7.3 常用分布（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

7.3 常用分布 第七章 概率初步（续） 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 通过具体实例，理解伯努利试验与二项分布、超几何分布、正态分布的概念. 掌握二项分布的均值和方差公式、超几何分布的均值，了解超几何分布与二项分布之间的联系与区别. 3 应用二项分布、超几何分布、正态分布解决简单的实际问题. 1 情景导入 孔子是我国古代著名的教育家、思想家,留下了许多至理名言,其中“三人行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很高,但他也很谦虚,自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个人可以做自己的老师. 这是孔子自谦的一句话,那么实际情况怎么样呢?我们不妨从概率的角度来看一下. 2 问题提出 考虑如下问题： 一次测验共有１０道选择题，每题备有４个选项，其中只有１个正确． 如果某学生随意猜测答题，问其答对一半以上的概率有多大？ 这样的概率计算具有普遍性，接下来就来讨论这种题型的概率计算. 二项分布 3 新知探究 设有一个伯努利试验，其成功的概率为失败的概率为且独立地重复该伯努利试验 n 次，用 X 表示成功的次数．把 n 次试验看作具有n 个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0. "成功次数为 k "的事件 X = k 可以看作从n个位置里选择 k 个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有 种． 因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是 ．再由概率的可加性，可得成功次数为k 的概率为 3 新知探究 从这个角度可以证明二项式定理 这是这个分布被称为二项分布的理由． 因为，所以 X 的分布可表示为 4 新知讲授 二项分布 独立地重复一个成果概率为的伯努利试验n次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数X服从二项分布X ~ B(n, p) 定义 4 新知讲授 随机变量X服从二项分布的三个前提条件 (1) 每次试验都是在同一条件下进行的； (2) 每一次试验都彼此相互独立； (3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生. 只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算. 5 新知探究 例1 当成功概率 很小时，通常说成功是小概率事件． 虽然在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生，但因为0< <1，有0<1 <1，当试验次数 n 充分大时，接近于零，即接近于1，所以至少有一次成功的概率就会很大． 独立地重复 n 次成功概率为 p 的伯努利试验，求至少有一次成功的概率． 解：用表示成功次数．至少有一次成功相当于 ，它的对立事件是．由概率的性质，至少有一次成功的概率为 5 新知探究 解:用 表示第 k 次随机试验的结果：若成功，则 ;若失败，则 ．总的成功次数 X 可以表示为 按照定义，的期望是 所以，由期望的线性性质，得 例2 设 X 服从二项分布 B ( n , p )，求 X 的期望与方差． 5 新知探究 解：用同样的方法可以计算 X 的方差．先计算．因为 = p ，所以 因为每次试验是独立地重复，所以, 是相互独立的，且, k =1,2,…, n ．由方差的性质，有 例2 设 X 服从二项分布 B ( n , p )，求 X 的期望与方差． 由此得到：若X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1−p). 6 新知讲授 二项分布的均值和方差 若X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1−p). 定义 由上式可见，方差关于概率 p 的图像是一个开口向下的二次函数图像的一部分，且它在时达到最大值．这说明，在成功概率是时， X 的分散度最大；而当 p 与相差较大时，X的分散性较小. 这就从数学上诠释了前面所说的随机性大小与概率大小的直观关系. 7 新知应用 练习：一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是. ①求这位司机遇到红灯数的期望与方差； ②若遇上红灯，则需要等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差. 解：①易知司机遇上红灯次数服从二项分布，且， ∴， . ②由已知，∴ . 8 新知讲授 超几何分布 问题：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 思考1：采用有放回抽样，随机变量X服从什么分布？ 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). 8 新知讲授 思考2：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布. 问题：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 7 新知讲授 设袋中装有大小与质地相同的６个白球、４个黑球．现在依次不放回地摸５个球，用 X 表示摸出的白球个数．求X的分布． 例3 分析：首先，因为所考虑的是白球的个数，与摸球的顺序无关，而且是不放回地摸球，所以从随机性的角度讲，依次摸出５个球和一次摸出５个球是一样的． 其次，由于是不放回地摸球，前面摸球的结果会影响后面摸球的结果，因此考虑问题的方法应该不同于放回摸球的情况． 7 新知讲授 分析：∵白球有6个，所以变量 X 的取值范围是1、2、3、4、5．从10个球中取5个球的所有可能的取法，不计顺序，共有 种，举例来说，事件 X =3可以分为从6个白球中取3个，并从4个黑球中取2个这样两个步骤，即 设袋中装有大小与质地相同的６个白球、４个黑球．现在依次不放回地摸５个球，用 X 表示摸出的白球个数．求X的分布． 例3 ∴一般地说， 7 新知讲授 设袋中装有大小与质地相同的６个白球、４个黑球．现在依次不放回地摸５个球，用 X 表示摸出的白球个数．求X的分布． 例3 解：变量 X 的取值范围是1、2、3、4、5 X 1 2 3 4 5 P 7 新知讲授 超几何分布 从一个装有大小与质地相同的a个白球，b个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中白球数服从超几何分布 . 其中. 若随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从超几何分布. 定义 7 新知讲授 计算例３中X的期望． 从装有大小与质地相同的a个白球、b个黑球的袋子中不放回地随机取n个球，n不能超过总个数 ．用 X 表示其中的白球个数．这可以想象成依次取球，用表示第次取球的结果：如果是白球，；如果是黑球，．那么 例4 解:我们将利用期望的性质来进行计算． 7 新知讲授 计算例３中X的期望． 例4 因此, 从而 即 X 的期望为取球的个数乘白球的比例，这与放回摸球情况下,取得白球个数的期望是一样的. 注意：虽然期望是意义的，但它们的分布是不同的，一个是二项分布，另一个是超几何分布. 7 新知讲授 从二项分布的期望计算到超几何分布的期望计算，可以看出，虽然期望和方差是用分布来定义的，但是其计算过程实际上不一定要用到分布，而只要使用期望和方差的性质即可． 二项分布和超几何分布的区别，实质上就是摸球模型中放回摸球和不放回摸球的区别．当远大于 n 时，放回与不放回两种情况下的分布之间差别不大，即二项分布与超几何分布之间差别不大． 思考：二项分布与超几何分布的区别 8 新知应用 练习：从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率. 解：设X表示摸出的5个球中红球的个数，则X服从超几何分布. ∴恰好的7分的概率即为摸出2个红球的概率，为 9 问题提出 正态分布 现实中, 除了前面已经研究过的离散型随机变量外, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续性随机变量 . 正态分布即为连续型随机变量，它是生活中一个常用的词了．例如，我们常提起学生的考试成绩是不是正态分布，某个城市的家庭收入是不是正态分布，等等．那么，究竟什么是正态分布呢？ 10 新知讲授 一包米的外包装上标示的 5 000g，但实际上是有误差的．假设包装米的公司没有故意偷工减料，计量员精确地检测所有在售的该种米，把米包质量的频率分布直方图画出来，会是一个什么形状呢？下图中是一条峰值在5 000g左右的曲线，它具有一个单峰，粗略展示了一个正态分布的形状．实际上，很多测量数据的分布都呈现出这样的形状． 新知讲授 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布： 其中有两个参数： （１）μ是该分布的期望或均值； （２）是该分布的方差，且总是假设＞０． 10 新知讲授 10 这个函数的图像如同钟形，如图所示．该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布： 新知讲授 10 正态分布 设X是一个取实数值的随机变量.如果对任何给定的实数与（a<b）,X落在区间上的概率等于三条直线：与正态密度函数的图象所围成的区域面积（或者简称为作此函数在该区间上的面积），那么X服从正态分布，即X服从参数为的正态分布. 定义 新知讲授 10 问题1：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点? 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点: (1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (2) 曲线在x=μ处达到峰值 (3) 当|x| 无限增大时，曲线无限接近x轴. 新知讲授 10 问题2：一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 新知讲授 10 σ=0.5 0 1 2 -1 -2 x -3 3 x=μ σ=1 σ=2 (1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交； (3) 曲线与x轴之间的面积为1； (4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 正态曲线的性质： (2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且曲线在x=μ处取得最大值； (5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. 在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 新知讲授 10 当时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数 称为标准正态分布的密度函数，简记作． 用表示标准正态分布的密度函数从－∞到的累计面积，如图所示，称为标准正态分布函数． 新知讲授 10 正态密度函数没有简单的表达式，其函数值可通过近似计算得到．我们也可以通过某些型号的计算器来查它或者它的反函数的值，如 容易验证是一个偶函数，所以该函数在区间 （－∞，－r）上的面积等于其在区间（r，＋∞）上的面积，如下图所示．此外，由于与r轴所围面积为１，因此满足 新知应用 11 某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从的正态分布．问：随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即１％）的可能性有多大？（结果精确到0.1％） 例5 解:用 X 表示糖果质量，由题意，可知 要求| X -500|>5的概率，即求 P (| X -500|>5）的值．令 ，则 Y ~ N (0,1)．因此，有 即误差超过5g的可能性约是4.6% 设 X 为任取的某袋有包装误差的产品的质量，．分别求 ,| X -μ|<2及| X -μ|<3的概率．（结果精确到0.1%) 新知应用 11 解:令 那么 P (| X -μ|<)= P (| Y |<1)．而 P (| Y |<1）是标准正态分布的密度函数在区间 上的面积，它等于函数在区间上的面积减去在区间上的面积．这样，就有 P (| Y |<1)＝ = 68.3%. 例6 新知应用 11 同样， P (| Y |<2)=95.4%; P (| Y |<3)=≈99.7%. 因此，随意购买一袋该产品，约有68.3％的可能性其质量在左右的范围内；约有95.4％的可能性其质量在μ左右的范围内；约有99.7％的可能性其质量在μ左右3的范围内. 设 X 为任取的某袋有包装误差的产品的质量，．分别求 ,| X -μ|<2及| X -μ|<3的概率．（结果精确到0.1%) 例6 新知应用 11 有68.3％的可能性其质量在左右的范围内；约有95.4％的可能性其质量在μ左右的范围内；约有99.7％的可能性其质量在μ左右3的范围内. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取 中的值，这称为正态分布的原则. 新知讲授 12 反思感悟 课堂小结 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且曲线与x轴的面积为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. $