第04课 欣赏与设计（导学案）新六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第04课 欣赏与设计 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）图案分析： 能识别复杂图案中的基本图形（如圆、半圆、圆弧、线段等），并能描述图案的形成过程（如平移、旋转、轴对称）。 （2）图案绘制： 掌握利用圆规和直尺在方格纸或白纸上绘制简单组合图案的方法。 （3）创意设计： 能灵活运用圆及相关几何图形设计出具有美感的图案。 2、重难点。 重点： （1）分析图案结构： 能够准确找出复杂图案是由哪些基本图形（圆、半圆、扇形等）组成的，以及它们是如何排列的。 （2）掌握绘图技巧： 熟练使用圆规确定圆心和半径，画出标准的圆或圆弧，完成图案的拼接。 难点： （1）确定圆心和半径： 在绘制组合图案时，能够准确找到各个小圆或圆弧的圆心位置及半径长度（特别是涉及相切、相交的情况）。 （2）创意设计的逻辑性： 在设计新图案时，不仅要美观，还要符合几何规律（如旋转对称），避免随意涂鸦。 模块二 预习引导 一、欣赏数学之美：图案的构成与形成： 1、经典图案赏析 （1）风车图： 构成： 由1个大圆和4个相同的小半圆组成。 原理： 利用圆的旋转对称性。4个半圆围绕中心点旋转90度排列。 （2）太极图： 构成： 由1个大圆和2个大小相等的小半圆（一黑一白）组成。 原理： 体现了中心对称的美感。 （3）心脏线： 构成： 由许多大小相等的圆，圆心分布在一个大圆上，且所有圆都经过大圆上的同一个点而形成。 （4）螺旋线（斐波那契螺旋）： 构成： 在正方形网格中，以正方形的边长为半径画四分之一圆弧，连接而成。 2、图案形成的规律 （1）基本图形： 复杂的图案往往是由简单的几何图形（圆、半圆、扇形、线段）组成的。 （2）变换方式： 图案的形成通常利用了图形的平移、旋转或轴对称。 二、动手实践：图案的绘制方法： 1、绘制步骤拆解 教材通过“看一看，画一画”展示了两个典型图案的绘制过程： 四叶风车图案： 定框架： 先画一个大圆，并画出两条互相垂直的直径（十字线），将圆分成四个象限。 找圆心： 确定小半圆的直径是大圆的半径。小半圆的圆心位于大圆半径的中点。 画弧线： 依次画出四个半圆，注意方向要一致（顺时针或逆时针）。 太极图（阴阳鱼）： 定框架： 画一个大圆，画一条垂直的直径。 找圆心： 找出大圆半径的中点作为小半圆的圆心。 画弧线： 在大圆直径的两侧分别画两个方向相反的小半圆（一个向上凸，一个向下凹）。 2、关键技巧 找准圆心： 这是画图准确的关键。通常需要借助直尺测量半径的中点。 固定半径： 圆规两脚间的距离一旦设定，画同组圆弧时不能改变。 三、创意设计与拓展： 1、创意组合 题目示例： “用一个圆、三条线段，设计出一个有意义的图形”。 思路： 比如画一个圆代表脸，三条线段代表五官（人脸）；或者画一个圆代表表盘，三条线段代表指针（时间）。 2、极限思想的渗透 正方形旋转： 将正方形绕中心不断旋转，重叠部分会形成一个类似圆形的复杂花纹。 正多边形逼近圆： 随着正多边形边数的增加（从正方形到正八边形等），其形状越来越接近圆。这为初中学习“割圆术”和极限思想埋下伏笔。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．这个图形是通过（ ）得到的 A．旋转 B．平移 C．对称 【答案】B 【分析】考察了图案的设计 【详解】可以看做一个图形平移得到 2．下面这个美丽的图案用到了（   ） A．平移 B．旋转            C．对称 【答案】A 【详解】这个图案是将一个小图案平移得到的． 3．小明用如下图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】一组图案是三个三角形，其中中间一个三角形靠右，那么从左到右滚涂后它将靠左。 据此，发现只有符合滚涂后的图案。 故答案为：A 4．花边的设计是运用图形的（    ）等变换。 A．平移 B．旋转 C．轴对称 【答案】B 【分析】此题主要是考查平移、旋转、轴对称的意义。此题也可画出一半再根据轴对称来设计，那样就太麻烦了，利用旋转设计，只要画出两个主体元素即可。 【详解】红色图案绕中心按一定的方向旋转＝72°，再旋转72°…旋转5个72°； 同样绿色部份也是绕中心按一定的方向旋转＝72°，再旋转72°…旋转5个72°； 因此个数图形可以看作是由旋转而成的。 故答案选：B。 5．图案通过（    ）可以得到。 A．平移 B．轴对称 C．平移和轴对称 D．平移或轴对称 【答案】C 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移。据此解答。 【详解】 观察图形可知，通过平移得到，再通过轴对称得到。即图案通过平移和轴对称可以得到。 故答案为：C 6．正方形绕中心点O旋转，内部空白部分可以得到一个圆（如下图）。 如果长方形绕中心点O旋转，内部空白部分也可以得到一个圆，那么这个圆的直径和长方形的（    ）长度相等。（填选项） A．长 B．宽 C．（长＋宽）÷2 【答案】B 【分析】本题可通过分析长方形绕中心点旋转，内部空白部分形成圆的过程，结合圆与长方形的关系来求解。 当正方形绕中心点O旋转时，内部空白部分形成圆，此时圆的直径等于正方形的边长。同理，对于长方形绕中心点O旋转，内部空白部分形成圆，在旋转过程中，长方形的宽决定了内部空白部分圆的最大距离，因为长方形的宽是长方形较短的边，当绕中心点旋转时，以宽为限制，旋转后形成圆的直径长度等于长方形的宽。 【详解】A.若认为圆的直径等于长方形的长，由于长大于宽，旋转时会超过宽的限制，无法形成以长为直径的圆，所以该选项错误。 B.长方形的宽决定了旋转形成圆的直径，所以这个圆的直径和长方形的宽长度相等，所以该选项正确。可以实际画一画，如图，可以看出，圆的直径与长方形的宽长度相等。 C.是长方形长和宽的平均值，与旋转形成圆的直径没有直接关系，所以该选项错误。 故答案为：B 二、填空题 7．下面这些图案是怎样组成的？填一填。 (1)图①是由( )个大圆和( )个相同的小的半圆组成的。 (2)图②是由( )个大圆和( )个相同的小的半圆组成的。 (3)图③是由( )个大圆和( )个相同的小圆组成的。 【答案】(1) 1 2 (2) 1 4 (3) 1 4 【分析】从给定的图案中，识别出大圆和小圆（或小半圆）的数量，通过仔细观察图案的构成元素，区分不同大小的圆形（半圆）来确定数量。 【详解】（1）观察图①，能清晰看到有1个完整的大圆作为基础轮廓，再看内部，有2个相同的小半圆，所以图①是由1个大圆和2个相同的小的半圆组成的。 （2）对于图②，先找到1个大圆，然后看内部的小半圆，经过仔细计数，可发现有4个相同的小半圆，因此图②是由1个大圆和4个相同的小的半圆组成的。 （3）观察图③，有1个大圆，再看内部，能数出有4个相同的小圆，所以图③是由1个大圆和4个相同的小圆组成的。 8．组合图案是由________经过________、________、________等图形变换形成的。 【答案】 基本图案 平移 旋转 轴对称 【详解】如图所示为一个组合图案，它是由三角形和正方形构成的，构成组合图案的三角形和正方形就是基本图案，这个组合图案又是由如图所示的变换而形成的，三角形经过平移、旋转、轴对称从而形成了这个组合图案的一部分。所以，组合图案是由基本图案经过平移、旋转、轴对称等图形变换形成的。 　　　　　 9．下图运用了________原理 【答案】平移和旋转 【详解】平移和旋转的结合可以得到上述图形 【分析】考察了图案的设计 10．想一想下面的每幅图是怎样得到的，填一填。    (1)通过平移得到的图案有________。 (2)通过轴对称得到的图案有_________。 【答案】(1)①③ (2)②③④ 【分析】在平面内，将一个图形上所有的点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移；如果一个图形沿一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；所以①是通过平移得到的图案，②是通过轴对称得到的图案，③是既可以通过平移也可以通过轴对称得到的图案，④是通过轴对称得到的图案。 【详解】（1）通过平移得到的图案有①③ （2）通过轴对称得到的图案有②③④ 【点睛】本题考查平移和轴对称的应用，理解平移和轴对称的意义是关键。 11．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下图是2022年冬奥会的会徽，会徽中的奥运五环图案是通过把基本图形( )得到的。 【答案】平移 【分析】奥运五环和原来的基本图形圆环的形状、大小和方向相同，所以是由一个圆环平移到不同位置得到的，据此解答。 【详解】会徽中的奥运五环图案是通过把基本图形平移得到的。 【点睛】掌握平移的特征是解答本题的关键。 三、作图题 12．在下边的方格图中仿照左边的图案画一画。      【答案】见详解 【分析】第一个图形是以半径为一个方格、以“田”字形上下左右中间点为圆心画出4个半圆得到图形；第二个图形以半径为一个方格、以“田”字形上下左右中间点为圆心画出4个圆，将两两圆重合部分涂色得出。 【详解】可画出图如下： 13．借助圆规和直尺照样子画出与下列两幅图一样的图形。 【答案】 【分析】左图：用直尺画出正方形，确定边长，这是图形的外轮廓基础，以正方形四条边的中点为圆心（可通过直尺测量边长取中点），以正方形边长的一半为半径，用圆规分别在相邻边中点间画圆弧，四条边对应画出的圆弧就组成花瓣形图案 。 右图：用圆规确定圆心和半径，画出外侧大圆，找到大圆水平与垂直方向的直径（用直尺辅助绘制），将直径等分成若干段（观察图形可确定分割方式），以特定分段点为圆心（根据图形对称及曲线形态，确定圆心位置），以合适长度为半径（结合大圆半径及图形比例），用圆规画圆弧，组合这些圆弧得到内部曲线图案 。 【详解】 四、解答题 14．按照下面的方式做一做，注意观察黑点在旋转时的痕迹。 【答案】见详解 【分析】根据圆的认识可知，通过观察发现，黑点到中心的位置固定，旋转时，经过的痕迹，画出的形状相当于圆。 【详解】旋转中间的木棒，根据分析可知，黑点在旋转时经过的路径是一个圆。 15．认真观察，想一想奥运五环图案是怎样形成的？填一填。 【答案】5个圆；见详解 【分析】通过观察可知，五环是由5个圆组成的；画的图案合理即可，例如：先用圆规画一个圆，再用三角板作这个圆的两条互相垂直的直径，然后再分别以这两直径的端点为圆心，以原圆的半径为半径在圆内画最大弧，四弧两两相交部分即可组成一个花朵。 【详解】五环图案是由5个圆套接组成的，画的图案如下： （答案不唯一） 16．下面的图案分别是由哪个图形旋转而成的？ 【答案】见详解 【分析】将一个图形绕着某一个点，按照一定的角度和方向运动，这样的图形运动叫旋转。据此观察题中的图案，找出每个图形是由哪个基础图形旋转得到的即可。 【详解】图一是由一片花瓣旋转得到的一朵花； 图二是由一片叶子旋转得到图形； 图三是由一个正方形旋转得到的图形。 17．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 【答案】31 【分析】 由可知三角形表示2，圆表示3，正方形表示1。又由这些图案下面的数字可以发现图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字。根据发现的关系可知图案中，里面是圆，表示前面的数字是3，外面是正方形表示后面的数字是1；据此解答。 【详解】 通过分析可知，三角形表示2，圆表示3，正方形表示1， 图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字，所以表示31。 【点睛】解决此类问题可以先从组合图案中找到与图形相对应的数字，再根据图案的组合规律推算出对应的数字的排列顺序。 18．下面的图案可以看成是由一个什么图形经过旋转而成的？试着把它画下来。 【答案】圆；图见详解 【分析】先画出中心的圆作为第一个圆，在圆上找一点作为圆心，以中心圆的半径为半径画第二个圆，将第二个圆绕中心圆的圆心顺时针（或逆时针）旋转60°，画出第三个圆，同样的方法再旋转5次即可得到题中的图案。据此作答。 【详解】题中图案可以看成是由一个圆经过旋转而成的，作图如下： 【点睛】本题考查旋转的方法在设计图案中的应用，这一方法在生活中有广泛的应用，要灵活掌握。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04课 欣赏与设计 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）图案分析： 能识别复杂图案中的基本图形（如圆、半圆、圆弧、线段等），并能描述图案的形成过程（如平移、旋转、轴对称）。 （2）图案绘制： 掌握利用圆规和直尺在方格纸或白纸上绘制简单组合图案的方法。 （3）创意设计： 能灵活运用圆及相关几何图形设计出具有美感的图案。 2、重难点。 重点： （1）分析图案结构： 能够准确找出复杂图案是由哪些基本图形（圆、半圆、扇形等）组成的，以及它们是如何排列的。 （2）掌握绘图技巧： 熟练使用圆规确定圆心和半径，画出标准的圆或圆弧，完成图案的拼接。 难点： （1）确定圆心和半径： 在绘制组合图案时，能够准确找到各个小圆或圆弧的圆心位置及半径长度（特别是涉及相切、相交的情况）。 （2）创意设计的逻辑性： 在设计新图案时，不仅要美观，还要符合几何规律（如旋转对称），避免随意涂鸦。 模块二 预习引导 一、欣赏数学之美：图案的构成与形成： 1、经典图案赏析 （1）风车图： 构成： 由1个大圆和4个相同的小半圆组成。 原理： 利用圆的旋转对称性。4个半圆围绕中心点旋转90度排列。 （2）太极图： 构成： 由1个大圆和2个大小相等的小半圆（一黑一白）组成。 原理： 体现了中心对称的美感。 （3）心脏线： 构成： 由许多大小相等的圆，圆心分布在一个大圆上，且所有圆都经过大圆上的同一个点而形成。 （4）螺旋线（斐波那契螺旋）： 构成： 在正方形网格中，以正方形的边长为半径画四分之一圆弧，连接而成。 2、图案形成的规律 （1）基本图形： 复杂的图案往往是由简单的几何图形（圆、半圆、扇形、线段）组成的。 （2）变换方式： 图案的形成通常利用了图形的平移、旋转或轴对称。 二、动手实践：图案的绘制方法： 1、绘制步骤拆解 教材通过“看一看，画一画”展示了两个典型图案的绘制过程： 四叶风车图案： 定框架： 先画一个大圆，并画出两条互相垂直的直径（十字线），将圆分成四个象限。 找圆心： 确定小半圆的直径是大圆的半径。小半圆的圆心位于大圆半径的中点。 画弧线： 依次画出四个半圆，注意方向要一致（顺时针或逆时针）。 太极图（阴阳鱼）： 定框架： 画一个大圆，画一条垂直的直径。 找圆心： 找出大圆半径的中点作为小半圆的圆心。 画弧线： 在大圆直径的两侧分别画两个方向相反的小半圆（一个向上凸，一个向下凹）。 2、关键技巧 找准圆心： 这是画图准确的关键。通常需要借助直尺测量半径的中点。 固定半径： 圆规两脚间的距离一旦设定，画同组圆弧时不能改变。 三、创意设计与拓展： 1、创意组合 题目示例： “用一个圆、三条线段，设计出一个有意义的图形”。 思路： 比如画一个圆代表脸，三条线段代表五官（人脸）；或者画一个圆代表表盘，三条线段代表指针（时间）。 2、极限思想的渗透 正方形旋转： 将正方形绕中心不断旋转，重叠部分会形成一个类似圆形的复杂花纹。 正多边形逼近圆： 随着正多边形边数的增加（从正方形到正八边形等），其形状越来越接近圆。这为初中学习“割圆术”和极限思想埋下伏笔。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．这个图形是通过（ ）得到的 A．旋转 B．平移 C．对称 2．下面这个美丽的图案用到了（   ） A．平移 B．旋转            C．对称 3．小明用如下图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是（   ）。 A． B． C． D． 4．花边的设计是运用图形的（    ）等变换。 A．平移 B．旋转 C．轴对称 5．图案通过（    ）可以得到。 A．平移 B．轴对称 C．平移和轴对称 D．平移或轴对称 6．正方形绕中心点O旋转，内部空白部分可以得到一个圆（如下图）。 如果长方形绕中心点O旋转，内部空白部分也可以得到一个圆，那么这个圆的直径和长方形的（    ）长度相等。（填选项） A．长 B．宽 C．（长＋宽）÷2 二、填空题 7．下面这些图案是怎样组成的？填一填。 (1)图①是由( )个大圆和( )个相同的小的半圆组成的。 (2)图②是由( )个大圆和( )个相同的小的半圆组成的。 (3)图③是由( )个大圆和( )个相同的小圆组成的。 8．组合图案是由________经过________、________、________等图形变换形成的。 9．下图运用了________原理 10．想一想下面的每幅图是怎样得到的，填一填。    (1)通过平移得到的图案有________。 (2)通过轴对称得到的图案有_________。 11．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下图是2022年冬奥会的会徽，会徽中的奥运五环图案是通过把基本图形( )得到的。 三、作图题 12．在下边的方格图中仿照左边的图案画一画。      13．借助圆规和直尺照样子画出与下列两幅图一样的图形。 四、解答题 14．按照下面的方式做一做，注意观察黑点在旋转时的痕迹。 15．认真观察，想一想奥运五环图案是怎样形成的？填一填。 16．下面的图案分别是由哪个图形旋转而成的？ 17．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 18．下面的图案可以看成是由一个什么图形经过旋转而成的？试着把它画下来。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $