利用旋转的性质得B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2，A1B1⊥y轴，然后利用第四象限内点的坐标特征写出点B1坐标． 【详解】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）， ∴OC＝2，BC＝1，AB⊥x轴， ∴将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1，A1B1⊥y轴， ∴B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2， ∴B1坐标为：（1，﹣2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【变式12-1】如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转至，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过作轴的垂线，垂足分别为，则，证明，结合坐标性即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过作轴的垂线，垂足分别为，则    ∵点坐标为，点坐标为， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 【变式12-2】如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理和勾股定理得逆定理证明，从而得到旋转角为，由此即可求出点C的对应点的坐标． 【详解】解：∵线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分， ∴的对应点为， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角为， ∴点绕点P逆时针旋转得到的点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理和勾股定理得逆定理，练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转角相等是解答本题的关键． 【变式12-3】在平面直角坐标系中，点，连接得到线段，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于题目没有说明顺时针旋转还是逆时针旋转，故需要分情况讨论． 【详解】解：当绕点A逆时针旋转时， 此时过点作轴于点D， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当绕点A顺时针旋转时， 过点作轴于点E， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、两点间的距离和全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【题型十三】中心对称的概念 【典例13】下列关于中心对称的描述不正确的是（    ） 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称 B．关于中心对称的两个图形是全等的 C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心 D．如果两个图形关于点O对称，点A与是对称点，那么 【答案】A 【分析】中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．据此作出判断． 【详解】解：A．一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故选项错误，符合题意； B．关于中心对称的两个图形是全等的，故选项正确，不符合题意； C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故选项正确，不符合题意； D．根据中心对称的性质可得此说法正确，故选项正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 【变式13-1】下列说法正确的是（　　） A．成中心对称的两个图形全等 B．全等的两个图形成中心对称 C．成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称 D．关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称 【答案】A 【分析】根据中心对称图形，中心对称的概念和性质和轴对称图形以及全等图形的概念对各选项进行判断． 【详解】解：A．成中心对称的两个图形全等，故本选项正确； B．全等的两个图形不一定成中心对称，故本选项错误； C．成中心对称的两个图形不一定关于某条直线对称，故本选项错误； D．关于某条直线成轴对称的两个图形不一定关于某一点成中心对称，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查中心对称图形与中心对称的概念和性质和轴对称图形以及全等图形．正确把握相关概念和性质是解题的关键． 【变式13-2】下列说法中正确的有(  ) A．全等的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必须重合 C．成中心对称的两个图形全等 D．旋转后能够重合的两个图形成中心对称 【答案】C 【分析】根据中心对称的概念和性质进行判断即可． 【详解】A．全等的两个图形不一定成中心对称，故A选项错误，不符合题意； B．成中心对称的两个图形绕旋转中心旋转180°后与另一个图形完全重合，故B选项错误，不符合题意； C．成中心对称的两个图形全等，故C选项正确，符合题意； D．绕旋转中心旋转180°后与另一个图形完全重合的两个图形成中心对称，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称的概念和性质，熟记中心对称的概念：一个图形绕旋转中心旋转180°后与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称是解题的关键． 【变式13-3】如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．你能吗？ 【答案】能，方法见解析 【分析】认真观察和思考发现，由于左边这四张牌与右边的牌完全相同．似乎没有牌被动过，所以旋转后的图形与原图形完全一样，那么被动过的这张牌上的图案一定是中心对称图形． 【详解】解：我能，方法如下： 图（1）与图（2）中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌是中心对称图形， 而图中只有方块4是中心对称图形，故方块4被旋转过． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义和扑克牌的花色特点可知，当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的那个． 【题型十四】 中心对称图形的识别 【典例14】（25-26九年级上·全国·期末）以下软件的是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形．将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它是中心对称图形； C、它不是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：B． 【变式14-1】（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 轴对称图形沿着某条直线对折，直线两旁能够完全重合，中心对称图形存在一个对称中心，使得图形绕该点旋转后与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项不是轴对称图形也不是中心对称图形； B选项是轴对称图形不是中心对称图形； C选项是轴对称图形也是中心对称图形； D选项是中心对称图形而不是轴对称图形； 故选：C． 【变式14-2】在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有较高的艺术价值，下列窗棂的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心轴对称图形，故此选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 【变式14-3】下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【题型十五】中心对称图形的性质 【典例15】（2024秋•分宜县校级期末）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据中心对称的性质可得OA＝OC，OB＝OD，然后判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的中心对称性写出相等的线段即可得解． 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD， ∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，OE＝OF，AE＝CF，BF＝DE， 相等的线段共有5对． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称，作辅助线，判断出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键，也是本题的难点． 【变式15-1】如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．点的对称点是点 D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，，点的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 【变式15-2】如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心． （1）若AO＝4cm，那么CO的长是多少？ （2）试说明△ABO≌△CDO． 【分析】（1）根据关于某点对称的两个图形的对应线段相等直接得到答案； （2）利用中心对称的性质，得到对应角相等，对应线段相等即可证得全等． 【详解】解：（1）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心， ∴AO＝CO， ∵AO＝4cm， ∴CO＝4cm； （2）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心， ∴AO＝CO，BO＝DO， 在△ABO和△CDO中， ∴△ABO≌△CDO（SAS）． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，中心对称的两个图形具有如下性质：（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分． 【变式15-3】用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分．图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】C 【分析】根据图形中所画出的虚线，可以利用图形中的长方形、梯形的面积比较得出直线两旁的面积的大小关系． 【详解】如图：图形2中，直线m经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲做法正确； 图形3中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面积的一半-添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法正确． 故选C． 【点睛】此题主要考查了中心对称，根据图形中的割补情况，抓住经过对角线的交点的直线都能把长方形分成面积相等的两部分这一特点，即可解决问题． 【题型十六】求关于原点对称的点的坐标 【典例16】在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x＞－3 【答案】B 【分析】先求出点P关于原点成中心对称的点的坐标，再根据第四象限点的特点列不等式即可解题． 【详解】点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3） ∵对称点在第四象限 ∴ 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标特征，关于原点对称的两个点得横纵坐标都互为相反数． 【变式16-1】已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 【变式16-2】若的函数值y随x的增大而增大，则关于原点的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据函数的性质确定k＞0，判断点在第一象限，根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：∵的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴点在第一象限， ∴关于原点的对称点在第三象限． 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，中心对称的性质，根据一次函数的增减性判断k的符号是解题关键． 【变式16-3】已知点与点关于原点对称，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】再根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，写出Q点坐标，再判断位置即可． 【详解】解：∵点P（m2+1，-1）与点Q关于原点对称， ∴Q（-m2-1，1）， ∵-m2-1＜0，1＞0， ∴点Q一定在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了关于原点对称，掌握关于原点对称，横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【题型十七】 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 【典例17】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，准确记忆关于原点对称点横纵坐标之间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，求出m和n的值，再相加即可． 【详解】解：∵点和关于原点O对称， ∴点B的坐标为点A坐标的相反数，即， ∴，且， 解得：，， ∴． 故选：A． 【变式17-1】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 【答案】B． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求出a，b的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b）， ∴a+5＝3，b＝4， ∴a＝﹣2， ∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8． 故选：B． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 【变式17-2】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出点坐标，进而利用关于轴对称点的坐标性质得出坐标，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ， 点关于轴的对称点为， ， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于轴对称点的性质，得出点坐标是解题关键． 【变式17-3】如图，在平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)如果内部有一点M（x，y），经过（1）中的变换后对应点坐标是_______； (3)已知，，当的值最小时，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)－3 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征找出点A1，B1，C1，然后顺次连接即可； （2）关于原点的对称的点横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数，据此解答即可； （3）将B1向右平移两格得B2，连接B2A交x轴于点E，将点E向左平移两格得到点D，连接B1D，此时的值最小，据此解答即可． (1) 如图所示； (2) ∵关于原点对称的点横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数， ∴M（x，y），经过（1）中的变换后对应点坐标是是（-x，-y）， 故答案为：（-x，-y）； (3) 如图，将B1向右平移两格得B2，连接B2A交x轴于点E，将点E向左平移两格得到点D，连接B1D，此时的值最小， 将B1（-5，2）向右平移两格得B2（-3，2），且A（2，-3）， 设直线B2A的函数关系式为y=kx+b， ∴，解得： ∴直线B2A的函数关系式为y=-x-1， 将y=0代入y=-x-1，得x=-1， ∴E（-1，0）， ∴a+2=-1，得：a=-3， 故答案为：-3 【点睛】本题考查了作图-中心对称变换，线段最短问题，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【题型十八】平面直角坐标系中的中心对称图形 【典例18】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）B（﹣4，1），C（﹣2，2）． （1）直接写出点B关于原点对称的点B'的坐标：　 　． （2）直接写出△ABC的面积：S△ABC＝　 　． （3）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1． （4）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2． 【分析】（1）根据中心对称的性质可得答案； （2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）利用平移的性质可得图形； （4）根据旋转的性质可得图形． 【详解】解：（1）由题意知，点B关于原点对称的点B'（4，﹣1）， 故答案为：（4，﹣1）； （2）S△ABC＝3×2， 故答案为：； （3）如图，△A1B1C1即为所求； （4）如图，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 【变式18-1】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，0）． （1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）直接写出B1，B2两点的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质，作出对应点即可； （2）根据旋转的性质，作出对应点即可； （3）根据点的位置，即可得出坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）由作图知，B1（﹣1，5），B2（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 【变式18-2】如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1） 【答案】B． 【分析】运用中点坐标公式求答案． 【详解】解：设C（m，n）， ∵线段AB与线段CD关于点P对称， 点P为线段AC、BD的中点． ∴，， ∴m＝2﹣a，n＝﹣b， ∴C（2﹣a，﹣b）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键． 【变式18-3】已知：如图，在直角坐标系中，阴影部分多边形是一个中心对称图形. （1）图中阴影部分的面积是______，对称中心的坐标是______. （2）在图①中，仅用直尺画一条直线，使将阴影部分分成面积相等的两部分. （3）在（2）中，直线被阴影部分截得的线段长度的最小值为______. 【答案】（1）；（2）；（2）见解析（答案不唯一）；（3）. 【分析】（1）算出一个小正方形的面积，再乘小正方形个数即可，找出两组对称点连接其交点坐标即为对称中心的坐标； （2）根据阴影部分为中心对称图形，所以直线只需过对称中心即可将阴影部分分成面积相等的两部分； （3）作图即可发现：距离对称中心最近的点是过对称中心作图中小正方形的对角线的垂心，故可确定直线被阴影部分截得的线段，再利用面积去求此时的长度即可. 【详解】解：（1）将图中小三角阴影平移到一起故可发现，此阴影共包含了个小正方形，一个小正方形的面积为：，所以阴影部分的面积是； 根据中心对称图形上每一对对称点连线都过对称中心，故可找两组对称点连线交点即是对称中心，如下图所示，故可发现，其对称中心的坐标为： （2）根据：经过中心对称图形的对称中心的任一直线,都可把这个中心对称图形平分成面积相等的两部分，直线只需过对称中心即可将阴影部分分成面积相等的两部分，如下图所示：（答案不唯一）； （3）观察图形可发现直线被阴影部分截得的线段长度可能是图中红线段或者是过对称中心作图中小正方形的对角线的垂线并反向延长所构成的线段：图中红线段， 根据所在的直角三角形和勾股定理： ∵图中 ∴四边形是平行四边形， 利用平移可发现平行四边形等于个小正方形的面积，故面积为： 利用所在的直角三角形和勾股定理可得 ∵是平行四边形的高 ∴ ∵ ∴是直线被阴影部分截得的线段长度中的最小的线段，长度为. 【点睛】此题考查的是中心对称图形，掌握中心对称图形的性质和网格中图形的面积求法是解决此题的关键. 【题型十九】利用中心对称探究规律问题 【典例19】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________. 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴点关于点的对称点， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， 此时点与点重合． ∵， ∴与点重合， 故， 答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的对称性质，熟练掌握点坐标的对称性质是解题的关键． 【变式19-1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为_____________. 【答案】（0，0） 【分析】根据题意，确定出前几次跳跃后点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，得出规律，根据所得的规律即可求出点P2016的坐标． 【详解】根据题意可知：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），由此可得可得出6次一个循环， ∵2016÷6=336， ∴点P2016的坐标为（0，0）． 故答案为（0，0）． 【点睛】本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律． 【变式19-2】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第______个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是__________． 【答案】 7 【分析】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上； 法一：由图可得点，，所以点，则点， 由图可推得点； 法二：由点，，，的坐标，可得点， ， 所以点． 故答案为7， 【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键． 【变式19-3】如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】首先根据△是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：△是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， ， ，，，，， 的横坐标是：，的横坐标是：， 当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：， 顶点的纵坐标是：， △是正整数）的顶点的坐标是：， △的顶点的横坐标是：，纵坐标是：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 【题型二十】综合利用平移、轴对称、旋转设计图案 【典例20】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 【答案】(1)中心，轴 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型． （1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答； （2）根据中心对称的性质设计图案即可． 【详解】（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等）， ． 【变式20-1】如图①是4×4正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共有（ ）    A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质画出图形，进一步得出答案即可． 【详解】试题分析：如图所示，共有8种．    故选C． 【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 【变式20-2】认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【答案】(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积（只要答案正确即可） (2)见解析 【分析】本题考查图形的设计，轴对称图形，图形的折叠，中心对称图形． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积； （2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【变式20-3】阅读下列材料，完成相应学习任务 旋转对称 把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形． 任务： （1）如图2，正六边形关于其中心O有　 　的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有　 　的旋转对称； （2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转　 　与原图形重合； （3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形． 【答案】（1）60°；180°；（2）72°；（3）如图所示，是中心对称图形．（答案不唯一）见解析. 【分析】（1）根据正六边形的边数，即可得到正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，依据中心对称的概念，即可得到中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称； （2）依据360°÷5=72°，即可得到将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合； （3）利用平移、轴对称或旋转变换，即可设计出中心对称图形． 【详解】（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称； 故答案为60°；180°； （2）∵360°÷5＝72°， ∴将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合； 故答案为72°； （3）如图5所示，是中心对称图形．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换进行作图，解题时注意：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 【题型二十一】 平移性质的综合运用 【典例21】（2025春•龙南市期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的值为　 　 ． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】18°或36°或108°． 【分析】如图，当点B′在BC上时，当点B′在BC延长线上时，两种情况中又分①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，当∠CA′B′＝2∠ACA′时，过点C作CG∥AB，证明CG∥A′B′，得到∠ACG＝∠BAC＝54°，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【解答】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB， 由平移性质可知AB∥A′B′， ∵CG∥AB， ∴CG∥A′B′， ∴∠ACG＝∠BAC＝54°， ①当∠ACA′＝2∠CA′B′时， 设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x， ∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x， ∵∠ACG＝∠ACA′+∠A′CG， ∴2x+x＝54°， 解得：x＝18°， ∴∠ACA′＝2x＝36°； ②当∠CA′B′＝2∠ACA′时， ∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA'x， ∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x， 由条件可知，xx＝54°， 解得：x＝36°， ∴∠ACA'x＝18°； 第二种情况：当点B'在BC延长线上时，过点C作CG∥AB， 同理可得CG∥A′B′， ∴∠ACG＝∠BAC＝54° ①当∠ACA′＝2∠CA′B′时， 设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x， ∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x， 由条件可得2x﹣x＝54°， 解得：x＝54°， ∴∠ACA′＝2x＝108°； ②由于∠ACA′＞∠CA′B′，则∠CA′B′＝2∠ACA′这种情况不存在； 综上所述，∠ACA′的度数可以为18°或36°或108°， 故答案为：18°或36°或108°． 【点评】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 【变式21-1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，4）和（1，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A在直线y＝x﹣1上，则点B与点O′之间的距离为（　　） A．3 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质知OO′＝AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即可得OO′的长度，进而可得O′的坐标，然后再利用两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：如图，连接AA′． ∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′， ∴点A′的纵坐标是4． 又∵点A的对应点在直线y＝x﹣1上一点， ∴4＝x﹣1，解得x＝4． ∴点A′的坐标是（4，4）， ∴AA′＝4． ∴根据平移的性质知OO′＝AA′＝4． ∴O′（4，0）， ∵B的坐标为（1，3）， ∴BO′＝， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质和图形的平移. 【变式21-2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)，3；， (2)秒 (3)见解析 【分析】 （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，， 故答案为：，3；，； （2） 设秒后轴，则有， 解得， 时，轴； （3） ①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ． ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ． 综上所述，与的关系为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式21-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移变换的性质，平行线的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识； （1）由非负数的性质求a，b的值，求出线段的长即可； （2）设出P点坐标，可分两种情况，根据面积关系，构建方程即可解决问题； （3）分三种情形：①当点M在点H的上方且在直线下方时；②如图，点M在H上方且在直线上方时；③当点M在线段上(不与C，H重合)时，由平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ， 点C在x轴的负半轴， ， 故答案为：，； （2）点P在x轴上，设， ， 由题意得：， 解得：或， 或； （3）①当点M在点H的上方且在直线下方时，， 证明：设交于J，   ， ， ， ； ②如图，点M在H上方且在直线上方时， 同理可得． ③当点M在线段上(不与C，H重合)时，，    作， ， ， ， ． 【题型二十二】旋转性质的综合运用 【典例22】如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： (1)如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． (2)如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【答案】(1)①，；②，，仍然成立，理由见解析 (2)时，理由见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质得到，推出，得到，得到，，得到，；②根据等腰直角三角形性质得到，推出，推出，得到，，得到，即得； （2）当时，．分当与当，两种情况讨论，过点A作交的延长线于点F，证明，得到， 即，即可证明． 【详解】（1）解：①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②，仍然成立，理由： ∵，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由： 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 则， ， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 同理可得：， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，时，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 【变式22-1】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)BD＝AC，BD⊥AC，理由见解析 (2)不发生变化．理由见解析 (3)①BD＝AC；②能，BD与AC所成的角的度数为60°或120° 【分析】（1）可以证明△BDE≅△ACE，推出BD=AC ，BD⊥AC； （2）如图2中，不发生变化，只要证明△BED ≅△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE ，由∠DEC＝90°，推出∠ACE+∠EOC＝90°，因为∠EOC＝∠DOF，则∠BDE+∠DOF＝90°，可知∠DFO＝180°-90°＝90°，即可証明 ； （3）①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明 △BED≅△AEC即可； ②能；由△BED≅△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，推出 ∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（60°+60°）＝60°， 即可解决问题． （1） 解：BD＝AC，BD⊥AC，理由如下， 延长BD交AC于F，如图所示， ∵AE⊥BC， ∴∠BED ＝∠AEC＝90°， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD+∠BDE＝90°， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF+∠CAE＝90°， ∴∠AFD＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （2） 不发生变化，理由如下：如图所示，DE与AC交于点O，BD与AC交于点F， ， ∵∠BEA＝∠DEC＝90°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE， ∵∠DEC＝90°， ∴∠ACE+∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠BDE+∠DOF＝90°， ∴∠DFO＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （3） ①如图3中，结论：BD＝AC， 理由如下： ∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC． ②能，∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴∠BDE＝∠ACE， ∴∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（60°+60°） ＝60°， 即BD与AC所成的角的度数为60°或120°． 【点睛】本题考查几何变换综合题，等腰直角三角形的性 质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和 性质，学会利用“8字型”证明角相等． 【变式22-2】（1）特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交，于点E，F，且，连接，若，探究：线段之间的数量关系，并说明理由． （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你证明结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点D，E均在边上，且，若，计算的长度． 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转，得到，据此知．证得，从而得出答案； （2）将绕点A顺时针旋转α得到，知，证得； （3）将绕点A逆时针旋转90°，得到，连接．据此知，由知，即，从而得．易证得，根据可得答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，将绕点A顺时针旋转，得到， ∵四边形中，，， ∵，， ∴，即点F，D，G共线． 由旋转可得． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴； （2）成立．； 证明：设，则， 如图，将绕点A顺时针旋转α得到， ∴． ∵， ∴， ∴点C，D，H在同一直线上． ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴，，即， ∴． ∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查旋转变换的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的有关性质等．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式22-3】如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD (1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系； (2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积． 【答案】(1)AD＝2PD (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． （2）结论成立．如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．利用三角形的中位线定理证明BF＝2PD，再证明AD＝BF即可解决问题． （3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，首先证明∠ADP＝60°，解直角三角形求出即可解决问题． （1） 解：如图2中， ∵DC＝DA，∠CDA＝120°， ∴∠PCA＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAP＝60°， ∴∠CPA＝90°， 由题意：在Rt△APD中，∠APD＝90°，∠PAD＝30°， ∴AD＝2PD． （2） 结论成立． 理由：如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF． ∵BP＝EP，DE＝DF， ∴BF＝2PD，BFPD， ∵∠EDC＝120°， ∴∠FDC＝60°， ∵DF＝DE＝DC， ∴△DFC是等边三角形， ∵CB＝CA，∠BCA＝∠DCF＝60°， ∴∠BCF＝∠ACD， ∵CF＝CD， ∴△BCF≌△ACD（SAS）， ∴BF＝AD， ∴AD＝2PD． （3） 如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC， ∴∠AGB＝∠ACB＝60°， ∵DPBG， ∴∠ADP＝∠AGB＝60°， 如图3中，作DM⊥AC于M，PN⊥AD于N．设DN＝a，则PD＝2a，AD＝2PD＝4a，PN＝a，可得PN＝AD， 在等腰△CDE中，∵CE＝2，∠CDE＝120°， 过点作，则， ∴ ∴CD＝DE＝2， ∵∠ACD＝45°， ∴CM＝DM＝2．AM＝， 在Rt△ADM中， ． 在Rt△PAD中，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 易错点1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 错误：概念混淆:，轴对称是关于直线的对称，中心对称是关于点的对称。 基础薄弱:缺少常见图形的对称情况认知。 注意：判断轴对称先找对称轴，沿直线折叠验证;，判断中心对称先找对称中心，然后绕中心点旋转180°验证。 判断图形对称性的三步法 1、先试折叠:能重合一轴对称; 2、再试转180°:能重合一中心对称; 3、两步都满足一既是轴对称又是中心对称。 【典例1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转后与原图重合是关键． 【变式1-1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【变式1-2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可． 【分析】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【变式1-3】下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 易错点2 混淆点平移规律和函数平移规律 错误：概念混淆:把点的平移和函数图象平移使用同一套口诀，直接套用，符号、方向全搞反。 认知偏差:不理解函数图象平移与点平移的关系。 基础薄弱，坐标运算、函数变形能力弱。 注意：点平移:往哪边移，坐标就往哪边加减; 函数平移:往哪边移，解析式里反着加减。 【典例2】如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解． 本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上，， ∴点， ∵， ∴点A向右平移3个单位到达点，点B向下平移1个单位到达点， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段的位置， ∴， ∴． 故选：B 【变式2-1】在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 【变式2-2】若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】浙江省台州市白云中学 2024—2025学年下学期九年级适应性检测 数 学 试题 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据平移的规律求出的图象向左平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位后得到， 由题意，得， 解得． 故选：A． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2025年陕西省西安市雁塔区中考数学四模试卷 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的性质及图像、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将一次函数向下平移2个单位后得到正比例函数，可知平移后的常数项为0，从而求出的值，将再代入原函数解析式，分析其经过的象限即可． 【详解】将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到的函数为：， ∵得到的函数为正比例函数， ∴， 解得：， ∴一次函数为， ∴该一次函数图象不经过第三象限， 故选：C． 技巧01：平移问题的解题技巧 《方法技巧》 坐标系中点的平移遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”。平移前后的三角形全等，对应边平行且相等。利用平移构造平行四边形是常见辅助线思路。 【典例1】如图在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向上平移个单位，向左平移个单位后所得的图形； (2)求平移、、后的对应点的坐标； (3)求平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)、、 (3)22 【分析】根据网格结构找出平移后A、B、O的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； 根据网格结构写出点、、的坐标即可； 分向上平移和向左平移两个部分，利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 如图所示∶ （2）由（1）可得：、、； （3）向上平移个单位扫过的面积为， 接着向左平移个单位扫过的面积为， 所以平移过程中扫过的面积一共为． 【点睛】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 【变式1-1】如图1，已知平面直角坐标系中，点，满足． （1）求的面积； （2）将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，已知直线经过点的横坐标为5． ①求线段平移过程中扫过的面积； ②请说明线段的平移方式，并说明理由； ③如图2，线段上一点，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①平行四边形；②线段先向右平移7个单位，再向上平移2个单位得到线段，③． 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值即可解决问题； （2）①根据平移的性质得平行四边形与三角形等底等高，再根据三角形面积公式求解即可； ②过作x轴于，过作轴于，垂足分别为，根据题意可设，由三角形梯形平行四边形三角形三角形可列方程解出b值，从而可得结果； ③利用待定系数法求出A′B′的表达式即可解决问题． 【详解】（1），. 且 当时， ， 三角形 （2）①由平移性质可知，， 点到的距离=点到的距离 故平行四边形与三角形等底等高 平行四边形三角形 又三角形中，，高 三角形 平行四边形 ②过作x轴于，过作轴于，垂足分别为 由的横坐标为5，的横坐标为可知，线段平移规律是先向右移动了7个单位， 不妨设 三角形梯形平行四边形三角形三角形 即， 解得：b=2， 由上可知，（5，2），故线段先向右平移7个单位，再向上平移2个单位得到线段. ③ ， ∵在线段上，（5，2），B′（7，6）， 设直线A′B′的表达式为y=px+q，将A′和B′代入， 得， 解得：， ∴直线A′B′的表达式为y=2x-8， ∴m和n的关系式为：. 【点睛】本题考查了一次函数平移的问题，掌握平移的性质、三角形面积公式、一次函数的性质、待定系数法是解题的关键． 技巧02：旋转中心的确定方法 《方法技巧》 确定旋转中心的方法:先找到旋转前后图形上的两对对应点，连线后，分别作每对对应点连线的垂直平分线，它们垂直平分线的交点即为旋转中心。 【典例2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转后得到△，其中点，，的对应点分别是点，、，那么旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等，根据网格特征作AA′和CC′的垂直平分线，得到交点即可得答案． 【详解】如图，作AA′和CC′的垂直平分线， 由图象可知：点为旋转中心． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的旋转，可由旋转的性质确定旋转前后两个图形的旋转中心，灵活应用旋转的性质是解题的关键． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（    ） A．（1，0） B．（0，0） C．（-1，2） D．（-1，1） 【答案】C 【分析】根据其中一个三角形是由另一个三角形绕着某点旋转一定的角度得到的，那么对应点到旋转中心的距离相等，找出这个点即可． 【详解】解：如图所示，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只有（-1，2）点到三角形的三顶点距离相等，故（-1，2）是图形的旋转中心， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转中心到对应点的距离相等，是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平移与旋转 知识点01 平移的概念 1、平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. 3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. 知识点02 平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且_____． 【注意】 1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小； 2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只要是按直线方向即可. 3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分. 知识点03 平移的作图 1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. 2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 知识点04 旋转的相关概念 1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个_____，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 2、旋转的三要素：旋转___，旋转___，旋转____.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. 温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. 知识点05 旋转的性质 1、旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离____． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_____． ③旋转前、后的图形全等． 2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点06 旋转作图 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 知识点07 中心对称及相关概念 中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为_____； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 【注意】 （1）中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是_____； （2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系； （3）成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定 对称中心两侧或与对称中心重合. 知识点08 中心对称的性质 1、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与 对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【注意】 （1）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. 2、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 3、中心对称与轴对称的异同 轴对称 中心对称 1 有一条对称轴——直线 图形绕中心旋转——点 2 图形沿轴折叠（翻转____） 图形绕中心旋转_____ 3 折叠后两个图形重合 旋转后两个形重合 知识点09作已知图形关于某一点对称的图形 作图步骤： （1） 确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2） 确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3） 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 知识点10 中心对称图形 1、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转____，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做________，这个点就是它的对称中心. 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 ______；③ 与原图形完全重合(包括图案). 2、中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. 3、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 知识点11 关于原点对称的点的坐标 1、关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（__，__）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 2、关于坐标轴对称的点的坐标特点 点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为 P′(___，___)， 点 P(a，b) 关于 y 轴对称的点的坐标为 P′(___，___). 简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”. 3、作关于原点对称的图形的常用步骤： (1) 写出图形顶点坐标； (2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标； (3) 描点； (4) 顺次连接； (5) 下结论. 【题型一】平移的概念 【典例1】（2025春•西湖区校级期中）动画电影爆火后，不少同学对于动画设计有了学习兴趣，下列选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（　　） A． B． C．D． 【变式1-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列运动属于平移的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列车标，可看作图案的某一部分经过平移所形成的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】利用平移的性质进行计算 【典例2】（2025•碑林区校级三模）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3cm，EF＝7cm，则阴影部分的面积为（　　） A．16cm2 B．12cm2 C．11cm2 D．8cm2 【变式2-1】（2025秋•浦东新区校级月考）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．如果AA′＝1，那么A′D的长为　 【变式2-2】如图，直角三角形DEF是直角三角形ABC沿BC平移得到的，如果，，，则图中阴影部分的面积是______． 【变式2-3】（2025秋•乐清市校级期中）如图，点C，D在线段AQ上，射线DP⊥CQ，连结PC，PQ，将△PCQ沿着QC边向左平移得△BAC，记AB的长为m，CB的长为n．若AC＝4，AD＝5，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．mn B．m﹣n C．m2+n2 D．m2﹣n2 【题型三】利用平移解决实际问题 【典例3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025•雨花区校级开学）参考附图，一张面积225平方厘米的正方形纸被剪去一部分，剩下图形的任何两条邻边皆成直角．现在图形的周长是　　 厘米． 【变式3-2】如图，在由小正方形组成的网格图中，有a，b两户家用电路接入电表，则两户电路接点与电表接入点之间所用电线（    ） A．两户一样长 B．a户较长 C．b户较长 D．无法确定 【变式3-3】如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小明沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．100米 B．98米 C．96米 D．94米 【题型四】 点在坐标系中的平移 【典例4】若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　 　． 【变式4-2】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（-6，7）、（-3，0）、（0，3）． (1)画出△ABC； (2)在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′（5，4），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点 A′的坐标 ； (3)P（-3，m）为△ABC 中一点，将点P 向右平移4个单位后，再向下平移7个单位得到点Q（n，-3），则 m＝ ，n＝ ． 【题型五】图形在坐标系中的平移 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，将△ABC平移得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若，，，则B与的距离为______． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，已知是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点，将沿x轴正方向平移得到，若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】如图，的顶点，，，若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点是． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)求的面积，并说明对应点的连线之间有什么位置关系. 【题型六】平移作图 【典例6】（2025秋•滁州期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．若点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（﹣2，0）． （1）请在图中画出平面直角坐标系xOy； （2）把△ABC先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点B的对应点B1的坐标． （3）求（2）中△A1B1C1的面积． 【变式6-1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，三角形中任意一点，经平移后其对应点为，将三角形作同样平移得到三角形． (1)请写出各顶点的坐标，并画出平移后的图形； (2)求出的面积． 【变式6-2】（2025秋•池州期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的△A′B′C′； （2）图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数是　　 ．（点P异于点A） 【变式6-3】对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“﹣1型平移”．已知点和点． (1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为　 　． (2)①将线段进行“﹣1型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是　 　． ②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是　 ． (3)知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，画图、观察、归纳可得，当的取值范围是　 　时，的最小值保持不变． 【题型七】旋转中的相关概念 【典例7】下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　) A． B． C． D． 【变式7-2】如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．顺时针或逆时针 D．不能确定 【变式7-3】下列运动属于旋转的是（ ） A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．温度计中，液柱的上升或下降 【题型八】旋转中心的确定 【典例8】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，线段绕一点旋转后得到线段，点A旋转到了点，则旋转中心为（    ） A．点C B．点D C．点E D．点F 【变式8-1】如图， 在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度得到， 则旋转中心是点（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，两个全等正方形和，旋转正方形能和正方形重合，则可以作为旋转中心的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式8-3】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型九】 求旋转图形中相关角度的大小 【典例9】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角为（    ） A．75° B．60° C．45° D．15° 【变式9-2】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点逆时针旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转的角度可能是(　　) A．45° B．60° C．90° D．180° 【题型十】 求旋转图形中线段的长度 【典例10】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　） A． B． C．4 D．2 【变式10-1】如图，在中，，，，将绕直角边的中点H旋转，得到，若的直角顶点D落在的斜边上，与交于点G，则线段的长度为（        ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图：点在y轴上，B是x轴上的动点，将线段绕点A逆时针旋转得线段，则长的最小值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【题型十一】旋转作图 【典例11】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知和直线． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【变式11-2】如图，已知，，是平面直角坐标系上三点．      (1)请画出关于轴对称的； (2)请画出绕点逆时针旋转得到； (3)在（1）中，若上有一点，请直接写出对应点的坐标． 【变式11-3】（1）如图①，是正方形内一点，连接，，． ①画出将绕点顺时针旋转得到的； ②若，，，求的长． （2）如图②，设是等边三角形内的一点，，，，则的度数是 　　． 【题型十二】在平面直角系中根据旋转求坐标 【典例12】如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【变式12-1】如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转至，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式12-2】如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】在平面直角坐标系中，点，连接得到线段，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C．或 D．或 【题型十三】中心对称的概念 【典例13】下列关于中心对称的描述不正确的是（    ） 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称 B．关于中心对称的两个图形是全等的 C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心 D．如果两个图形关于点O对称，点A与是对称点，那么 【变式13-1】下列说法正确的是（　　） A．成中心对称的两个图形全等 B．全等的两个图形成中心对称 C．成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称 D．关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称 【变式13-2】下列说法中正确的有(  ) A．全等的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必须重合 C．成中心对称的两个图形全等 D．旋转后能够重合的两个图形成中心对称 【变式13-3】如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．你能吗？ 【题型十四】 中心对称图形的识别 【典例14】（25-26九年级上·全国·期末）以下软件的是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有较高的艺术价值，下列窗棂的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【题型十五】中心对称图形的性质 【典例15】（2024秋•分宜县校级期末）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式15-1】如图，与关于点成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．点的对称点是点 D． 【变式15-2】如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心． （1）若AO＝4cm，那么CO的长是多少？ （2）试说明△ABO≌△CDO． 【变式15-3】用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分．图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【题型十六】求关于原点对称的点的坐标 【典例16】在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x＞－3 【变式16-1】已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式16-2】若的函数值y随x的增大而增大，则关于原点的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式16-3】已知点与点关于原点对称，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型十七】 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 【典例17】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 【变式17-1】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 【变式17-2】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式17-3】如图，在平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的图形； (2)如果内部有一点M（x，y），经过（1）中的变换后对应点坐标是_______； (3)已知，，当的值最小时，则_______． 【题型十八】平面直角坐标系中的中心对称图形 【典例18】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）B（﹣4，1），C（﹣2，2）． （1）直接写出点B关于原点对称的点B'的坐标：　 　． （2）直接写出△ABC的面积：S△ABC＝　 　． （3）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1． （4）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2． 【变式18-1】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，0）． （1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）直接写出B1，B2两点的坐标． 【变式18-2】如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1） 【变式18-3】已知：如图，在直角坐标系中，阴影部分多边形是一个中心对称图形. （1）图中阴影部分的面积是______，对称中心的坐标是______. （2）在图①中，仅用直尺画一条直线，使将阴影部分分成面积相等的两部分. （3）在（2）中，直线被阴影部分截得的线段长度的最小值为______. 【题型十九】利用中心对称探究规律问题 【典例19】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________. 【变式19-1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为_____________. 【变式19-2】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第______个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是__________． 【变式19-3】如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【题型二十】综合利用平移、轴对称、旋转设计图案 【典例20】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 【变式20-1】如图①是4×4正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共有（ ）    A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【变式20-2】认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【变式20-3】阅读下列材料，完成相应学习任务 旋转对称 把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形． 任务： （1）如图2，正六边形关于其中心O有　 　的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有　 　的旋转对称； （2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转　 　与原图形重合； （3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形． 【题型二十一】 平移性质的综合运用 【典例21】（2025春•龙南市期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的值为　 　 ． 【变式21-1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，4）和（1，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A在直线y＝x﹣1上，则点B与点O′之间的距离为（　　） A．3 B．4 C．3 D． 【变式21-2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【变式21-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【题型二十二】旋转性质的综合运用 【典例22】如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： (1)如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． (2)如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【变式22-1】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【变式22-2】（1）特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交，于点E，F，且，连接，若，探究：线段之间的数量关系，并说明理由． （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你证明结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点D，E均在边上，且，若，计算的长度． 【变式22-3】如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD (1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系； (2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积． 易错点1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 错误：概念混淆:，轴对称是关于直线的对称，中心对称是关于点的对称。 基础薄弱:缺少常见图形的对称情况认知。 注意：判断轴对称先找对称轴，沿直线折叠验证;，判断中心对称先找对称中心，然后绕中心点旋转180°验证。 判断图形对称性的三步法 1、先试折叠:能重合一轴对称; 2、再试转180°:能重合一中心对称; 3、两步都满足一既是轴对称又是中心对称。 【典例1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(   ) A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ） A． B． C． D． 易错点2 混淆点平移规律和函数平移规律 错误：概念混淆:把点的平移和函数图象平移使用同一套口诀，直接套用，符号、方向全搞反。 认知偏差:不理解函数图象平移与点平移的关系。 基础薄弱，坐标运算、函数变形能力弱。 注意：点平移:往哪边移，坐标就往哪边加减; 函数平移:往哪边移，解析式里反着加减。 【典例2】如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式2-1】在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 技巧01：平移问题的解题技巧 《方法技巧》 坐标系中点的平移遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”。平移前后的三角形全等，对应边平行且相等。利用平移构造平行四边形是常见辅助线思路。 【典例1】如图在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向上平移个单位，向左平移个单位后所得的图形； (2)求平移、、后的对应点的坐标； (3)求平移过程中扫过的面积． 【变式1-1】如图1，已知平面直角坐标系中，点，满足． （1）求的面积； （2）将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，已知直线经过点的横坐标为5． ①求线段平移过程中扫过的面积； ②请说明线段的平移方式，并说明理由； ③如图2，线段上一点，直接写出之间的数量关系． 技巧02：旋转中心的确定方法 《方法技巧》 确定旋转中心的方法:先找到旋转前后图形上的两对对应点，连线后，分别作每对对应点连线的垂直平分线，它们垂直平分线的交点即为旋转中心。 【典例2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转后得到△，其中点，，的对应点分别是点，、，那么旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（    ） A．（1，0） B．（0，0） C．（-1，2） D．（-1，1） 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $