第17练 等差数列与等比数列的应用《数学》拓展模块一下册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第17练，聚焦等差数列与等比数列应用，以“基础-情境-建模”三阶分层设计，通过阶梯式题型培养数学眼光、思维与语言表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一公式直接应用|选择1-5、填空9-10，如古代织布、灯笼数量问题，强化概念理解与基本运算| |中档层|综合情境应用|选择6-8、填空11-12，如林场造林、竹子容积问题，提升情境转化与推理能力| |提升层|问题解决与建模|解答13-14，如人才需求、行程问题，培养数学建模与规范表达能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第七章 数列 第 17 练 等差数列与等比数列的应用 一、选择题 1．《张丘建算经》曰：今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布）．若该女第一天织布2尺，现有一月（按30天计），共织布390尺，则从第2天起每天比前一天多织布（ ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共要走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，在这个问题中，此人第四天走的里数是（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（ ） A．5万 B．7.5万 C．10万 D．12.5万 4．小李同学在高三第一次月考成绩进步时，妈妈奖励了他1支纪念签字笔，并承诺：之后每次月考，若成绩较上一次进步，则奖励的签字笔数量翻倍，否则不奖励．小李最终以优异成绩考入理想大学，期间共获得31支纪念签字笔，则他月考成绩进步的次数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．某古街元宵节挂灯笼，第一座牌楼下挂6盏灯笼，从第二座起，每座牌楼下比前一座多挂2盏，一共挂了10座牌楼.那么这10座牌楼共挂了（ ）盏灯笼. A．24 B．150 C．166 D．176 6．某林场计划第一年造林40公顷，以后每年比上一年多造林，则5年后造林总面积约为（ ） A．186公顷 B．244公顷 C．356公顷 D．199公顷 7．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．如图所示，已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第10个三角形的周长等于（ ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，已知最上面一层铺了块瓦片，且往下每一层多铺一块，若斜面上共铺了层瓦片，则共铺了________块瓦片. 10．现有《九章算术》“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，则该女子第三天织布的尺数为__________． 11．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为______升． 12．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核优秀的员工，下一年的月平均工资在本年的基础上增加7%．假设某员工自2015年1月以来一直在该单位就职，且每年考核都优秀，2015年的月平均工资收入为6000元，则2024年该员工的月平均工资为___________元．（，，） 三、解答题 13．随着人工智能产业的快速发展，某城市人工智能领域的专业人才需求量逐年递增，形成等差数列．已知第1年人才需求量为人，第4年人才需求量为1100人． (1)求该数列的公差d及通项公式； (2)设前年的人才需求总量为，若以每年人才需求量的算术平均数作为当年的“产业需求指数”，记为，试判断是否为等差数列，并说明理由. 14．我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第七章 数列 第 17 练 等差数列与等比数列的应用 一、选择题 1．《张丘建算经》曰：今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布）．若该女第一天织布2尺，现有一月（按30天计），共织布390尺，则从第2天起每天比前一天多织布（ ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】根据题意，建立等差数列模型，设数列为，其中，，公差为， 则，解得， 故选：. 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十四里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，七朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共要走254里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地，在这个问题中，此人第四天走的里数是（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据题意得到每天走的路程为等比数列，再根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】设第天走里，则根据题意数列是公比为的等比数列. 已知一共要走254里路，则前7项和，解得， 故第四天走. 故选：B. 3．为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（ ） A．5万 B．7.5万 C．10万 D．12.5万 【答案】B 【详解】设该等差数列为，其公差为，依题意，， 则，即，解得， 所以第2周应增长的粉丝数量. 4．小李同学在高三第一次月考成绩进步时，妈妈奖励了他1支纪念签字笔，并承诺：之后每次月考，若成绩较上一次进步，则奖励的签字笔数量翻倍，否则不奖励．小李最终以优异成绩考入理想大学，期间共获得31支纪念签字笔，则他月考成绩进步的次数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】第一次月考进步奖励1支笔，之后每次进步奖励数量翻倍， 因此每次进步获得的笔数构成首项，公比的等比数列． 由等比数列求和公式，得，解得， 所以小李同学获得了5次奖励，即有5次月考成绩是进步的． 故选：C． 5．某古街元宵节挂灯笼，第一座牌楼下挂6盏灯笼，从第二座起，每座牌楼下比前一座多挂2盏，一共挂了10座牌楼.那么这10座牌楼共挂了（ ）盏灯笼. A．24 B．150 C．166 D．176 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意可知，每座牌楼下挂的灯笼构成一个首项为，公差为的等差数列， 则， 故选：. 6．某林场计划第一年造林40公顷，以后每年比上一年多造林，则5年后造林总面积约为（ ） A．186公顷 B．244公顷 C．356公顷 D．199公顷 【答案】B 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由题意知每年的造林面积构成等比数列，记作， 其首项，公比， ∴前5项和（公顷）． 故选：B. 7．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据题意，结合等差数列前n项和公式，及等差数列应用，即可求解. 【详解】根据题意可得，每层与其外一层球面的间距构成首项､公差的等差数列， 设该鬼工球的层数为，则前项和， 所以，即， 解得或（舍）. 故选：B. 8．如图所示，已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第10个三角形的周长等于（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线，得出这些三角形的周长形成等比数列，再由等比数列通项公式求解即可. 【详解】已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形， 根据三角形中位线的性质，第个三角形周长是周长的，即周长为， 同理，第个三角形周长也是第个三角形周长的， 设第个三角形周长为，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 即第10个三角形的周长等于. 故选：B. 二、填空题 9．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，已知最上面一层铺了块瓦片，且往下每一层多铺一块，若斜面上共铺了层瓦片，则共铺了________块瓦片. 【答案】 【分析】由题意，每层瓦片数构成等差数列，可利用等差数列前项和公式求解. 【详解】由题意知，每层铺的瓦片构成等差数列，且 ，， 所以. 故答案为：. 10．现有《九章算术》“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，则该女子第三天织布的尺数为__________． 【答案】4 【分析】根据织布尺数满足等比数列，借助等比数列的前n项和与通项公式求解即可； 【详解】某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍， 所以该女子每天织布的尺数满足等比数列，且公比. 因为， 所以， 所以，即第三天织布的尺数为4， 故答案为：4 11．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为______升． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式列式求解即可； 【详解】设此等差数列为，公差为，最上一节为， 则，解得 ． 故答案为： 12．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核优秀的员工，下一年的月平均工资在本年的基础上增加7%．假设某员工自2015年1月以来一直在该单位就职，且每年考核都优秀，2015年的月平均工资收入为6000元，则2024年该员工的月平均工资为___________元．（，，） 【答案】11028 【分析】根据题意可知该员工的月平均工资成等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】根据题意可知该员工的月平均工资成等比数列，设2015年的月平均工资收入为，公比， 则2024年该员工的月平均工资为. 故答案为：. 三、解答题 13．随着人工智能产业的快速发展，某城市人工智能领域的专业人才需求量逐年递增，形成等差数列．已知第1年人才需求量为人，第4年人才需求量为1100人． (1)求该数列的公差d及通项公式； (2)设前年的人才需求总量为，若以每年人才需求量的算术平均数作为当年的“产业需求指数”，记为，试判断是否为等差数列，并说明理由. 【答案】(1)， (2)是等差数列，理由见详解 【分析】（1）利用等差数列的通项公式进行求解即可. （2）先求出的表达式，再根据等差数列的定义判断是否为常数即可. 【详解】（1）由题意得，在等差数列中，， 由，得， 解得, 所以通项公式. （2）是等差数列，理由如下： 由（1）得，数列的前项和， 所以， 因为，且. 所以数列是首项为800，公差为50的等差数列． 14．我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 【答案】（里） 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和和通项公式求解即可. 【详解】由题意可知，此人每天走得路程构成等比数列， 且公比为，前项和， 所以， 解得：， 所以（里）， 因此此人第5天走的路程为（里）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $