广东广州市第十六中学2025-2026学年高三年级考前教学质量检测数学（问卷）

**基本信息** 2025学年广州十六中高三三测数学卷，以函数、数列、立体几何等核心知识为载体，通过骰子游戏、数学文化节等生活情境及弹簧振动科学情境，考查数学眼光、思维与语言，适配高考冲刺阶段能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|充分条件、数列公比、复数、向量三角形、统计量等|结合星期推算、骰子统计量考查应用意识| |多选题|3题|三角函数、函数导数、数列性质|弹簧振动问题融合几何直观与数学建模| |填空题|3题|双曲线、轨迹方程、函数取值范围|轨迹方程题体现空间观念与抽象能力| |解答题|5题|函数单调性、解三角形、椭圆与圆、概率统计、空间几何|数学文化节概率题考查数据观念，空间几何题综合逻辑推理与创新意识，贴合高考命题趋势|

2025学年广州市第十六中学高三年级教学质量检测（三测） 数学（问卷） 一、单选题 1．设，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 3．已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．若非零向量与满足，且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 5．已知数列A：，，…，，，，设，若或2，则满足条件的不同数列的个数为（    ） A．7 B．21 C．35 D．70 6．已知三点，点P在圆上运动，则的最大值是（    ） A．144 B．88 C．72 D．32 7．今天是星期四，再过天是星期几（    ） A．星期天 B．星期一 C．星期二 D．星期三 8．小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数。根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（ ）同学不用上台表演。 A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 二、多选题 9．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 10．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 11．已知数列各项均为正数，其前n项和满足．，则（   ） A．的第2项小于3；    B．为等比数列； C．为递减数列；       D．中存在小于的项． 三、填空题 12．已知双曲线的离心率为分别是的左、右焦点，是上一点，且，则__________. 13．如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为____________． 14．设，当时，的取值范围是________；当x取一般值时的取值范围是_________． 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 16．在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 17．矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． (1)求的方程； (2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 18．某校举办“数学文化节”，设有个不同主题的展区（），每个展区有唯一的主题编号，分别为1，2，…，.游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为. (1)当时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率； (2)当时，求参观者获得纪念章枚数的分布列和数学期望； (3)设为个展区时参观者获得纪念章枚数的期望值，求关于的表达式，并证明是递增数列. 19．在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，，，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合中所有点构成的几何体为. ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出的面数和棱数. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1．A 2．C 【详解】已知，则数列的公比为，故C正确. 3．A 【详解】由题知，， 所以. 4．D 【详解】因为分别为与同向的单位向量， 因为，可知的角平分线与BC垂直，则， 又因为，即， 且，则，所以是等边三角形. 故选：D. 5．C 【详解】，设差值中有个1和个2， 则，解得：，. 3个1和4个2进行排序，一共有. 6．B 【详解】设， 因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取的最大值88， 故选：B 7．B 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期四，再过天，是星期一. 8．C 【详解】若小吴的5个点数分别是，满足选项A； 若小温的5个点数分别是，满足选项B； 若小龙的5个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若小蔡的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，因此小蔡不会出现点数6， 故选：C． 9．ABC 【详解】对于A,由题意可得当时，， 故小球在开始振动时的位置在；故A正确； 对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为； 故B正确； 对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确； 对于D,由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确. 故选：ABC． 10．BCD 【详解】因为奇函数关于对称，所以，所以，所以为偶函数， 因为，则, 又因为奇函数，所以为偶函数，所以， 所以，A选项错误； 因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，B选项正确； 因为，又因为，所以，所以 所以，C选项正确； 因为，所以，D选项正确. 故选：BCD. 11．ACD 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，A对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，B错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，C对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，D对. 故选：ACD. 12．9 【详解】由题知：，解得. 由双曲线定义知：， ，，或， 又，故不满足， . 故答案为：9. 13． 14． 15．【详解】（1）当时，，定义域为， ，令， 则，故即在上单调递增， 又时，时， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）证明：当时， 令，则， 令 在单调递增，又， ，使得，且是在上的唯一零点， 在上为负，在上为正， 故在处取到极小值，也就是最小值. ，即，， 当时，. 16．【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 由，则， 即, 而，故， 又， 所以 （2）由（1）可得， 即， 设的内心为，即， 故. 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以的周长为 因为， 所以， 所以， 所以， 故的周长取值范围为. 17．【详解】（1）依题意，，，则，，半焦距， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，以为直径的圆的方程为， 当点是矩形的顶点时，均与坐标轴垂直，此时； 当点不是矩形的顶点时，设点的坐标为，直线， 由消去得：， 由， 化简得， 设直线的方程为，同理得：， 于是是关于的一元二次方程的两根， 则，， 又，因此，则，即， 所以是直角三角形.    18．【详解】（1）记事件为“参观者仅获得1枚纪念章”， 当时，展区编号为1，2，3，奇数有1，3；偶数有2，全排列共种， 两个数之和为奇数当且仅当两个数一奇一偶， 枚举所有排列：123，132，213，231，312，321， 其中满足连续两个数之和为奇数的次数是1的有132，213，231，312， 所以. （2）当时，编号1，2，3，4，奇数有1，3；偶数有2，4，全排列共种， 由题意知的可能取值为1，2，3， 当获得1枚纪念章时，奇偶序列为奇奇偶偶，偶偶奇奇， 概率为， 当获得2枚纪念章时，奇偶序列为偶奇奇偶，奇偶偶奇， 概率为， 当获得3枚纪念章时，奇偶序列为奇偶奇偶，偶奇偶奇， 概率为， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. （3）个展区中有个奇数编号，个偶数编号， 相邻的两个位置看作1对，则共有对，定义变量如下： 当第（）对中的两个数字之和为奇数时，为偶数时， 则. 所以， 因为的取值只有0与1两个， 所以， 即第组的两个数一个为偶数、一个为奇数的概率， 从个数据中任选2个数据排列，共有种可能， 当为偶数时，则偶数与奇数各有个，所以， ， 当为奇数时，偶数有个，奇数有个， 所以， . 所以 证明递增： 当为偶数时，，， ，所以. 当为奇数时，，， ，所以. 因此是递增数列. 19．【详解】（1）集合表示平面上所有的点， 表示这八个顶点形成的正方体内所有的点， 而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此. 对于，当时， 表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知Q表示，， 这六个顶点形成的正八面体内所有的点. 而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点. 它是边长为的正方形，因此. （2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，； 考虑集合的子集； 即为三个坐标平面与围成的四面体. 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为 由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ， 显然为两个几何体公共部分， 记，，，. 容易验证，，在平面上，同时也在的底面上. 则为截去三棱锥所剩下的部分. 的体积，三棱锥的体积为. 故的体积. 当由对称性知，. （3） 如图所示，即为所构成的图形. 其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥， 其中到面的距离为， ，. 由题意面方程为，由题干定义知其法向量 面方程为，由题干定义知其法向量 故. 由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为. 由图可知共有12个面，24条棱. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $