第02课 圆的认识（一）（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第02课 圆的认识（一） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）结合生活情境，通过观察、操作等活动，认识圆，掌握圆的各部分名称（圆心、半径、直径）。 （2）理解并掌握同圆或等圆中半径与直径的关系（d=2r 或r=d/2 ），以及“圆上任意一点到圆心的距离相等”这一核心特征。 （3）学会使用圆规画圆，掌握画圆的步骤和技巧。 2、重难点。 重点： （1）认识圆的各部分名称： 准确识别圆心（O）、半径（r）、直径（d）。 （2）掌握圆的特征： 理解“同圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等”以及“直径是半径的2倍”。 （3）学会画圆： 能熟练使用圆规画出指定半径或直径的圆。 难点： （1）理解圆的本质定义： 深刻理解“圆是到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合”。即教材中提到的“圆上的点到中心的距离相等”，这是解释“套圈游戏公平性”和“车轮为什么是圆的”的数学本质。 （2）画圆的规范性： 在使用圆规画圆时，如何保持针尖固定不动、两脚间距不变，以及如何规范地标注字母。 （3）空间观念的建立： 从静态的图形认识到动态的生成过程（如旋转、轨迹），理解圆心决定位置、半径决定大小。 模块二 预习引导 一、圆的定义（本质特征）： 1、描述： “圆上的点到中心的距离相等。” 2、数学语言： 圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 3、应用理解： 这就是为什么“套圈游戏”中，大家站成圆形最公平，因为每个人到中心目标的距离都是一样的。 二、 圆的各部分名称： 1、圆心 (O)： 圆中心的一点，通常用字母O表示。它决定了圆的位置。 2、半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。它决定了圆的大小。 3、直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段，通常用字母d表示。 三、圆的基本性质（重点）： 在同一个圆（或等圆）中： 1、数量关系： 直径的长度是半径的2倍。 公式：d=2r或r=d÷2 2、相等关系： 所有的半径都相等，所有的直径都相等。 3、对称性：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴（每一条直径所在的直线都是它的对称轴）。 四、画圆的方法与要素： 1、工具使用 （1）圆规： 画圆的专用工具。 （2）操作步骤： 定点（针尖固定圆心）、定长（两脚张开距离为半径）、旋转（带笔尖的一脚旋转一周）。 2、决定因素 （1）圆心决定位置： 针尖扎在哪里，圆就在哪里。 （2）半径决定大小： 圆规两脚叉开的距离越大，画出的圆越大。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．下列关于圆的说法，正确的是（    ）。 A．经过圆心的线段是圆的直径 B．同一个圆中，所有的直径都相等 C．圆的半径增加4cm，直径也随之增加4cm D．直径的长度是半径长度的2倍 2．没有圆规，淘气用如图所示的方法也成功画出了圆。他的窍门是画圆时（    ）。 A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 3．如图，圆的半径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．12.56 4．如下图，乐乐从点A经过点O到点B上学，园园从点C经过点O到点B上学。她俩上学的路程相比，（    ）。 A．园园远 B．乐乐远 C．一样远 D．无法比较 5．淘气在画圆时由于粗心画错了位置，要想修正，他要改变（    ）。 A．圆心的位置 B．圆的直径 C．圆的半径 6．窨井盖平面轮廓是圆形的，其中一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口。这是应用了（    ）的规律。 A．圆形美观、节省材料 B．半径决定圆的大小 C．同一个圆内所有的直径都相等 7．圆的直径决定圆的（    ）。 A．形状 B．位置 C．大小 8．用圆规画圆，圆规两脚叉开的距离是2.8cm，画出的圆的直径是（    ）。 A．1.4cm B．2.8cm C．4.6cm D．5.6cm 二、填空题 9．下图中，点O是圆的( )，它确定了这个圆的( )；线段OC是圆的( )，它确定了这个圆的( )；线段( )是圆的直径。如果线段OC长3cm，那么线段AB长( )cm。 10．下面长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 11．填表。 半径/cm 4.6 0.75 直径/cm 12 9.8 12．看图填一填。 (1)圆的半径是( )厘米，正方形的边长是( )厘米。 (2)圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米。 13．把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是3厘米，这样画出的圆的半径是( )厘米，直径是( )厘米；如果要使画出的圆的直径是4厘米，那么圆规两脚间的距离应是( )厘米。 14．用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是( )。 15．看图填一填。 每个圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 三、作图题 16．按要求画一画，并用字母O，r，d标出其圆心、半径和直径。 （1）以点O为圆心，画一个半径为1cm的圆。     （2）以点O为圆心，画一个直径为3cm的圆。 四、解答题 17．你喜欢谁的设计？说说理由。 18．如图，奇思从A点到O点再到C点，淘气从B点到O点再到D点，谁走的路程长？ 19．请你想一想，描述或画出书包可能在哪里，并写出你的理由。 20．如果要给圆形的花坛安装一个喷水器，你觉得装在哪里好？为什么？ 21．人们在联欢时，会自然地围成圆形，为什么？想一想，说一说。 22．4名同学参加趣味“套圈”比赛，场地设计如下图所示。 （1）这样设计比赛场地公平吗？ （2）请你设计并画出一个公平的比赛场地示意图。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02课 圆的认识（一） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）结合生活情境，通过观察、操作等活动，认识圆，掌握圆的各部分名称（圆心、半径、直径）。 （2）理解并掌握同圆或等圆中半径与直径的关系（d=2r 或r=d/2 ），以及“圆上任意一点到圆心的距离相等”这一核心特征。 （3）学会使用圆规画圆，掌握画圆的步骤和技巧。 2、重难点。 重点： （1）认识圆的各部分名称： 准确识别圆心（O）、半径（r）、直径（d）。 （2）掌握圆的特征： 理解“同圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等”以及“直径是半径的2倍”。 （3）学会画圆： 能熟练使用圆规画出指定半径或直径的圆。 难点： （1）理解圆的本质定义： 深刻理解“圆是到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合”。即教材中提到的“圆上的点到中心的距离相等”，这是解释“套圈游戏公平性”和“车轮为什么是圆的”的数学本质。 （2）画圆的规范性： 在使用圆规画圆时，如何保持针尖固定不动、两脚间距不变，以及如何规范地标注字母。 （3）空间观念的建立： 从静态的图形认识到动态的生成过程（如旋转、轨迹），理解圆心决定位置、半径决定大小。 模块二 预习引导 一、圆的定义（本质特征）： 1、描述： “圆上的点到中心的距离相等。” 2、数学语言： 圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 3、应用理解： 这就是为什么“套圈游戏”中，大家站成圆形最公平，因为每个人到中心目标的距离都是一样的。 二、 圆的各部分名称： 1、圆心 (O)： 圆中心的一点，通常用字母O表示。它决定了圆的位置。 2、半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。它决定了圆的大小。 3、直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段，通常用字母d表示。 三、圆的基本性质（重点）： 在同一个圆（或等圆）中： 1、数量关系： 直径的长度是半径的2倍。 公式：d=2r或r=d÷2 2、相等关系： 所有的半径都相等，所有的直径都相等。 3、对称性：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴（每一条直径所在的直线都是它的对称轴）。 四、画圆的方法与要素： 1、工具使用 （1）圆规： 画圆的专用工具。 （2）操作步骤： 定点（针尖固定圆心）、定长（两脚张开距离为半径）、旋转（带笔尖的一脚旋转一周）。 2、决定因素 （1）圆心决定位置： 针尖扎在哪里，圆就在哪里。 （2）半径决定大小： 圆规两脚叉开的距离越大，画出的圆越大。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．下列关于圆的说法，正确的是（    ）。 A．经过圆心的线段是圆的直径 B．同一个圆中，所有的直径都相等 C．圆的半径增加4cm，直径也随之增加4cm D．直径的长度是半径长度的2倍 【答案】B 【分析】圆的直径定义：经过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。 在同一个圆里，所有的半径长度相等，直径d=2r（r为半径），且所有直径长度相等。 【详解】A.该选项只说“经过圆心的线段”，缺少“两端都在圆上”这一关键条件，比如经过圆心但一端在圆内，一端在圆外的线段就不是直径，所以该选项错误。 B.在同一个圆里，所有的半径长度相等，直径d=2r（r为半径），且所有直径长度相等，该选项正确。 C.由d=2r可知，当半径增加4cm，新半径r+4cm，新直径，直径增加的值是8cm，并非4cm，所以该选项错误。 D.“直径的长度是半径长度的2倍”成立的前提是“在同圆或等圆”中，所以该选项错误。 故答案为：B 2．没有圆规，淘气用如图所示的方法也成功画出了圆。他的窍门是画圆时（    ）。 A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【答案】C 【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，据此解答即可。 【详解】观察图形可知：画图时圆心的位置是确定不变的，并且利用图中直尺和圆圈让笔尖到圆心的长度也是确定的，即圆的半径不变。 故答案为：C 3．如图，圆的半径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．12.56 【答案】B 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；据此解答。 【详解】如图，圆的半径是4cm。 故答案为：B 4．如下图，乐乐从点A经过点O到点B上学，园园从点C经过点O到点B上学。她俩上学的路程相比，（    ）。 A．园园远 B．乐乐远 C．一样远 D．无法比较 【答案】C 【分析】在同一个圆中，所有半径长度都相等。据此可解答。 【详解】乐乐的路线是从点A经过点O到点B上学，从图上可知OA、OB均为圆O的半径，设半径为r，所以，乐乐的路程是2r；园园从点C经过点O到点B上学，从图上可知OC也为圆O的半径，所以，园园的路程也是2r；所以两人上学的路程一样远。 故答案为：C 5．淘气在画圆时由于粗心画错了位置，要想修正，他要改变（    ）。 A．圆心的位置 B．圆的直径 C．圆的半径 【答案】A 【分析】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，据此进行选择。 【详解】淘气在画圆时由于粗心画错了位置，要想修正，他要改变圆心的位置。 故答案为：A 6．窨井盖平面轮廓是圆形的，其中一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口。这是应用了（    ）的规律。 A．圆形美观、节省材料 B．半径决定圆的大小 C．同一个圆内所有的直径都相等 【答案】C 【分析】当井盖的直径大于井的直径时，井盖才不会掉进井里。因为同一个圆内所有的直径都相等，所以把一个圆形的井盖无论怎么放都不会掉进井里。 【详解】由分析可知，窨井盖平面轮廓是圆形的，其中一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口。这是应用了同一个圆内所有的直径都相等的规律。 故答案为：C 7．圆的直径决定圆的（    ）。 A．形状 B．位置 C．大小 【答案】C 【分析】圆的形状是固定的，所有圆都是相似图形，因此形状不受直径影响。圆的位置由圆心决定，而直径或半径决定了圆的大小。直径越大，圆越大；直径越小，圆越小。据此解答。 【详解】A．所有圆的形状相同，因此圆的形状与直径无关； B．圆的位置由圆心位置决定，因此圆的直径与位置无关； C．直径的大小直接决定圆的半径长度，从而确定圆的大小，因此圆的直径决定了圆的大小。 故答案为：C 8．用圆规画圆，圆规两脚叉开的距离是2.8cm，画出的圆的直径是（    ）。 A．1.4cm B．2.8cm C．4.6cm D．5.6cm 【答案】D 【分析】画圆时，圆规两脚叉开的距离是半径，根据圆的直径＝半径×2，进行计算即可。 【详解】2.8×2＝5.6（cm） 画出的圆的直径是5.6cm。 故答案为：D 二、填空题 9．下图中，点O是圆的( )，它确定了这个圆的( )；线段OC是圆的( )，它确定了这个圆的( )；线段( )是圆的直径。如果线段OC长3cm，那么线段AB长( )cm。 【答案】 圆心 位置 半径 大小 AB 6 【分析】根据圆的相关概念进行解答即可； 圆心确定圆的位置；半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，半径决定圆的大小；直径是通过圆心，且两端都在圆上的线段，同一个圆内，直径是半径的2倍。 【详解】点O是圆的圆心，它确定了这个圆的位置； 线段OC是圆的半径，它确定了这个圆的大小； 线段AB是圆的直径，如果线段OC长3cm，，那么线段AB长6cm。 10．下面长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 7.5 5 【分析】由图可知：长方形的长等于3个圆的半径的长度，长方形的宽等于圆的直径的长度，据此解答。 【详解】圆的半径是2.5cm，直径是5cm； 2.5×3＝7.5（cm） 所以，下面长方形的长是7.5cm，宽是5cm。 11．填表。 半径/cm 4.6 0.75 直径/cm 12 9.8 【答案】6；4.9； 9.2；1.5 【分析】圆的半径＝直径÷2；圆的直径＝半径×2。据此分别求出直径半径。 【详解】 半径/cm 4.6 6 4.9 0.75 直径/cm 9.2 12 9.8 1.5 12．看图填一填。 (1)圆的半径是( )厘米，正方形的边长是( )厘米。 (2)圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米。 【答案】(1) 2.1 4.2 (2) 2 1 【分析】（1）由图可知，圆的直径是4.2厘米。半径＝直径÷2，直接用4.2除以2即可算出这个圆的半径；正方形的边长等于这个圆的直径，所以正方形的边长是4.2厘米。 （2）由图可知，2个圆的直径之和是4厘米，直接用4除以2先算出一个圆的直径。半径＝直径÷2，直接用前面的得数除以2即可算出一个圆的半径。 【详解】（1）4.2÷2＝2.1（厘米） 圆的半径是2.1厘米，正方形的边长是4.2厘米。 （2）4÷2＝2（厘米），2÷2＝1（厘米） 圆的直径是2厘米，半径是1厘米。 13．把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是3厘米，这样画出的圆的半径是( )厘米，直径是( )厘米；如果要使画出的圆的直径是4厘米，那么圆规两脚间的距离应是( )厘米。 【答案】 3 6 2 【分析】圆规两脚间的距离等于圆的半径。由题意得，圆规两脚间的距离是3厘米，那么圆的半径就是3厘米。而直径＝半径×2，据此求出所画圆的直径；要使画出的圆的直径是4厘米，半径＝直径÷2，直接用4除以2先算出这个圆的半径，也就是圆规两脚间的距离。 【详解】3×2＝6（厘米），4÷2＝2（厘米） 把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是3厘米，这样画出的圆的半径是3厘米，直径是6厘米；如果要使画出的圆的直径是4厘米，那么圆规两脚间的距离应是2厘米。 14．用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是( )。 【答案】圆中最长的线段是直径 【分析】垂直于同一条直径的两条直线互相平行，则三角尺与圆相交的两条直角边互相平行，而平行线间的距离处处相等，这样可以测量出圆内最长的线段长度，因为直径是圆内最长的线段，所以测量依据是圆中最长的线段是直径，据此解答。 【详解】根据分析可知，用如图的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，测量依据是圆中最长的线段是直径。 15．看图填一填。 每个圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 【答案】 9 4.5 【分析】看图，两个圆的直径和是18cm，那么将18cm除以2，即可求出每个圆的直径。将每个圆的直径再除以2，即可求出每个圆的半径。 【详解】18÷2＝9（cm） 9÷2＝4.5（cm） 所以，每个圆的直径是9cm，半径是4.5cm。 三、作图题 16．按要求画一画，并用字母O，r，d标出其圆心、半径和直径。 （1）以点O为圆心，画一个半径为1cm的圆。     （2）以点O为圆心，画一个直径为3cm的圆。 【答案】见详解 【分析】（1）首先确定圆心位置，标注为点O，然后用圆规取半径1厘米，以O为圆心画圆，从O到圆周任意一点画线段，标注为半径r，过O画一条两端延伸至圆周的线段，标注为直径，据此画图； （2）根据题意，因为题目要求直径是3厘米，那么我们用3÷2，先求出半径，然后确定圆心，用圆规有针尖的一脚固定在圆心，再以圆规两脚之间的距离为1.5厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆，圆心用字母“O”表示，半径用字母“r”表示，直径用字母“d”表示，据此画图。 【详解】根据分析可得： （1）作图如下： （2） 半径：3÷2＝1.5（厘米） 四、解答题 17．你喜欢谁的设计？说说理由。 【答案】见详解 【分析】多边形的中心到边上的距离相等，滚动起来很稳定，反之不稳定；再结合圆的中心到圆上的距离都相等展开说理即可。 【详解】我喜欢第三个小动物的设计，三角形和正方形的车轮与圆形的车轮相比，中心到边线的距离不相等，重心一直在变，运行起来不平稳； 圆心到圆上任意一点的距离一定，能让重心保持不变，所以使各种交通工具能够在轨道上平稳运动，驾驶者不会有颠簸的感觉。即圆形的车轮运行起来很平稳。（答案合理即可） 18．如图，奇思从A点到O点再到C点，淘气从B点到O点再到D点，谁走的路程长？ 【答案】一样长 【分析】同一个圆内，直径＝半径×2，看图可知，OA和OC都是半径，BD是直径，据此分析。 【详解】奇思和淘气走的路程一样长。因为淘气走的路程是一条直径，奇思走的路程是两条半径，这里直径的长度是半径的两倍，所以一样长。 19．请你想一想，描述或画出书包可能在哪里，并写出你的理由。 【答案】见详解 【分析】根据圆的定义，平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。在这个情境中，我所站的位置就是定点，2米就是定长，据此解答。 【详解】在当前情境中，您所站位置就是那个定点，2米就是定长。所以，符合距离您2米这个条件的所有位置就构成了一个圆，书包就有可能在这个圆的圆周上的任意一点。 20．如果要给圆形的花坛安装一个喷水器，你觉得装在哪里好？为什么？ 【答案】花坛的中心处；因为圆心到圆上各点的距离相等，当安装在圆心时，在圆心处的水可以到达圆形花坛的每一个地方 【分析】圆心到圆上各点的距离都相等，据此解答。 【详解】根据分析可知，应该安装在花坛的中心处，因为圆心到圆上各点的距离相等，当安装在圆心时，在圆心处的水可以到达圆形花坛的每一个地方。 【点睛】考查了圆的特征的实际应用，解题的关键是明确圆心到圆上任意一点的距离相等。 21．人们在联欢时，会自然地围成圆形，为什么？想一想，说一说。 【答案】见详解 【分析】在同一个圆内，所有的半径长度都相等；圆上任意三点都不会在一条直线上。据此解答。 【详解】在同一个圆内，所有的半径长度都相等，则人们围成圆形时，火堆就是圆心，那么每个人与火堆的距离相等，可以使每个人都看得很清楚。而且，因为圆上任意三点都不会在一条直线上，则任何一个人的视线都不会被其他人遮挡。 22．4名同学参加趣味“套圈”比赛，场地设计如下图所示。 （1）这样设计比赛场地公平吗？ （2）请你设计并画出一个公平的比赛场地示意图。 【答案】（1）不公平 （2）见解析 【分析】在套圈游戏中，公平的场地设计应该是每个同学到目标（瓶子）的距离相等。从图中可以看到，4名同学的位置①、②、③、④在一条直线上，而瓶子在直线的一侧，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，②号同学到瓶子的距离是垂线段的长度，①、③、④号同学到瓶子的距离是斜线的长度，斜线长度大于垂线段长度，所以4名同学到瓶子的距离不相等； 设计公平的比赛场地要设计公平的比赛场地，需要让4名同学到瓶子的距离相等。 【详解】（1）由于4名同学离瓶子的距离不相等，所以这样的设计不公平。 （2）同圆内半径都相等，只要4名同学所站的位置成一个圆形，游戏就公平了。公平的比赛场地示意图如图所示。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $