清单01 抛体运动和圆周运动（期末知识清单）高一物理下学期人教版

清单01 抛体运动和圆周运动 考点01：曲线运动 知识点1：曲线运动的速度方向 1. 结论：质点在某一点的速度方向，即为该点的切线方向。 2. 曲线运动的性质 速度是矢量，物体做曲线运动时的速度方向不断发生变化。不论速度的大小是否改变，只要速度方向发生变化，就有加速度，所以曲线运动是一种变速运动。 知识点2：物体做曲线运动的条件 1. 物体做曲线运动的条件 （1）动力学条件：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上。 （2）运动学条件：物体的加速度方向与速度方向不在同一直线上。 特别提示：曲线运动的条件 ①初速度不为零；②合力不为零且合力方向与速度方向不共线。 （3）总结：只要物体所受合力方向与速度方向不在一条直线上，物体一定做曲线运动。物体所受合力可能是变化的，也可能恒定，因此做曲线运动的物体可能做匀变速运动，也可能做非匀变速运动。 2. 对曲线运动的理解 （1）无力不转弯，转弯必有力；曲线运动是变速运动，因此必定有加速度，而力是产生加速度的原因，因此做曲线运动的物体在任何时刻受到的合力都不是0. （2）从力的效果理解曲线运动的条件：当物体受到的合力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，而是成一定角度时，合力产生的加速度方向跟速度方向也成一定角度. 拓展一：曲线运动中合力的作用效果 把曲线运动上某点的加速度沿速度和垂直于速度的两个方向分解，也就是把合力沿两个方向分解，如图甲、乙所示。 图甲中：加速度a1与速度的方向相同，使速度v增大；加速度 a2与速度v的方向垂直，使v 的方向改变，物体做加速曲线运动。 图乙中：加速度a1与速度v的方向相反，使速度减小；加速度a2与速度v的方向垂直，使v的方向改变，物体做减速曲线运动。 特例：当a1=0，a2垂直于速度v时，速度大小不变，方向改变，物体做速度大小不变的曲线运动。 拓展二：合力方向与速度方向夹角θ对运动的影响 θ角的大小 运动轨迹 运动性质 力的作用效果 θ=0° 直线 加速直线运动 只改变速度的大小，不改变速度的方向 θ=180° 减速直线运动 0°<θ<90° 曲线 速度变大的曲线运动 既改变速度的大小，又改变速度的方向 90°<θ<180° 速度变小的曲线运动 θ=90° 速度大小不变的曲线运动 只改变速度的方向，不改变速度的大小 考点02：运动的合成与分解 知识点1：运动的合成与分解 1．合运动与分运动 （1）如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动． （2）物体的实际运动一定是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度． 2. 运动的合成与分解 一个物体同时参与了不同的分运动，由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。 描述运动的矢量有速度、加速度、位移等，矢量运算的法则是平行四边形定则，因此，运动的合成与分解遵循平行四边形定则。 特别提示：平行四边形定则 （1）位移、速度加速度都是矢量，因此各矢量的合成与分解均遵循平行四边形定则。 （2）转化为代数法：各分运动都在同一直线上时，可以选取沿直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的运动参量取正值，与正方向相反的运动参量取负值，把矢量运算转化为代数运算。 3. 运动的独立性 （1）合运动与分运动的关系：一个物体同时参与几种运动，各分运动都可看成是独立进行的，互不影响，物体的合运动则视为几个相互独立分运动叠加的结果。分运动和合运动具有独立性、等时性、同体性和等效性。 （2）如何理解运动的独立性?如跳伞表演时，人从某高度处下落，有水平风力影响时，人的落地速度变大（合速度变大），但竖直方向的分速度并没有改变。 点拨：合运动和分运动的四个特性 等时性 合运动与分运动同时发生和结束，时间相同 等效性 各分运动的共同作用效果与合运动的效果相同 同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动 独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响 知识点2：两个直线运动的合运动 分运动 条件 合运动 矢量图 两个直线运动 a=0 静止或匀速直线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 a与v成θ角，θ≠0°且θ≠180°，θ是变化的 匀变速曲线运动 两个初速度为0的匀加速直线运动 v0=0 初速度为0的匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀加速直线运动 a、v方向相同 匀变速直线运动 a、v方向不同 匀变速曲线运动 特别提示：合运动的性质及轨迹的判断 知识点3：速度分解 1. 速度分解方法 （1）分解速度v时，遵循平行四边形定则，但任意分解后能否解决问题才是关键。所以在解答实际问题时应按需要进行分解，常用的分解思路是按物体的实际运动效果分解，即分解实际速度，依据运动效果确定两个分速度的方向。 （2）正确的速度分解必须明确两个问题： ①确认合速度，合速度是物体的实际速度。 ②确定合速度的实际运动效果，从而确定分速度的方向 2. 速度关联问题 （1）关联速度：不同运动物体间有绳、杆连接时，两个端点连接的物体的速度通常是不同的，但两端点的速度是有联系的，我们称为“关联速度”。 （2）思路与方法：解决“关联速度”问题的关键有两点： ①物体的实际速度是合速度； ②沿杆或绳方向的分速度大小相等。 （3）分析步骤： ①先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果（一是使绳或杆伸缩的效果，二是使绳或杆转动的效果）； ②确定两个分速度的方向（沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度）； ③按平行四边形定则将合速度分解，画出速度分解图 ④根据三角形的边角关系得未知速度的大小。 3. 常见的速度关联模型 速度关联问题总结 (1) 问题特点： 没有弹性的绳或杆两端连接运动方向不同的两个物体。 (2) 思路与方法 合速度:物体的实际运动速度 分速度:①沿绳(或杆)的速度；②垂直绳(或杆)的速度。 (3)解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等求解。 知识点4：小船渡河 1．小船渡河问题 小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水的运动和随水下漂的运动两个分运动．此类问题常常讨论以下两个情况： (1)渡河时间最短 若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不可能提供指向河对岸的分速度．因此只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，此时t短＝，船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝. (2)渡河位移最短 求解渡河位移最短问题，分为两种情况： ①若v水＜v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，v合⊥v水，如图所示． ②若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是： 如图所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移s短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝. 特别提示：小车渡河模型中的物理量 (1) 船的航行方向是船头指向，对应分运动；船的实际运动方向，对应合运动。 (2) 渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。 (3) 渡河位移最小值与和来的大小有关。当>时，河宽为最小位移；当<时，应利用图解求极值的方法处理。 (4) 小船渡河时间最短与位移最小是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最小。 考点03： 实验：探究平抛运动的特点 知识点1：抛体运动和平抛运动 1. 抛体运动的分类 （1）初速度竖直向上的是竖直上抛运动； （2）初速度竖直向下的是竖直下抛运动 （3）初速度水平的是平抛运动； （4）初速度斜向上的是斜上抛运动； （5）初速度斜向下的是斜下抛运动 2. 平抛运动的特点 （1）初速度方向：初速度沿水平方向。 （2）受力特点：只受重力作用（或加速度a=g，方向竖直向下） （3）运动性质：匀变速曲线运动。 3. 研究平抛运动的思路与方法 平抛运动的轨迹是曲线，可以把平抛运动看作竖直方向的分运动和水平方向的分运动的合运动，分别研究物体在竖直方向和水平方向的运动特点 4. 科学建模 由运动的独立性推测平抛运动在两个方向上的分运动 （1）水平方向：初速度，加速度ax=0，则平抛运动在水平方向的分运动应是匀速直线运动。 （2）竖直方向:初速度，加速度ay=g，则平抛运动在竖直方向的分运动应是自由落体运动。 点拨：抛体运动的两大特点 （1）忽略空气阻力，只考虑重力的作用；（2）有不为0的初速度。 知识点2：利用频闪照相法探究平抛运动 1. 实验设计 把平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动。可采用频闪照相的方法记录做平抛运动的物体每隔相等时间所在的位置，由位移关系就可分析水平方向和竖直方向的运动规律，如图所示 2. 实验步骤 （1）通过频闪照相获得小球做平抛运动时的频闪照片； （2）以抛出点为原点，建立直角坐标系 （3）通过频闪照片描出物体经过相等时间间隔所到达的位置: （4）测量出经过 T，2T，3T，···时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格。 3. 分析数据得出结论 抛出时间 T 2T 3T 4T 水平位移/cm 30.10 60.00 89.90 119.70 竖直位移/cm 4.90 19.56 44.00 78.36 结论 水平分运动 特点 在误差允许的范围内，在连续相等的时间内通过的水平位移相等，可判断水平方向的分运动为匀速直 线运动 竖直分运动特点 在误差允许的范围内，在连续相等的时间内竖直位移之差是常数，即，通过运算、a≈9.8m/s²。可判断竖直方向的分运动是自由落体运动 知识点3：比较法探究竖直方向分运动的特点 1. 实验步骤 （1）在下图所示的实验装置中，用小锤击打弹簧片时，被夹住的球B释放后做自由落体运动，球A被水平弹出做平抛运动。 （2）观察两球的运动轨迹，听它们落地的声音发现两球同时落地，说明自由落体运动的小球B和平抛运动的小球A在空中运动的时间相等 （3）改变小球距地面的高度和小锤击打的力度（即改变球 A 的初速度），发现两球总是同时落地，说明两球在空中运动的时间总是相等。 2. 实验结论 平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动。 知识点4：探究平抛运动水平分运动的特点 1. 实验装置 将平抛运动实验仪器置于桌面上，使轨道的末端水平，靠近轨道未端的面板处于竖直平面内，在竖直板上固定白纸和复写纸，小球落在挡板上时在白纸上留下痕迹，据此确定小球抛出后经过的不同位置。 2. 实验步骤 （1）小球从斜槽上某一确定位置无初速度滚下，从末端飞出后做平抛运动，使小球的轨迹与竖直板平行，在竖直板上可以记录小球碰到挡板时的位置。 （2）使小球从斜槽上同一位置由静止滚下，用挡板记录小球所经过的多个位置。 （3）以斜槽水平末端端口处小球球心在面板上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴。 （4）取下坐标纸，用平滑的曲线把所记录的位置连接起来，得到小球做平抛运动的轨迹。 （5）根据小球在竖直方向是自由落体运动的特点，在轨迹上取竖直位移为 h、4h、9h……的点，即各点之间的时间间隔相等，测量这些点之间的水平位移，可知在相等时间内水平方向的位移是相等的。 3. 实验结论 平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动。 注意事项 ①实验中必须调整斜槽末端的切线水平（将小球放在斜槽末端水平部分上，小球能静止在任意位置，就可确定斜槽末端水平）挡板外侧稍高些，便于小球落在挡板上时挤压竖直板留下痕迹。 ②面板必须处于竖直面内，可用重垂线检查坐标纸y轴是否竖直。 ③小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放。 ④坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时小球球心在面板上的投影点。 ⑤小球开始滚下的位置高度要适当，使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角到达右下角为宜。 4. 误差分析 （1）安装斜槽时，其末端切线不水平，导致小球离开斜槽后的运动不是平抛运动。 （2）建立坐标系时，坐标原点的位置确定不准确，导致轨迹上各点的坐标不准确。 （3）小球每次自由滚下时起始位置不完全相同，导致轨迹出现偏差。 （4）确定小球运动的位置不准确，坐标有误差. （5）量取轨迹上各点坐标时不准确，导致误差 考点04：平抛运动的特点 知识点1：平抛运动的规律 平抛运动无法直接应用直线运动规律分析。“一分为二、化曲为直”是解决曲线问题的一个重要方法。以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，竖直向下为y轴，建立平面直角坐标系。 1. 水平分速度 物体做初速度为v0的平抛运动，由于所受重力的方向是竖直向下的，物体在水平方向的分速度保持不变，故整个运动过程中始终有。 2. 竖直分速度 平抛运动在竖直方向的加速度为重力加速度 g，则物体在竖直方向的分速度 3. t时刻的速度 如图所示，t时刻的速度与此时刻的两个分速度、，的关系为，可知平抛运动的速度越来越大。速度的方向与水平方向的夹角0满足，随着物体的下落，θ角越来越大，但总是小于 90°。即物体运动的方向越来越接近竖直向下的方向，但不会竖直向下。 4. 速度的变化特点 平抛运动的水平分速度恒定，竖直分速度按的规律变化，则任意相等的时间间隔内速度的变化都相同，且，方向竖直向下，如图所示，将图甲v中各速度矢量的始端移到同一点就得到图乙所示情形。 知识点2：平抛运动的位移与轨迹 平抛运动的水平位移：……① 竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，……② 联立①和②得，，由数学知识可知，平抛运动的轨迹是一条抛物线。 【点拨】 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动，可以得到时间 可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，与抛出时的初速度大小无关。 （2）水平射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）落地速度大小：，由此可见，其落地的速度有初速度和高度h有关。 知识点3：平抛运动的两个推论 推论一：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示． 推导过程：……① 将速度v方向延长，速度偏向角的正切值还可以表示为：……② 联立求解： 推论二：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图所示。 推导过程：速度偏向角的正切值：……① 位移偏向角的正切值：……② 比较得： 知识点4：一般的抛体运动 1. 斜抛运动 物体以初速度沿斜上方或斜下方抛出的运动叫作斜抛运动。 斜上抛运动 斜下抛运动 2. 斜抛运动的性质 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； （2）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是 （3） 加速度a=g的匀变速曲线运动 3. 斜抛运动的特点 （1）速度特点 斜抛运动的加速度为定值，速度变化量，的方向竖直向下 （2）对称性特点（斜上抛） ①速率对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平分速度相同，竖直方向的分速度等大反向 ②轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 ③时间对称：由于其轨迹是关于最高点的竖直线对称的曲线过某一点的水平线与最高点之间，上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 4. 斜上抛运动中的几个重要关系式 ，是一条抛物线如图所示： 5.对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 拓展：斜上抛运动运动的分析技巧 （1）斜上抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。 （2）运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。 （3）由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 知识点5：类平抛运动 1. 类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且合力方向与初速度方向垂直 2. 类平抛运动的运动特点 在初速度方向做匀速直线运动，在所受合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 3. 类平抛运动的分析方法 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，这两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 考点05：圆周运动 知识点1：描述圆周运动的物理量 1. 线速度 （1） 定义：做圆周运动的物体在很短一段时间△t内，通过的弧长△s与这段时间△t之比叫作线速度. （2） 表达式：（注意：△s是弧长，不是位移） （3） 方向：线速度是矢量，其方向为物体做圆周运动时该点的切线方向，与半径垂直。如下图所示，、分别表示 A、B 两点的线速度方向 （4） 单位：线速度的国际单位是 m/s。 （5） 物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量。 2.匀速圆周运动 （1） 定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 （2） 运动性质：由于匀速圆周运动速度的方向在时刻变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动 【点拨】 (1) 匀速圆周运动中的“匀速”指的是线速度大小（速率）不变，而匀速直线运动中的“匀速”指的是速度大小和方向都不变，两者的含义不同； (2) “线速度”中的“线”的作用是区别下面讲的“角速度” 3.角速度 （1） 定义： 连接物体跟圆心的半径转过的角△φ与所用时间△t之比叫作角速度，表达式： （2） 单位：国际单位制中角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s。 【点拨】“角度值”与“弧度制” 角度值 30° 45° 60° 90° 180° 360° 1弧度= 弧度制 （3）物理意义：角速度是描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。“转动”与“运动”是有区别的。 特别提示 （1）角速度是矢量，高中阶段不研究角速度的方向； （2）匀速圆周运动是角速度大小不变的圆周运动。 4. 周期、频率和转速 物理量 周期（T） 频率（f） 转速（n） 定义 做圆周运动的物体运动一周用的时间 做圆周运动的物体每秒转动的圈数 物体转动的圈数与所用时间之比 单位 s 赫兹（Hz或s-1） r/s或r/min 物理意义 描述物体运动快慢的物理量 联系 （时间单位必须为s） 特别提示：线速度与角速度的区分 （1） 线速度描述物体沿圆轨迹运动的快慢，而角速度、周期、转速(频率)描述物体绕圆心转动的快慢，两个物体的角速度相等时，线速度可能不相等； （2） 角速度和频率的物理意义是不同的 知识点2：描述圆周运动的各物理量之间的关系 1. 线速度和角速度的关系 如图所示，物体P沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在一个周期T内转过的角度为2π，转过的弧长为 2πr，这时的线速度和角速度的大小分别为：，，由此可得： 【点拨】 线速度v、角速度w、半径r三者相互制约,在讨论它们之间的关系时,必须采用控制变量法分析，即先假定某个物理量是不变的。 2. 圆周运动的各物理量间的关系 知识点3：三种常见的传动方式 项目 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同 一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点 分别是两个轮子 边缘上的点 两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 AB两点角速度、周期相同 A、B两点线速度大小相等 A、B两点线速度大小相等 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： 周期与半径成正比： 角速度与半径成反比，与齿轮齿数成反比： 周期与半径成正比，与齿轮齿数成正比： 考点06 向心力 知识点1：向心力 1. 向心力的定义 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。如上图中的力F。 2. 向心力的方向 向心力的方向总是沿半径指向圆心(与速度方向时刻垂直)，向心力的方向时刻在改变。 3. 向心力的效果 向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小 4. 向心力的来源 向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是重力、弹力、摩擦力等不同性质的力，也可能是它们的合力，还可能是某个力的分力。 （1）重力或万有引力(下章学习)提供向心力：如下图甲所示，卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由天体间的引力提供。 (2)弹力提供向心力：如图乙所示，物块相对圆筒静止，在竖直圆筒内随圆筒做匀速圆周运动，圆筒对物块的弹力提供向 心力。 (3)静摩擦力提供向心力： 如图丙所示，木块随水平圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供。 (4)某个力的分力提供向心力：如图丁所示，小球在细线拉力作用下，在水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，其向心力由细线拉力在水平方向的分力提供。 (5)合力提供向心力：上述几种情况的向心力均是由合力提供的，只不过物体所受的合力的大小等于其中某个力或某个力的分力而已。 特别提示 向心力是效果力，向心力可能是某个力，也可能是几个力的合力，不管何种情形，向心力的方向一定指向圆心，不能认为向心力是某种性质的力。 知识点2：实验：探究向心力与质量、角速度和半径的关系 1． 实验目的 （1）学会使用向心力演示器； （2）通过实验探究向心力与半径、角速度、质量的关系。 2．实验仪器 向心力演示器(如图)，三个金属球(半径相同，其中两个为质量相同的钢球，另一个为质量是钢球一半的铝球)。 3. 实验原理 如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 4． 实验步骤 （1）调整标尺，使两根标尺起点和套筒上口处于同一水平面上，皮带放在第一挡，转速为1∶1的皮带盘处，质量相同的两钢球分别放在两个槽上半径相等的横臂挡板内侧，然后摇动手柄，观察到标尺读数始终相等。 （2）将长槽上钢球由第一挡板内侧移至第二挡板内侧，此时两个质量相同的钢球转动半径之比为2∶1，转动手柄，观察到标尺格数之比为2∶1。 （3）将长槽上的钢球换成铝球，并移至第一挡板内侧，两个金属球质量比为1∶2，转动手柄，观察到标尺格数之比为1∶2。 （4）把皮带放在第二挡，转速之比为2∶1，将长槽上铝球换成钢球，转动手柄，两球角速度之比为2∶1，观察到标尺格数之比为4∶1。 （5）将皮带放在第三挡，转速之比为3∶1，转动手柄，两球角速度之比为3∶1，观察到标尺格数之比为9∶1。 5．实验结论 由步骤(1)及其结果可知，半径、角速度、质量相同时，向心力大小相同； 由步骤(2)及其结果可知，角速度、质量相同时，向心力与半径成正比； 由步骤(3)及其结果可知，半径、角速度相同时，向心力与质量成正比； 由步骤(4)(5)及其结果可知，半径、质量相同时，向心力与角速度的平方成正比。 由以上可推知：Fn＝mω2r。 6. 实验拓展 由v＝ωr可知，Fn＝m，故也可以探究Fn与v、m、r的关系，实验方法和思路不变。 注意事项 （1） 将横臂紧固螺钉旋紧，以防小球和其他部件飞出而造成事故，皮带与塔轮之间要拉紧。 （2） 摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个弹簧测力套筒的格数。达到预定格数时，要保持转速恒定。 （3） 实验时，不宜使标尺露出格数太多，以免由于球沿滑槽外移引起较大的误差。 拓展提升：几种常见的匀速圆周运动的向心力 图形 受力情况 力的分解与合成 满足的方程 或，即： 或，即： 或，即： 或，即： ， 知识点3：变速运动和一般的曲线运动 1. 变速圆周运动 (1)定义： 物体沿着圆周运动，它的线速度大小不断改变，这种运动叫作变速圆周运动。 (2)受力特点：变速圆周运动中的物体所受合力并不始终指向圆心。这个力F可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力和指向圆心方向的分力。 (3)两个分力的作用效果：向心力 F的方向与速度方向垂直改变速度的方向；切向分力的方向与物体的速度方向在一条直线上，改变速度的大小。 【点拨】 当合力F与速度v的夹角小于90°，即切向力和速度v的方向相同时，圆周运动物体的速度增大，如图甲所示；当合力F与速度v的夹角大于90°，即切向力和速度的方向相反时，圆周运动物体的速度减小，如图乙所示。 (4)处理方法： 变速圆周运动中，某一点的向心力可用、等表达式分析，所求是合力指向圆心方向的分力，v、w都是该点的瞬时值。 2. 一般的曲线运动 (1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般曲线运动。车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，如图所示，汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的。 (2) 处理方法： ①将曲线分割成许多很短的小段，每一小段曲线可以看成一小段圆弧，物体在每一小段的运动都可以看成圆周运动的一部分。通常这些圆弧的弯曲程度是不一样的。我们用曲率半径来表示圆弧的弯曲程度。 ②将物体所受的合力沿切线方向和指向圆心方向分解，沿切线方向的分力改变速度的大小，指向圆心方向的分力改变速度的方向，提供物体做圆周运动所需的向心力，此时可用、等表达式分析解答。 【归纳总结】 项目 匀速圆周运动 变速圆周运动或一般的曲线运动 线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变 受力特点 合力方向一定指向圆心，提供向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心分力，指向圆心的分力提供向心力 周期性 有 不一定有 性质 均是非匀变速曲线运动(变加速曲线运动) 公式 都适用，但要注意一般曲线运动的瞬时性 考点07 向心加速度 知识点1：匀速圆周运动的加速度方向 1. 向心加速度的方向 物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心。根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与它所受合力的方向相同，因此，物体做匀速圆周运动时的加速度方向总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。 【点拨】圆周运动中向心加速度的方向 如下图所示的匀速圆周运动中，物体由A运动到B，在B点作vA和vB的矢量，从vA末端指向vB末端的矢量即为△v。当物体由A运动到B的时间时，的方向沿半径指向圆心，加速度的方向与方向一致，故物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2. 向心加速度的理解 方向 总是指向圆心 特点 与速度的方向总是垂直；向心加速度总是在变化 作用 向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小 意义 描述线速度方向变化快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小 性质 匀速圆周运动是加速度时刻变化的变加速运动 知识点2：匀速圆周运动加速度的大小 1. 圆周运动向心力的表达式的推导 由： 2. 变速圆周运动的加速度 3. 对向心加速度的理解 （1）向心加速度的表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。 （2）在变速圆周运动中，物体所受合力不指向圆心，物体的实际加速度也不指向圆心，沿半径指向圆心方向的分加速度为向心加速度a。 （3）在匀速圆周运动中，向心加速度、运动物体的质量、合力三者的关系符合牛顿第二定律。 考点08 生活中的圆周运动 知识点1：火车转弯 1. 火车车轮的结构特点 火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上沿直线运行时，凸出轮缘的一边在两轨道的内侧，如图所示。这种结构特点，有助于火车在轨道上稳定运动(不脱轨)。 2. 火车转弯时向心力的来源 (1) 两轨道等高：火车在弯道上运动时，做圆周运动需要向心力。如图所示，如果内外轨道一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯时的向心力。但火车质量太大，靠这种办法获得向心力，将会使轮缘与外轨间的相互作用力太大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。 (2) 两轨道不等高：实际情况是在转弯处外轨略高于内轨，并根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当调整内、外轨的高度差，使转弯时所需向心力完全由重力mg和支持力F的合力提供，如图下所示。 3. 火车转弯时的速度 如上图所示，若车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯半径为r，火车的质量为m，由三角形边角关系知，，对火车受力分析可得上，因为θ角很小，可以取，故，所以向心力。 又因为，所以车速 拓展：火车以不同的速度行驶时，轮缘侧向受力情况 讨论：假设火车转弯处规定速度为，火车以不同的速度行驶时，轮缘所受侧向压力情况如下： ①当火车行驶速率时，火车相对于轨道有向外运动的趋势，轮缘对外轨有挤压，则外轨对轮缘有向内的侧压力。 ②当火车行驶速率时，火车相对于轨道有向内运动的趋势，轮缘对内轨有挤压，则内轨对轮缘有向外的侧压力。 ③当火车行驶速率时，内、外轨对轮缘均无侧压力。 知识点2：汽车转弯 1. 水平路面上行驶 如图所示，汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，即，当摩擦力达到最大值时，汽车转弯的速度达到临界值，因，则临界速度 2. 倾斜路面上行驶 倾斜路面：高速公路、赛车赛道的转弯处设计得外高内低，目的是减小由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏，使汽车的重力与支持力的合力提供车辆转弯时所需的向心力，如下图所示。 特别提示：曲线运动的条件 ①路面倾斜，但汽车做圆周运动的轨道面是水平的。 ② 向心力在水平面内，但摩擦力的方向与路面平行。 ③汽车在倾角为θ的路面上做半径为r的圆周运动时，若速度，路面与汽车间恰无摩擦力；当时，静摩擦力沿路面斜向下；当时，静摩擦力沿路面斜向上。 知识点3：拱形桥和凹形路面 1. 汽车过拱形桥面 如图所示，汽车通过拱形桥最高点时，重力mg和支持力的合力提供向心力，由，得支持力，根据牛顿第三定律知，汽车对桥面的压力。 由上式可知，汽车的速度v越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车的速率等于时，汽车对桥面的压力为0，汽车在桥顶运行的速度小于；若，汽车将从桥顶飞出做平抛运动。 2. 汽车过凹形路面 如图所示，汽车通过凹形路面最低点时，重力 mg 和支持力F的合力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得。 根据牛顿第三定律，汽车对路面的压力，可知，汽车的速度v越大，汽车对路面的压力越大，这也是汽车通过凹形路面时容易爆胎的原因。 知识点4：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动 1. 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类： 一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等），称为“绳（环）约束模型”； 二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”。 2. 绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力特征 绳或圆轨道只能提供指向圆心的力 杆或管道既能提供指向圆心的力，也能提供背离圆心的力 受力示意图 过最高点的临界条件 由得， 由小球恰能做圆周运动时，得： 讨论分析 ①若，则：，绳、轨道对小球有弹力； ②若，则 ②若，则小球不能过最高点 ①当v=0时，，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当时，，背离圆心，随v的增大而减小 ③当时，FN=0 ④当时，，FN指向圆心，并随v的增大而增大 特别提示 (1)轻绳模型和轻杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是轻绳不能提供支持力，而轻杆可以提供支持力。(2)对轻杆模型，在无法确定位于最高点时对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列方程，然后根据结果的正负再确定力的方向。 3. 非特殊情况下的圆周运动 图示 运动情况 小球先沿圆轨道滑下 小球自高处滑下后进入圆轨道 轨道特点 沿圆轨道外侧运动 沿圆轨道内侧运动 运动分析 某点时，若mgsinθ恰好提供向心力：小球在此点离开圆弧做斜下抛运动 在某位置时，若重力在指向圆心方向的分力恰好提供向心力，轨道对小球的弹力为0，此后，小球将向斜上方抛出 4. 竖直面内圆周运动问题的解题思路 知识点5：航天器中的失重现象 1. 航天器的运动特点 航天器由航天运载器发射送人宇宙空间，长期处在高真空、失重的环境中绕地球做椭圆或圆运动，如果没有特别说明，我们认为航天器的运动轨迹都是圆。大部分航天器不载人，载人航天器的轨道半径往往比较小。 2. 对失重现象的认识 航天器及航天器内的物体所受地球的作用力F完全提供向心力，都处于完全失重状态，，物体间自由状态下不会相互挤压，没有弹力。 特别提示 ①航天器中的物体处于完全失重状态，并不是说物体不受重力(引力)，只是重力全部用来提供物体做圆周运动所需的向心力，使得物体所受支持力为0，相互间的作用力为0。 ②完全失重状态下，一切涉及重力的现象均不再发生，如天平、重垂线、体重计等无法使用。 知识点6：离心运动 1. 离心运动的概念 做圆周运动的物体，在合力突然消失或合力不足以提供所需的向心力时，物体沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动叫作离心运动。如运动员带动链球旋转做圆周运动，松手后，链球沿切线方向抛出的情形。 2. 离心运动的实质 物体逐渐远离圆心的运动，本质是物体惯性的体现，从受力情况看是外力不足。 特别提示 ①物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不足以提供所需的向心力，“离心力”是不存在的。 ②离心运动是物体运动半径越来越大或沿切线方向飞出的运动，不是物体沿半径方向飞出。 3.合力与向心力的关系 物体在光滑的水平面上运动，物体在外力作用下的曲线运动讨论： （1）若或，即“供”“需”平衡，物体做匀速圆周运动； （2）若或，即“供”>“需”，物体做半径变小的向心运动； （3）若或，即“供”<“需”，外力不足以拉到圆轨道上，而做离心运动； （4）若，则物体沿切线方向做匀速直线运动。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $