2026年中考数学题型专练02：填空题专项（全国通用）

**基本信息** 聚焦中考数学填空题全模块分层突破，构建“考情-题型-方法”三维训练体系，强化运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数与式|5题|实数运算/因式分解/规律探究|从概念理解到符号运算，渗透代数直观| |方程与不等式|5题|根的判别式/应用题建模|方程思想与代数推理的递进| |函数|5题|图像性质/数形结合|函数概念到综合应用的逻辑链| |图形变换|5题|折叠/旋转/三角函数|空间观念与几何直观的融合| |统计与概率|5题|概率计算/统计量分析|数据意识与随机观念的培养| |几何模型|5题|最值/动点模型|模型思想与逻辑推理的综合| |动点问题|5题|分类讨论/多解探究|动态几何中推理意识的深化|

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学题型专练02 填空题 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 中考数学填空题一般设置 4—6 道，单题分值 3—4 分，整体难度梯度分明，包含基础题、中档题与压轴小题。考点覆盖数与式、方程不等式、函数、几何图形、图形变换、几何模型、统计概率等全模块知识。前几道侧重基础运算、概念填空、简单图形计算，最后 1—2 道常为填空压轴，结合动点、折叠、几何模型、规律探究、多解问题命题。这类题型无需书写解题步骤，答案唯一性强，符号、单位、最简形式、多解漏写是主要失分点。命题注重考查运算能力、图形感知、公式定理活用及分类讨论思维，部分题目暗藏隐含条件。备考需强化计算准确率，牢记答题规范，遇到动点、图形变式主动考虑多解情况，做到细致审题、完整作答。 2、核心考查内容： 中考填空题覆盖初中数学全部知识板块，分层考查基础与综合能力。基础题侧重实数运算、因式分解、代数式求值、方程与不等式求解、简单概率、统计量计算，以及平行线、三角形、四边形等基础几何的角度、线段计算。中档题常结合函数图象性质、图形平移、旋转、折叠进行求值，运用勾股定理、相似三角形、三角函数解题。压轴小题高频考查几何模型、动点问题、规律探究、最值与取值范围，多涉及分类讨论，易出现多解情况。题型只看最终答案，对计算精度、书写规范要求极高，符号、单位、未化简结果、漏解是常见失分点。整体考查公式定理运用、数形结合、逻辑推理与分类讨论能力，备考需夯实计算功底，留意隐含条件，杜绝粗心失误。 题型专练 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】数与式 1．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 2．（2026·山东菏泽·二模）计算：______． 3．（2026·湖北鄂州·模拟预测）某校学科嘉年华活动中，悟空数学实践研究小组设计了一个“悟空章”，它是由6段相同的圆弧围成的图案，若每段小圆弧的长度是a，则“悟空章”的周长可以表示为________． 4．（2026·河北石家庄·模拟预测）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 5．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【题型二】方程与不等式 6．（2026·山东青岛·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 7．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 8．（2026·河北邯郸·二模）若与的和是单项式，则b的值为________． 9．（2026·河南洛阳·二模）明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著的《算法统宗》是一部应用数学书，列有595个应用题的数字计算，珠算被誉为“世界上古老的计算机”的算盘演算．其中记载一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少间客房？多少人？若设共有x间客房，y人，可列方程组为_____． 10．（2026·内蒙古通辽·三模）一元二次方程的两根为，则的值为__________． 【题型三】函数 11．（2026·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 12．（2026·浙江温州·二模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 13．（2026·新疆喀什·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与x轴交于点C，连接，则的面积为________． 14．（2026·陕西渭南·二模）如图，点B、A分别在反比例函数和（k为常数，，）的图象上，连接交y轴于点C，连接、．若轴，，则k的值为________． 15．（2026·广东肇庆·二模）若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 【题型四】图形的变换 16．（2026·山东青岛·二模）如图，为的直径，，，是上的一点，连接．若，阴影部分的面积是_________． 17．（2026·浙江温州·二模）如图，跨江大桥的主塔顶端为点A，塔底正下方江面处为点B，江面上的点C处有一艘过往船只．测得A处到C处的距离为500米，从点A观测点C的俯角为，则B，C之间的距离为________米． 18．（2026·陕西渭南·二模）如图，是矩形的对角线，动点在对角线上（不与点重合），点E在上方，连接、、．若，，，则的最小值为________． 19．（2026·陕西渭南·二模）如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在上，过点作于点．若，，则的长为______． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知菱形的边长为，对角线，作，交于点F，则的长为______． 【题型五】统计与概率 21．（2026·河北石家庄·模拟预测）规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有一个三位数，若从，，，，，这6个数中任意抽取一个数作为百位上的数，组成的三位数为“上升数”的概率为__________． 22．（2026·新疆喀什·二模）某校举办“未来科技周”活动，设置了“A．量子计算体验”“B．火星探测模拟”“C．AI大模型应用”三个主题，七年级（1）班和七年级（2）班各随机选择一个主题参加，每个主题被选中的可能性相同，则这两个班选择不同主题的概率是________． 23．（2026·浙江温州·二模）甲有，砝码各一个，乙有，砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为_______． 24．（2026·北京·模拟预测）某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，将收集的数据制成了如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中篮球部分对应的圆心角为，已知该校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有_____名． 25．（2026·浙江温州·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，卡片上的数字之和为偶数的概率是______． 【题型六】几何模型 26．（23-24九年级上·北京西城·期中）矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是________． 27．（2024·山西·模拟预测）如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是______________． 28．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，，，点C在内部，且，则四边形面积的最大值为______． 29．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则______． 30．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形中，点E是上一点，．连接，过点B作，垂足为点F，连接， 过点F作， 交于点G，则 _______． 【题型七】动点问题 31．（20-21九年级上·北京顺义·期末）如图，线段，于点，于点，，，点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为_______． 32．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为_________． 33．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 34．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 35．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式：_______． 2．（2023·湖南·中考真题）的立方根是_______________ 3．（2021·青海·中考真题）如图，已知，，，则等于_____． 4．（2021·山东济南·中考真题）已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为________． 5．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为_____°． 6．（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为__________． 7．（2017·四川广元·中考真题）的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 9．（2025·四川雅安·中考真题）如图，E，F分别是正方形边上的点，且的周长是正方形边长的2倍，交于点交于点N，若，，则______． 10．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学题型专练02 填空题 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 中考数学填空题一般设置 4—6 道，单题分值 3—4 分，整体难度梯度分明，包含基础题、中档题与压轴小题。考点覆盖数与式、方程不等式、函数、几何图形、图形变换、几何模型、统计概率等全模块知识。前几道侧重基础运算、概念填空、简单图形计算，最后 1—2 道常为填空压轴，结合动点、折叠、几何模型、规律探究、多解问题命题。这类题型无需书写解题步骤，答案唯一性强，符号、单位、最简形式、多解漏写是主要失分点。命题注重考查运算能力、图形感知、公式定理活用及分类讨论思维，部分题目暗藏隐含条件。备考需强化计算准确率，牢记答题规范，遇到动点、图形变式主动考虑多解情况，做到细致审题、完整作答。 2、核心考查内容： 中考填空题覆盖初中数学全部知识板块，分层考查基础与综合能力。基础题侧重实数运算、因式分解、代数式求值、方程与不等式求解、简单概率、统计量计算，以及平行线、三角形、四边形等基础几何的角度、线段计算。中档题常结合函数图象性质、图形平移、旋转、折叠进行求值，运用勾股定理、相似三角形、三角函数解题。压轴小题高频考查几何模型、动点问题、规律探究、最值与取值范围，多涉及分类讨论，易出现多解情况。题型只看最终答案，对计算精度、书写规范要求极高，符号、单位、未化简结果、漏解是常见失分点。整体考查公式定理运用、数形结合、逻辑推理与分类讨论能力，备考需夯实计算功底，留意隐含条件，杜绝粗心失误。 题型专练 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】数与式 1．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 2．（2026·山东菏泽·二模）计算：______． 【答案】1 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂的运算和二次根式的化简计算即可． 【详解】解：原式． 3．（2026·湖北鄂州·模拟预测）某校学科嘉年华活动中，悟空数学实践研究小组设计了一个“悟空章”，它是由6段相同的圆弧围成的图案，若每段小圆弧的长度是a，则“悟空章”的周长可以表示为________． 【答案】 【详解】解：根据周长的定义，“悟空章”的周长等于围成该图形的所有圆弧长度之和， 已知共有段相同的圆弧，每段圆弧长度为，因此周长为： 4．（2026·河北石家庄·模拟预测）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 5．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【分析】设中心格内的数为，根据三阶幻方的性质，任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，且和为，利用这一性质表示出相关位置的数，通过列方程即可得出之间的关系． 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 【题型二】方程与不等式 6．（2026·山东青岛·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得； ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 综上，实数的取值范围为且． 7．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 8．（2026·河北邯郸·二模）若与的和是单项式，则b的值为________． 【答案】3 【分析】两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，据此得到，解方程组，求出的值即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得． 9．（2026·河南洛阳·二模）明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著的《算法统宗》是一部应用数学书，列有595个应用题的数字计算，珠算被誉为“世界上古老的计算机”的算盘演算．其中记载一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少间客房？多少人？若设共有x间客房，y人，可列方程组为_____． 【答案】 【分析】 根据两种住宿情况，分别找出总人数与客房数的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：根据题意，当每间客房住人时，有人无房可住，可得总人数：， 当每间客房住人时，空出一间房，即实际入住的客房为间，可得总人数： 联立两个方程可得方程组：． 10．（2026·内蒙古通辽·三模）一元二次方程的两根为，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式通分变形后，代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 【题型三】函数 11．（2026·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，轴于点，证明，利用全等三角形对应边相等建立方程求出点坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点， ，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是正方形， ，， ，， .， 在和中， ， ， ，， 矩形是正方形； ，， ，， 设正方形的边长为，则， 点的坐标为， ，， ， ， 解得， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 12．（2026·浙江温州·二模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线的一次函数解析式，再将点的坐标代入解析式，即可求出的值． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 点，，在同一条直线上，即点在直线上， 把代入得：． 13．（2026·新疆喀什·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与x轴交于点C，连接，则的面积为________． 【答案】 【分析】先求出反比例函数解析式为，与一次函数解析式联立，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，则， ∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴， 解得，， 当时，， ∴． ∵点C为直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·陕西渭南·二模）如图，点B、A分别在反比例函数和（k为常数，，）的图象上，连接交y轴于点C，连接、．若轴，，则k的值为________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据点在反比例函数图象上可得，由轴及可表示出点的坐标，最后将点坐标代入即可求出的值； 【详解】解：设点的坐标为，其中， 点在反比例函数的图象上， ， 轴，交轴于点， 点的坐标为，， ， ， 点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 15．（2026·广东肇庆·二模）若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据对称轴可知的关系式，进而即可求解 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ∴对称轴为直线， 即， 解得， 将点代入二次函数 得， ． 【题型四】图形的变换 16．（2026·山东青岛·二模）如图，为的直径，，，是上的一点，连接．若，阴影部分的面积是_________． 【答案】 【分析】连接，过点D作于点F，根据圆周角定理得出，解直角三角形得出，根据直角三角形的性质求出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接，过点D作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 17．（2026·浙江温州·二模）如图，跨江大桥的主塔顶端为点A，塔底正下方江面处为点B，江面上的点C处有一艘过往船只．测得A处到C处的距离为500米，从点A观测点C的俯角为，则B，C之间的距离为________米． 【答案】 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质求出的度数，在中利用锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，主塔垂直于江面， ∴ ，即． ∵ 从点观测点的俯角，且水平线与江面平行， ∴ ， 在中，，米，， ∴ ∴ ． 18．（2026·陕西渭南·二模）如图，是矩形的对角线，动点在对角线上（不与点重合），点E在上方，连接、、．若，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积公式求出点到的距离，进而得到点到的距离．然后利用锐角三角函数将转化为点到的距离，最后根据垂线段最短求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， ， 过点作于点，延长交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 过点作于点， 在中，， ， 当点、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长， 的最小值为3． 19．（2026·陕西渭南·二模）如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在上，过点作于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到的长和的度数，根据线段中点的定义求出的长，由垂直的定义得到，从而证得，再利用相似三角形的判定与性质列出比例式解答即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ，， ∵点是的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知菱形的边长为，对角线，作，交于点F，则的长为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据等面积求出，勾股定理再求出，证明，可得，根据即可得解． 【详解】连接交于点O，如图， 四边形是菱形，边长为，对角线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型五】统计与概率 21．（2026·河北石家庄·模拟预测）规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有一个三位数，若从，，，，，这6个数中任意抽取一个数作为百位上的数，组成的三位数为“上升数”的概率为__________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出满足“上升数”定义的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据“上升数”的定义，三位数为上升数需要满足，其中恒成立，因此只需满足， 由题意可知，从，，，，，共个数中任意抽取，共有种等可能的结果，其中满足的结果为，，共种， 根据概率公式可得，组成的三位数为“上升数”的概率为． 22．（2026·新疆喀什·二模）某校举办“未来科技周”活动，设置了“A．量子计算体验”“B．火星探测模拟”“C．AI大模型应用”三个主题，七年级（1）班和七年级（2）班各随机选择一个主题参加，每个主题被选中的可能性相同，则这两个班选择不同主题的概率是________． 【答案】 【分析】由列表法得到所有等可能的结果，找到满足要求的结果，利用简单概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下： （1）班 （2）班 A B C A B C 由列表可知，共有9种等可能的结果，其中，两个班选择不同主题的结果有，，，，，，共6种， ∴（两个班选择不同主题）． 23．（2026·浙江温州·二模）甲有，砝码各一个，乙有，砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为_______． 【答案】 【分析】利用列表法求出概率即可得到答案． 【详解】解： 甲 乙 一共有种等可能的结果，符合天平平衡的结果有种， 故天平平衡的概率为． 24．（2026·北京·模拟预测）某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，将收集的数据制成了如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中篮球部分对应的圆心角为，已知该校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有_____名． 【答案】1280 【分析】根据圆心角度数求出占比，然后求出羽毛球部分的占比，根据总数乘其占比即可求解． 【详解】解：篮球部分的占比为， 羽毛球部分的占比为， ∴估计该学校选择羽毛球的学生有（名）． 25．（2026·浙江温州·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，卡片上的数字之和为偶数的概率是______． 【答案】 【分析】先得到所有等可能性的结果数，再找到数字之和为偶数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： \乙甲 由表可知，一共有种等可能性的结果，其中卡片上数字之和为偶数的结果有种， 卡片上数字之和为偶数的概率是． 【题型六】几何模型 26．（23-24九年级上·北京西城·期中）矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，证明是解题的关键． 作，，证明，推出，当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于，于， ∵是的平分线， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴A、D、G、E四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长， ∵，，矩形， ∴，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 27．（2024·山西·模拟预测）如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是______________． 【答案】/ 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可解题． 【详解】解：，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， 四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 28．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，，，点C在内部，且，则四边形面积的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，取的中点N，连接，，证明是等边三角形，求出，要使四边形的面积最大，只需的面积最大．证明A，B，C，D四点共圆，得出当时，取得最大面积，此时，，，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点N，连接，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，，， ∴， ∴， ∴要使四边形的面积最大，只需的面积最大． ∵， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴当时，取得最大面积，此时，，， ∴， ∴，此时， ∴四边形面积的最大值为 故答案为：． 29．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及同高的三角形面积之比即是底边之比（反之亦然），掌握中心对称的性质是解题的关键．根据题意得到，利用同高的三角形底边之比即是面积之比，得到，，利用中心对称的性质得到，进而得到，即有，即可得到，从而得到． 【详解】解：四边形平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份， ，，， 连接，， 有， ， ， ， ，， 由中心对称性质可知， ， ， ， ， ； 同理可得， 故答案为：． 30．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形中，点E是上一点，．连接，过点B作，垂足为点F，连接， 过点F作， 交于点G，则 _______． 【答案】/0.75 【分析】连接，利用四点共圆，，结合正切函数计算即可． 本题考查了正方形的性质，四点共圆，余角性质，正切函数，熟练掌握四点共圆，余角性质，正切函数是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 连接， ∵，， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型七】动点问题 31．（20-21九年级上·北京顺义·期末）如图，线段，于点，于点，，，点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为_______． 【答案】1或3或8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，则，根据相似三角形的性质可分两种情形构建方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似， ①当时，，解得 经检验，是该方程的解． ②当时，，解得或， 经检验，或是该方程的解． ∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8． 故答案为：1或3或8． 32．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为_________． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或 33．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】/0.7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图①，连接，根据动点速度之间的数量关系及矩形的长宽，列出比例式，从而得到，从而得到，再证得点在线段的垂直平分线上，如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， 可得，再结合直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图①，连接，连接， 根据题意得：，则， ∵， ， 又， ， ， ， ，点G为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， ∴， ， 在中，， ∴ ， ， 又， ， 的最小值为． 故答案为： 34．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 35．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ①设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ②设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式：_______． 【答案】 【分析】原式为两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 2．（2023·湖南·中考真题）的立方根是_______________ 【答案】2 【详解】解：，， ∴的立方根是． 3．（2021·青海·中考真题）如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 4．（2021·山东济南·中考真题）已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为________． 【答案】10或 【分析】题中未明确已知两边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长． 【详解】解：分两种情况计算： 当和都为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得： 第三边长； 当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得： 第三边长． 综上，第三边长为10或． 5．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为_____°． 【答案】 【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． 【详解】，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 6．（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为__________． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解 【详解】∵四边形为矩形， ∴，且， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 故答案为： 7．（2017·四川广元·中考真题）的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①， 过点作，垂足为，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图， 过点作于点，反向延长交于点，连接， 同理， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 9．（2025·四川雅安·中考真题）如图，E，F分别是正方形边上的点，且的周长是正方形边长的2倍，交于点交于点N，若，，则______． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接，由旋转的性质可得，，，证明得出，证明得出，，证明得出，最后再由勾股定理即可得解． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， ， 由旋转的性质可得：，，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， 又，， ； ． 10．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $