精品解析：北京市十一学校2026届高三下学期5月月考数学试卷

北京十一学校2026届高三数学5月月考试卷 时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 2. 已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ） A. 10 B. 15 C. 30 D. 31 4. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. 3 C. D. 5. 若两条直线：，：与圆 的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 6. 已知且，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） A. 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029年 8. 已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是的“M数列” 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11. 平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 12. 已知，则_______． 13. 在中，，，． （1）若，则________； （2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个． 14. 对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数具有性质．若函数具有性质， （1）若，则______； （2）若，则的取值范围是______． 15. 设函数的定义域为，且不恒为0，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的与不存在； ③若为奇函数，则满足的与存在无数对； ④若为偶函数，则满足的与存在无数对．其中正确的是______（填写序号）． 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若，从下面三个条件中选择一个作为已知条件，使得唯一确定，并求在上的取值范围． 条件①：为偶函数； 条件②：在上单调递减； 条件③：； 18. （工业生产者出厂价格指数）是监测生产端价格与宏观经济的核心指标之一．其核心作用是监测工业生产领域的价格趋势、为宏观政策制定提供依据，同时也能反映工业企业的成本与利益变化、预判产业链价格传导效应．当指数高于100表示环比上涨，低于100表示环比下跌，等于100表示持平． 下表为2025年10个月（1月-10月）的分行业（文教、工美、体育和娱乐用品制造业）、（汽车制造业）、（计算机、通信和其他电子设备制造业）的（环比）： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 分行业 100.3 101.1 99.8 101.7 100.9 100.9 100.2 100.5 101.3 103.3 分行业 100.2 99.9 99.7 99.5 100 100.2 99.7 99.6 99.5 99.8 分行业 99.7 100 99.8 99.8 100.1 99.6 99.6 99.3 99.8 99.7 （1）从这10个月中随机抽取一个月，求该月的分行业的环比上涨的概率； （2）从这10个月中随机抽取三个月，记随机变量为此三个月中分行业和同时环比下跌的月份个数，求的分布列和期望； （3）从1月至4月这4个月中随机抽取两个月，记随机变量为此两个月中一个月环比上涨且另一个月环比下跌的分行业个数，直接写出的期望． 19. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程和焦距； （2）过点的直线与椭圆交于两点，关于轴对称点为，直线，和轴的交点分别为，，求． 20. 已知函数，且是的一个极值点． （1）求实数的值； （2）为的图象上一点，若的图象上存在异于的一点，使得在点处的切线与在点处的切线斜率相等，求的取值范围； （3）已知轴上一点，满足过点的任意一条直线与的图象至多一个公共点，求的最小值． 21. 已知无穷实数列，如果无穷数列满足： ①； ②对任意正整数，是使得成立的最小正整数．其中表示的是不超过的最大整数． 则数列称为的“取整生成数列”， （1）若，，直接写出的“取整生成数列”的前五项； （2）对于无穷实数列，对任意正整数，均有．若无穷数列为的“取整生成数列”， （i）能否为公比不为1的等比数列？若能，求公比的取值范围；若不能，说明理由． （ii）求证：对任意正整数，，均有成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一学校2026届高三数学5月月考试卷 时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合与，再根据维恩图确定阴影部分表示的集合为 ，最后进行集合运算即可. 【详解】由题意， ， ， 图中阴影部分表示的集合为 ，因为 ，全集 ，所以 或， 则 或 或 ，故B正确. 2. 已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到的代数形式，再利用复数模的运算性质求解． 【详解】由题得，， 所以． 3. 已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ） A. 10 B. 15 C. 30 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由是与的等差中项可得，再利用等比数列的通项公式代入求出和，最后利用等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为数列为正项等比数列，设公比为， 又是与的等差中项，所以，即， 解得或（舍去）， 所以由解得， 所以该数列的前5项和， 故选：D 4. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线渐近线方程并代入点坐标，得出，即可求得离心率. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为， 点在上，代入可得， 所以离心率为. 故选：A 5. 若两条直线：，：与圆 的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知两条直线是平行线，因此圆心到它们的距离相等，从而可得结论. 【详解】易知直线，平行，则两条直线截圆所得的弦为矩形的一组对边. 因为矩形的四个顶点都在圆上，所以矩形对角线交点即为圆心， 即圆心到它们的距离相等，且， 所以 ，所以， 即或 ，所以. 6. 已知且，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查对数的运算性质以及基本不等式的应用，解题的关键在于根据对数的运算法则对各选项进行化简，再结合已知条件且进行分析判断. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：取，，，，B错误； 对于C：因为，所以，因为，所以，当时，，此时，，选项C正确； 当时，，根据均值不等式，，因为，故，选项C正确； 对于D：因为，所以，因为，所以， ，选项D正确. 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） A. 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029年 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列出不等式，两边取常用对数，化简求解即可. 【详解】设从2025年开始经过年后算力首次突破7500PetaFLOPS， 则，即， 两边同时取常用对数得，即， 化简得， 因为取整数，所以，， 所以，年首次突破7500PetaFLOPS. 8. 已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意不妨设，举反例结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为平面向量，，，是单位向量，且， 不妨设， 若，例如， 满足，但，即充分性不成立； 若，例如， 满足，但，即，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离． 【详解】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为，所以， 由正方体可得， 所以 ， 解得，即点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为． 10. 若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故A为真命题； 对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故B为真命题； 对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”， 设等差数列的公差为， ∵、均为严格增数列，则，故， 取满足，可知必存在，使得成立， 当时，对任意正整数，则有； 对任意正整数，则有； 故不存在正整数，使得，故C为假命题； 对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故D为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11. 平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线焦点的坐标确定抛物线的标准方程与参数的值，即可求解． 【详解】由焦点位于轴负半轴，可知抛物线的标准方程形式为， 抛物线的焦点坐标为，结合题给焦点坐标列方程：，解得， 所以抛物线的标准方程为． 12. 已知，则_______． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查代数式赋值法求多项式系数和，重难点为特殊值的选取与代入计算. 【详解】把代入得，， 把代入得， ， 故 . 13. 在中，，，． （1）若，则________； （2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可； （2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理，，即， 解得. （2）因为,, 所以当时，方程有两解， 即， 取即可满足条件（答案不唯一） 故答案为：；6. 14. 对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数具有性质．若函数具有性质， （1）若，则______； （2）若，则的取值范围是______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）代入定值直接求方程的解； （2）分结合讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，则， 令，解得，则； （2）①当时，由（1）可得，满足题意； ②当时，若，此时， 而，则， 由，则，此时无解，不满足题意； 若，此时，而 ，则， 由，则 ，要使解的个数为2，则两解都需大于，即； ③当时，当时，，则，而， 由，则，此时方程有无数个解，不满足题意. 综上所述，，则的取值范围是. 15. 设函数的定义域为，且不恒为0，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的与不存在； ③若为奇函数，则满足的与存在无数对； ④若为偶函数，则满足的与存在无数对．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义与运算性质，结合定义域为的任意函数可唯一分解为一个奇函数与一个偶函数之和的结论，逐一分析四个命题判断正误 【详解】对结论①：若为奇函数，，联立， 得 ，不恒为0，仅 成立； 若为偶函数，，联立， 得， 不恒为0，仅成立； 因此与恰有一个成立，①正确。 对结论②： 对任意定义域为的函数， 都可以唯一分解为奇函数​ + 偶函数， 和是否为奇/偶函数无关，因此一定存在，②错误。 对结论③： 对任意非零常数，构造 ，（常数为偶函数）， 满足 ，可取任意非零实数，得到无数对不同的，③正确。 对结论④： 对任意非零常数，构造（奇函数）， ， 因为是偶函数， ，是偶函数， 满足 ，可取任意非零实数，得到无数对不同的，④正确。 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）因为二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又平面平面，，即 ，且 平面，所以 平面 . 因为平面，所以 . 由题意知，是由  翻折得到，且 ,所以，即， 又因为 ，平面，所以 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明 平面，从而得到，结合 即可证明结论； （2）取 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，所以， 分别取 的中点，连接. 因为 ，所以. 又因为平面平面 ，平面 平面，平面 ， 所以平面 .又因为 ，所以. 以 为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 在中，，所以 . 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若，从下面三个条件中选择一个作为已知条件，使得唯一确定，并求在上的取值范围． 条件①：为偶函数； 条件②：在上单调递减； 条件③：； 【答案】（1）最小正周期为，单调增区间为 （2）选择条件①，，在上的取值范围是（选择条件②结果一致，条件③无符合要求的）. 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换将化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的性质求解周期和单调区间即可； （2）先根据所选条件求出，再代入，结合给定区间求三角函数的值域即可. 【小问1详解】 因为， 所以最小正周期为； 令，则， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 ， 若选择条件①：为偶函数 因为为偶函数，所以，得， 因为，所以取，得； 若选择条件②：在上单调递减 因为，则， 若在上单调递减，结合，，所以； 若选择条件③： 因为，所以，因为， 所以，所以不存在； 综上，可选条件①或②，得， 此时， 当时，， ，所以. 18. （工业生产者出厂价格指数）是监测生产端价格与宏观经济的核心指标之一．其核心作用是监测工业生产领域的价格趋势、为宏观政策制定提供依据，同时也能反映工业企业的成本与利益变化、预判产业链价格传导效应．当指数高于100表示环比上涨，低于100表示环比下跌，等于100表示持平． 下表为2025年10个月（1月-10月）的分行业（文教、工美、体育和娱乐用品制造业）、（汽车制造业）、（计算机、通信和其他电子设备制造业）的（环比）： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 分行业 100.3 101.1 99.8 101.7 100.9 100.9 100.2 100.5 101.3 103.3 分行业 100.2 99.9 99.7 99.5 100 100.2 99.7 99.6 99.5 99.8 分行业 99.7 100 99.8 99.8 100.1 99.6 99.6 99.3 99.8 99.7 （1）从这10个月中随机抽取一个月，求该月的分行业的环比上涨的概率； （2）从这10个月中随机抽取三个月，记随机变量为此三个月中分行业和同时环比下跌的月份个数，求的分布列和期望； （3）从1月至4月这4个月中随机抽取两个月，记随机变量为此两个月中一个月环比上涨且另一个月环比下跌的分行业个数，直接写出的期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）先统计行业的指数高于100的月份，进而根据古典概型公式即可求概率； （2）先确定分行业和同时环比下跌的月份总数，从而得到随机变量的取值，再结合超几何分布，计算各取值的概率，从而得到分布列，再求解期望即可； （3）先分别计算出三个行业满足“抽取两个月，恰好一涨一跌”的概率，再利用期望线性性，进而求出其期望． 【小问1详解】 由分行业的环比上涨的月份有1月和6月，共2个月， 所以该月的分行业的环比上涨的概率为． 【小问2详解】 由分行业和的指数同时环比下跌的月份有3月、4月、7月、8月、9月和10月，共6个月， 则随机变量的取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 故期望为． 【小问3详解】 以下为各行业1-4月的涨跌情况， 分行业：3个月上涨，1个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为； 分行业：1个月上涨，3个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为； 分行业：1个月持平，3个月下跌，则抽取两个月，恰好一涨一跌的概率为 ， 又由期望的线性性，所以的期望为 ． 19. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程和焦距； （2）过点的直线与椭圆交于两点，关于轴对称点为，直线，和轴的交点分别为，，求． 【答案】（1），焦距为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及点，列方程组求解即可； （2）设直线，联立得到，，进而得到、，再根据计算即可． 【小问1详解】 根据题意可得，解得， 所以椭圆的方程为，焦距为； 【小问2详解】 根据题意直线的斜率存在，设方程为， 即，，，则， 联立， 整理得， ，， 直线的方程为，令，可得点纵坐标， 直线的方程为，令，可得点纵坐标， 则 ， 所以． 20. 已知函数，且是的一个极值点． （1）求实数的值； （2）为的图象上一点，若的图象上存在异于的一点，使得在点处的切线与在点处的切线斜率相等，求的取值范围； （3）已知轴上一点，满足过点的任意一条直线与的图象至多一个公共点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数值为0的性质，将代入导函数列方程求解得到的值； （2）将切线斜率相等转化为导函数方程 存在异于的正实根，结合导函数的单调性与值域分析推导得到的取值范围； （3）将题目条件转化为对任意斜率，方程至多有一个实根，结合的单调性与凹凸性分析，推导得到的最小值. 【小问1详解】 函数定义域为，求导得： ， 因为是极值点，故，代入得： ； 【小问2详解】 由（1）得​，切线斜率相等即存在 ，使得， 设，问题转化为存在不等于的正根，求的范围， 令得： 当时，，单调递减，当​时，，单调递增， 故最小值为， 当即 时，可得，仅有唯一解； 当时，存在两个不同的解，其中一个解在区间，另一个解在区间. 故的取值范围为 . 【小问3详解】 任意过的直线与至多一个交点，即不存在割线穿过， 等价于大于等于所有曲线的切线在轴截距的最大值， 对任意点，切线方程为： ， 令得切线在轴截距为，令，则， 令 得， 在递增，递减，故最大值为 故的最小值为​​. 21. 已知无穷实数列，如果无穷数列满足： ①； ②对任意正整数，是使得成立的最小正整数．其中表示的是不超过的最大整数． 则数列称为的“取整生成数列”， （1）若，，直接写出的“取整生成数列”的前五项； （2）对于无穷实数列，对任意正整数，均有．若无穷数列为的“取整生成数列”， （i）能否为公比不为1的等比数列？若能，求公比的取值范围；若不能，说明理由． （ii）求证：对任意正整数，，均有成立． 【答案】（1） （2）（i）不能，理由如下： 假设是公比为的等比数列，因为对任意正整数， 均有，所以首项且，若， 则当时， ，不合题意，因此， 记数列的前项和为，则 ， 同时，因为，所以 ， 依定义是使得成立的最小正整数， 也即是使得成立的最小正整数， 结合 可得，即， 因为是一个整数列，所以当时， ， 同时又有，所以也只能趋于无穷大，这与 矛盾， 故不能为公比不为1的等比数列； （ii）当时，前述分析已知，又是整数列， 所以，结论成立； 假设当结论成立，即有成立， 当时，考虑， 因为是使得成立的最小正整数，则， 同时因为，所以， 即，而是使得成立的最小正整数， 所以 ，因为是整数列，故， 说明当时结论依然成立， 由数学归纳法可知，对任意正整数，，均有成立． 【解析】 【分析】（1）首先得到的前项和，然后依定义从出发递推即可得到前五项； （2）（i）根据判断出从而有，同时又有 ，结合可得，因此将趋于无穷大，也将趋于无穷大，矛盾；（ii）运用数学归纳法进行证明，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，通过分析证明时结论也成立. 【小问1详解】 数列的前项和为，已知， 且是使得成立也即满足 的最小正整数， 解 得，故， 解 得，故； 解 得，故； 解 得，故， 所以的“取整生成数列”的前五项依次为 . 【小问2详解】 （i）略；（ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $