16.3.2.1完全平方公式（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，核心内容包括完全平方和与差公式、记忆口诀、公式特征及变形公式。课堂导入通过正方形农田边长增加问题，引导学生从直接求总面积\((a+b)^2\)和间接求各部分面积和\(a^2+2ab+b^2\)建立联系，衔接整式乘法基础，构建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，通过图形面积分割验证公式，结合多项式乘法推导规律，培养学生数学思维。设置简便计算（如\(99^2\)、\(101^2\)）、变形公式应用等实例，强化运算能力与模型意识。易错总结与分层练习帮助学生深化理解，教师可借助系统例题与解析提升教学效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 16.3.2.1完全平方公式 第十六章 整式的乘法 16.3.2.1 完全平方公式 练习题 【核心知识点回顾】 1. 两大核心完全平方公式（必考） 完全平方和公式：$$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$ 完全平方差公式：$$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$ 2. 万能记忆口诀 首平方，尾平方，首尾两倍放中央，同号得正，异号得负。 3. 公式特征 ① 左边：两个相同的二项式相乘（和或差的平方）； ② 右边：三项式，分别是首项平方、尾项平方、首尾乘积的2倍； ③ $$a、b$$可以是数字、字母、单项式。 4. 重点常用变形公式 $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$ $$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$ $$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$ 5. 极易混淆区分 平方差：展开两项$$a^2-b^2$$；完全平方：展开三项，一定有中间2ab项。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 计算$$(x+2)^2$$的结果是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2+2x+4$$ C. $$x^2+4x+4$$ D. $$x^2-4$$ 2. 计算$$(2x-1)^2$$正确的是（） A. $$4x^2-1$$ B. $$4x^2-4x+1$$ C. $$2x^2-2x+1$$ D. $$4x^2-2x+1$$ 3. $$a^2+b^2$$可变形为（） A. $$(a+b)^2-2ab$$ B. $$(a-b)^2-2ab$$ C. $$(a+b)^2+2ab$$ D. $$(a+b)^2-ab$$ 4. 若$$(x+m)^2=x^2+6x+9$$，则$$m$$的值为（） A. 3 B. 6 C. 9 D. -3 5. 完全平方公式展开后共有几项（） A. 1项 B. 2项 C. 3项 D. 4项 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. $$(a+b)^2=$$________。 2. $$(a-b)^2=$$________。 3. $$(x-5)^2=$$________。 4. $$(3x+2)^2=$$________。 5. $$x^2+8x+16=$$(________)$$^2$$。 ### 三、解答题（共60分） 1.（24分）运用完全平方公式计算： （1）$$(x+6)^2$$ （2）$$(y-4)^2$$ （3）$$(3a+2b)^2$$ （4）$$(4x-5y)^2$$ 2.（18分）利用完全平方公式简便计算： （1）$$99^2$$ （2）$$101^2$$ 3.（18分）先化简，再求值：$$(x+1)^2-(x-2)(x+2)$$，其中$$x=-1$$。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 填空题答案：1.$$a^2+2ab+b^2$$ 2.$$a^2-2ab+b^2$$ 3.$$x^2-10x+25$$ 4.$$9x^2+12x+4$$ 5.$$x+4$$ 解答题解析 1. 解：（1）原式$$=x^2+12x+36$$； （2）原式$$=y^2-8y+16$$； （3）原式$$=(3a)^2+2\cdot3a\cdot2b+(2b)^2=9a^2+12ab+4b^2$$； （4）原式$$=(4x)^2-2\cdot4x\cdot5y+(5y)^2=16x^2-40xy+25y^2$$。 2. 解：（1）原式$$=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801$$； （2）原式$$=(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=10000+200+1=10201$$。 3. 解：原式$$=x^2+2x+1-(x^2-4)=x^2+2x+1-x^2+4=2x+5$$， 代入$$x=-1$$，原式$$=2\times(-1)+5=3$$。 易错知识总结 1. 最经典错误：$$(a\pm b)^2 eq a^2\pm b^2$$，必须保留中间$$2ab$$项；2. 首项、尾项有系数时要整体平方，如$$(3x)^2=9x^2$$；3. 中间项符号由原式括号内符号决定；4. 完全平方和平方差公式混淆，看清题目是“平方”还是“和乘差”。 理解完全平方公式，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想； 能利用公式进行简单的计算和推理，发展运算能力. 相等 新课导入 一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？ a b b a 直接求：总面积 = 间接求：总面积 = ab b2 a2 ab (a + b)2 a2 + 2ab + b2 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2=(p+1)(p+1)= ; （2）(m+2)2=( )( )= ; （3）(p-1)2 =( )( )= ; （4）(m-2)2=( )( )= . p2+2p+1 m2+4m+4 p2-2p+1 m2-4m+4 m+2 m+2 p-1 p-1 m-2 m-2 问题1 比较式子等号的左右两边， 你发现了什么规律吗？ (1)两个公式等号左边：都是一个二项式的完全平方，一个是和的完全平方，一个是差的完全平方. (2)两个公式等号右边：都是一个二次三项式，首项和尾项分别是二项式中两项的平方，中间一项是（加或减）二项式中两项乘积的2倍. 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= . a2+2ab+b2 (a–b)2= . a2–2ab+b2 验证形如(a±b)2的多项式相乘： (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2. 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式. 首平方，尾平方，首尾二倍放中央. 思考 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗? (a+b)2=a2+2ab+b2. ab b2 a2 ab (a-b)b b2 (a-b)2 (a-b)b (a-b)2=a2-2(a-b)b-b2 =a2-2ab+b2. 例1 运用完全平方公式计算： （1）(4m+n)2； （2）(y-)2 .　 解：（1）(4m+n)2 =(4m)2+2∙(4m)∙n+n2 =16m2+8mn+n2. 首平方，尾平方，首尾二倍放中央. 例1 运用完全平方公式计算： （1）(4m+n)2； （2）(y-)2 .　 （2）(y-)2 =y2-2××y+()2 =y2-y+. 解：（1）(4m+n)2 =(4m)2+2∙(4m)∙n+n2 =16m2+8mn+n2. 首平方，尾平方，首尾二倍放中央. 例2 运用完全平方公式计算： （1）1022； （2）992 .　 解：（1）1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10404. （2）992 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =9801. 思考 （1）(a+b)2与(-a-b)2相等吗？ （2）(a-b)2与(b-a)2相等吗？ （3）(a-b)2与a2-b2相等吗？ (-a-b)2=[-(a+b)]2=(-1)2(a+b)2=(a+b)2. (a-b)2=[-(b-a)]2=(-1)2(b-a)2=(b-a)2. (a-b)2-(a2-b2)=2b2-2ab. 当两式相等时，可得2b2-2ab=0，即b2=ab. 所以当a=b或b=0时，(a-b)2=a2-b2；当a≠b且b≠0时，(a-b)2≠a2-b2. 1. 给出下列算式： ； ； ； .其中错误的 有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 14 2. 如果,则 的值是( ) A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【点拨】 , , , . D 返回 中考考法 3. 如图，可验证的乘法公式是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 16 4.若，则 的值为____. 5.若，则代数式 为______. 6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式 的值是___. 8 返回 中考考法 17 7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 中考考法 18 利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆 成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式： 一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整 千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真 分数的和或差. . . . . . . 返回 中考考法 19 8.（1）解方程： ; 【解】 ， ， ， ， . 中考考法 20 （2）计算： . . 返回 中考考法 21 9. 母题教材P117习题 一个正方形的边长少了 ，它的 面积就减少了 ，那么这个正方形的边长为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 22 10. 母题母题 若，，则 ( ) A. 52 B. 50 C. 45 D. 60 【点拨】, . A 返回 中考考法 11.设，， ，若 ，则 的值是____. 16 【点拨】，，，.又， . 返回 中考考法 24 完全平方公式 注意 内容 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 1.项数、符号、字母及其指数. 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行. 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面). (a±b)2= a2±2ab+b2. $