第33讲 正、余弦定理的应用举例 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形实际应用，以分层训练构建从基础测量到复杂情境的知识逻辑链，强化数学建模与实际问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础保分练|8题|单一情境测量（距离/高度/角度），涉及方向角、仰角等概念|从基本概念（方向角、坡度）到正弦定理、余弦定理直接应用，形成"情境抽象→定理选择→计算求解"的逻辑链条| |能力提升练|4题|多监测点、正三角形等复杂情境，需综合几何关系与定理|在基础应用上拓展，融入多三角形关联、实际数据处理，体现"复杂问题分解→模型构建→综合运算"的进阶逻辑|

[A组　基础保分练] 1.如图,设A,B两点在河的两岸,在点A所在河岸边选一定点C,测得AC的距离为50 m,∠ACB=30°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离是 (　　) A.25 m　　　　　　　 B.50 m C.25 m D.50 m 答案:A 解析:在△ABC中,∠ACB=30°,∠CAB=105°, 所以∠ABC=180°-30°-105°=45°, 由正弦定理=, 得AB====25(m). 2.(2026·山西太原模拟)已知一个足球场地是南北走向.在一次进攻时,某运动员从点A处开始带球沿正北方向行进16m到达B处,再转向北偏东60°方向行进24m到达C处,然后起脚射门,则A,C两点间的距离为 (　　) A.8m B.8m C.32m D.8m 答案:D 解析:如图,根据题意可知,AB=16米,BC=24米,∠ABC=120°, 由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=162+242-2×16×24×(-),解得AC=8(米). 3.(2026·贵州贵阳模拟)某研究小组为测量某建筑最高点A离地面的高度,选取了与该建筑底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2 m,在点C处测得该建筑顶端A的仰角为72.4°,则该建筑的高度约为(参考数据:tan 72.4°≈3.15,sin 53°≈0.80)(　　) A.18 m B.20 m C.22 m D.24 m 答案:C 解析:由题意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°, 所以∠CBD=127°. 又因为CD=11.2 m, 由正弦定理=, 可得=,又sin 127°=sin(180°-53°)=sin 53°,则CB≈7 m. 又因为∠ACB=72.4°,所以AB=CBtan∠ACB≈7×3.15=22.05≈22(m). 4.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°(A,B,C在同一铅垂平面内).若CD=50 m,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ= (　　) A. B. C.-1 D.-1 答案:C 解析:因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,又sin 15°=, 在△ABC中,由正弦定理可得=,解得BC=50(-), 在△BCD中,由正弦定理可得=,解得sin∠BDC=-1, 即sin(θ+90°)=-1,所以cos θ=-1. 5.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,其中第一道题目是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若ED=GF=4,EG=15,EH=8,GC=13,则海岛的高AB为 (　　) A.16 B.24 C.32 D.40 答案:A 解析:设AE=x, 在△ABH中,==⇒=,① 在△ABC中,==⇒==⇒=,② 由①②可得⇒ 6.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是 (　　) A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C.灯塔C在D处的南偏西30°方向 D.D处在灯塔B的北偏西30°方向 答案:AC 解析:在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,AB=12, 则∠B=45°,由正弦定理得AD===24, ∴A处与D处之间的距离为24 n mile,故A正确; 在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°, 又AC=8,解得CD=8,∴灯塔C与D处之间的距离为8 n mile,故B错误; ∵AC=CD=8,∴∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的南偏西30°方向,故C正确; 灯塔B在D处的南偏东60°方向,D处在灯塔B的北偏西60°方向,故D错误. 7.(多选)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,从D处往正东方向行驶30n mile至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是 (　　) A.∠CAD=60° B.A,D之间的距离为15n mile C.A,B两处岛屿间的距离为15n mile D.B,D之间的距离为30n mile 答案:BC 解析:由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°, 所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误; ∠ADB=15°+45°=60°, 在△ACD中,由正弦定理得=,得AD==15(n mile),故B正确; 在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=30≠30(n mile),故D错误; 在△ABD中,由余弦定理得, AB== =15(n mile),故C正确. 8.如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救,甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°且与甲船相距10 n mile的C处的乙船,乙船也立即朝着渔船前往营救,则sin∠ACB=　　　　.  答案: 解析:由题意得∠CAB=120°,AC=10,AB=20, 由余弦定理得,CB2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=700,∴CB=10, 由正弦定理得,=,即=,解得sin∠ACB=. 9.(2026·河南南阳模拟)如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km,求x的值; (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到0.01 km) 解:(1)依题意,得 PA-PB=1.5×8=12(km), PC-PB=1.5×20=30(km),所以 PB=(x-12)km,PC=(x+18)km.在△PAB 中,AB=20 km, 由余弦定理得cos∠PAB===. 同理在 △PAC 中,cos∠PAC=. 由于 cos∠PAB=cos∠PAC,所以 =,解得 x=. (2)作 PD⊥a,垂足为 D,在 Rt△PDA 中, PD=PA·cos∠APD=PA·cos∠PAB=x·≈17.71(km). 所以目标 P 到海防警戒线a的距离为 17.71 km. 10.为了测绘海面上一座活火山顶点E的高度,测绘船围绕活火山展开测量,如图为测绘活动的俯视图,在测绘船的路线中,三个观测点A,B,C恰好构成正三角形,点D为火山口在俯视图中的位置.已知从A,B,C三点测量点E的仰角的正切值分别为,,. (1)求∠BDA的正弦值; (2)若正三角形ABC的边长为a,求火山顶点E的高度. 解:(1)取线段AC的中点F,连接BF,DF,设火山顶点E的高度为h, 则依题意可知AD=CD=3h,BD=4h. ∵AD=CD,AB=CB, ∴DF⊥AC,BF⊥AC,且BF平分∠ABC, ∴B,D,F三点共线,∴∠ABD=∠ABC=, 由正弦定理可知sin∠BAD=·sin∠ABD=·=, ∴cos∠BAD==, ∴sin∠BDA=sin(π-∠BAD-∠ABD) =sin(∠BAD+∠ABD) =sin∠BADcos∠ABD+cos∠BADsin∠ABD =·+· =. (2)在△ABD中,由正弦定理可知,=, ∴AD=AB·=a·=(2-)a, 即3h=(2-)a,∴h=a. [B组　能力提升练] 11.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角α为45°,沿倾斜角β为15°的斜坡向上直走100m到达B处,在B处测得山顶P的仰角γ为60°,则山的高度PQ为 (　　) (参考数据:sin 15°=) A.50(+)m B.50(+1) m C.100(+1) m D.120 m 答案:A 解析:依题意,∠PAQ=45°,∠BAQ=15°,则∠PAB=30°,∠APQ=45°, 又∠PBC=60°,则∠BPC=30°,即有∠APB=15°,∠ABP=135°, 在△ABP中,AB=100,由正弦定理=, 得AP====100(+1), 在Rt△PAQ中,PQ=APsin 45°=100(+1)·=50(+), 所以山的高度PQ为50(+) m. 12.在某海域开展的海上演习中,我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰A位于B市的南偏西25°方向上,且在C岛的北偏西58°方向上,B市在C岛的北偏西28°方向上,且距离C岛248 km,此时,我方军舰沿着AC方向以50 km/h的速度航行,则我方军舰到达C岛大约需要　　　　h.(参考数据:≈1.73,sin 53°≈,cos 53°≈)  答案:4 解析:设我方军舰大约需要x h到达C岛,则AC=50x, 依题意,∠ABC=28°+25°=53°,∠ACB=58°-28°=30°,BC=248 km, 在△ABC中,sin∠BAC=sin(53°+30°)=sin 53°·cos 30°+cos 53°sin 30°≈×+×=≈=0.992, 由正弦定理得=,即≈,解得x≈4, 所以我方军舰大约需要4 h到达C岛. 学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.如图,设A,B两点在河的两岸,在点A所在河岸边选一定点C,测得AC的距离为50 m,∠ACB=30°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离是 (　　) A.25 m　　　　　　　 B.50 m C.25 m D.50 m 2.(2026·山西太原模拟)已知一个足球场地是南北走向.在一次进攻时,某运动员从点A处开始带球沿正北方向行进16m到达B处,再转向北偏东60°方向行进24m到达C处,然后起脚射门,则A,C两点间的距离为 (　　) A.8m B.8m C.32m D.8m 3.(2026·贵州贵阳模拟)某研究小组为测量某建筑最高点A离地面的高度,选取了与该建筑底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2 m,在点C处测得该建筑顶端A的仰角为72.4°,则该建筑的高度约为(参考数据:tan 72.4°≈3.15,sin 53°≈0.80)(　　) A.18 m B.20 m C.22 m D.24 m 4.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°(A,B,C在同一铅垂平面内).若CD=50 m,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ= (　　) A. B. C.-1 D.-1 5.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,其中第一道题目是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若ED=GF=4,EG=15,EH=8,GC=13,则海岛的高AB为 (　　) A.16 B.24 C.32 D.40 6.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是 (　　) A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C.灯塔C在D处的南偏西30°方向 D.D处在灯塔B的北偏西30°方向 7.(多选)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,从D处往正东方向行驶30n mile至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是 (　　) A.∠CAD=60° B.A,D之间的距离为15n mile C.A,B两处岛屿间的距离为15n mile D.B,D之间的距离为30n mile 8.如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救,甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°且与甲船相距10 n mile的C处的乙船,乙船也立即朝着渔船前往营救,则sin∠ACB=　　　　.  9.(2026·河南南阳模拟)如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km,求x的值; (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到0.01 km) 10.为了测绘海面上一座活火山顶点E的高度,测绘船围绕活火山展开测量,如图为测绘活动的俯视图,在测绘船的路线中,三个观测点A,B,C恰好构成正三角形,点D为火山口在俯视图中的位置.已知从A,B,C三点测量点E的仰角的正切值分别为,,. (1)求∠BDA的正弦值; (2)若正三角形ABC的边长为a,求火山顶点E的高度. [B组　能力提升练] 11.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角α为45°,沿倾斜角β为15°的斜坡向上直走100m到达B处,在B处测得山顶P的仰角γ为60°,则山的高度PQ为 (　　) (参考数据:sin 15°=) A.50(+)m B.50(+1) m C.100(+1) m D.120 m 12.在某海域开展的海上演习中,我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰A位于B市的南偏西25°方向上,且在C岛的北偏西58°方向上,B市在C岛的北偏西28°方向上,且距离C岛248 km,此时,我方军舰沿着AC方向以50 km/h的速度航行,则我方军舰到达C岛大约需要　　　　h.(参考数据:≈1.73,sin 53°≈,cos 53°≈)  学科网（北京）股份有限公司 $