命题大赛 四川省仁寿一中北校区2025-2026学年高一数学下学期第三次月考模拟试题

**基本信息** 这份高一下学期月考试卷以原创题和文化情境为特色，如奎星阁高度估算题，融合复数、立体几何等知识，通过分层设计考查数学眼光与逻辑推理，适配阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、线面关系|原创题考查虚部概念，基础巩固| |多选|3/18|向量性质、三角形判断|结合对称性考查向量数量积，能力提升| |填空|3/15|异面直线角、文化应用|奎星阁问题体现数学语言表达现实世界| |解答|5/77|立体几何证明、解三角形|三棱柱二面角计算（逻辑推理），托勒密定理应用（创新意识）|

二诊考试数学 四川省仁寿一中北校区2025-2026学年度下学期高一数学第三次月考试命题双向细目表 内容板块 具体内容 题型 题号 分值 难度预估 预估分 评价要求 了解 理解 掌握 权重比例 复数 复数的概念（原创题） 选择题 1 5 0.95 4.75 √ 5分（3%） 三角函数及其恒等变换 三角函数的和差公式 选择题 2 5 0.90 4.5 √ 15分（10%） 三角函数的倍角公式（原创题） 填空题 12 5 0.90 √ 解三角形（情境+原创题） 填空题 14 5 0.70 3.5 √ 平面向量与正余弦定理 平面向量的投影向量 选择题 4 5 0.90 4.5 √ 88分（59%） 平面向量的线性运算 选择题 6 5 0.85 √ 平面向量的坐标运算 选择题 9 6 0.85 5.1 √ 解三角形 选择题 10 6 0.75 4.5 √ 平面向量的数量积（情境试题） 选择题 11 6 0.60 √ 平面向量的坐标运算 解答题 15 13 0.85 √ 解三角形 解答题 16 15 0.75 √ 平面向量与解三角形 解答题 17 15 0.65 √ 解三角形与面积（数学文化情境） 解答题 19 17 0.55 √ 空间立体几何 直线与平面位置关系 选择题 3 5 0.90 4.5 √ 42分（28%） 空间几何体圆锥的体积 选择题 5 5 0.85 √ 球的内接几何体的体积 选择题 7 5 0.75 3.75 √ 空间几何体的内切（情境试题） 选择题 8 5 0.55 √ 异面直线所成的角 填空题 13 5 0.80 √ 空间立体几何垂直与二面角 解答题 18 17 0.65 11.05 √ 统计百分比 150 0.75 33.4 33 64 53 100% 打分板 成都市2022级高三二诊考试数学网上评卷题组切分计划 切分 题组号 阅卷任务（题号） 打分板 分值 分值区间 1 一 三、12～14 3 15 均为0～5； 2 二 四、15 2 13 （1）0～6，（2）0～7； 3 三 四、16 3 15 （1）0～4，（2）0～5，（3）0～6； 4 四 四、17 2 15 （1）0～6，（2）0～9； 5 五 四、18 3 17 （1）0～4，（2）0～6，（3）0～7； 6 六 四、19 3 17 （1）0～4，（2）0～6，（3）0～7； 【注】 1.打分板分值设置最小单位为1分。 2.多选题中，（1）如果选项为三个，则按照0-2-4-6给分，即有选错的给零分，选对一个给2分，选对2个给4分，三个全部选对给6分；（2）如果选项为二个，则按照0-3-6给分，即有选错的给零分，选对一个给3分，二个全部选对给6分。 $ 四川省仁寿一中北校区2025-2026学年度高一下学期第三次月考试数学试卷答案及解析 命题人：唐永帅 （人教A版必修一第五章部分+必修二第六章--第八章） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（原创题）设复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为复数满足，则，所以的虚部为. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式，且，得， 根据正弦和角公式. 3. 已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 【答案】B 4. 已知，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为满足，且， 所以，向量在向量上的投影向量为. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 6．如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】， 因为，，所以， 又，，三点共线，所以，由于，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立.故的最小值为.故选：B 7. 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为，则， 所以.故选：A. 8. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】设储物盒所在球的半径为，如图， 小球最大半径满足，所以，正方体的最大棱长满足，解得，所以 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9．已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与同向的单位向量为 D．若，则 【答案】AC 【解析】若，则，，所以，A正确； 若，则，解得，B错误； 若，则，所以与同向的单位向量为，C正确； ，，由，得，解得，D错误．故选AC． 10. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 【答案】BD【详解】选项A，在中由大边对大角可知若，则， 又由正弦定理可得，故A说法正确； 选项B，若，则由正弦定理边化角可得， 即，所以或，整理得或， 所以是等腰三角形或直角三角形，B说法错误； 选项C，因为，所以由正弦定理可得， 所以角有两个值，此时符合条件的有两个，C说法正确； 选项D，若，则由正弦定理角化边可得， 所以，即角是钝角，所以是钝角三角形，D说法错误； 11. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感，已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. 4 B. 1 C. 8 D. 18 【答案】ABC 【详解】取中点为，连接，以原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 则， 因为，所以两圆的半径均为，圆心分别是和， 所以，所以， 所以的值可能是，故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（原创题）求值：__________. 【答案】【详解】.故答案为：. 13. 长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为__________. 【详解】连接， 所以异面直线与所成角是异面直线与所成角是，因为，所以， 所以，所以. 14.（原创题）四川省仁寿县奎星阁，始建于1736年，是由弥座，阁身，宝顶三部分组成的四重檐八面体攒尖式，纯木楼阁式建筑，是四川省级文物保护单位，某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M的仰角为，建筑物顶部A的仰角为，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为__________. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】（1）； （2）. 解：（1）方法一：由题意得，，， ∵，∴，解得. ……6分 方法二：由题意得，，不平行，设， 则，∴，解得. ……6分 （2） 由题意得，，∵， ∴，解得. ……13分 16．（15分）如图，在平面四边形中，，，的面积为． （1）求的长； （2）若，，求的长． 解：（1）因为，，的面积为， 所以，所以． ……2分 在中，由余弦定理得， 所以． ……6分 （2）由（1）知在中，，，，所以． 因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得，即，所以． ……15分 17. （15分）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围； （3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 解：（1）由题意，又，所以．又，所以或，所以. ……3分 （3） 因为，，由正弦定理得：， 则，，易知， ……5分 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． ……8分 所以，所以，则． 所以的取值范围是． ……10分 （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以，两边平方得：， 代入并整理：，由余弦定理：， 所以． ……15分 18．（17分）如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面． （1）求证：； （2）当，直线与平面所成角为时， （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求二面角的正弦值． 【详解】（1）因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，由三棱柱性质得四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以。 ……5分 （2）（i）当时，因为，所以，所以，由（1）平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； ……10分 （ii）因为平面，平面， 所以直线与平面所成的角为，所以， 因为，且，，， 故，作交于， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，作交于，连接， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，所以是二面角的平面角， 因为即，所以， 因为即，所以， 所以，所以二面角的正弦值为。.……17分 19.（17分）如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形设. （1）当时，求四边形OACB的周长； （2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求 （3）当B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为 【小问1详解】在中，由余弦定理得 ， 即，于是四边形OACB的周长为； ……4分 【小问2详解】因为，且为等边三角形，，， 所以，所以，即OC的最大值为3，取等号时， 所以，不妨设，则， 解得，所以，所以； ……10分 【小问3详解】在中，由余弦定理得， 所以，，于是四边形OACB的面积为 ， 当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为， 所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为……17分 高一（下）月考数学试卷第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省仁寿一中北校区2025---2026学年度高一下学期第三次月考试数学试卷 命题人：唐永帅 （人教A版必修一第五章部分+必修二第六章--第八章） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（原创题）设复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 4. 已知，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 6．如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（     ） A． B． C．3 D．4 7. 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与同向的单位向量为 D．若，则 10. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 11. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感，已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. 4 B. 1 C. 8 D. 18 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（原创题）求值：__________. 13. 长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为__________. 14.（原创题）四川省仁寿县奎星阁，始建于1736年，是由弥座，阁身，宝顶三部分组成的四重檐八面体攒尖式，纯木楼阁式建筑，是四川省级文物保护单位，某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M的仰角为，建筑物顶部A的仰角为，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.（13分）已知向量 (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数m的值． 16. （15分）如图，在平面四边形中，，，的面积为 （1）求的长； （2）若，，求的长． 17. （15分）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且 （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围； （3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 18.（17分）如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面 （1）求证：； （2）当，直线与平面所成角为时， （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）求二面角的正弦值． 19.（17分）如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形，设 （1）当时，求四边形OACB的周长； （2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求 （3）当B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值． 高一（下）月考数学试卷第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $