精品解析：2026年甘肃省酒泉市2026年中考适应性第三次检测试卷 数学

酒泉市2026年中考适应性第三次检测试卷 数学 （满分：120分考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每题3分共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，，0，1中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 一个成年人的身高和脚长之比大约为，侦探Q先生发现了1名嫌疑人的鞋印，如图，根据脚印的长度和身高的关系来判断，嫌疑人的身高最可能是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 3. 2026年3月，中国科学院潘建伟院士团队成功构建了105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，量子比特相干时间达到秒，实现了对“量子随机线路采样”任务的快速求解．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在中，，，点M，N分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点B的对应点落在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 7. 在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 若式子有意义，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 9. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题：本题共6小题，每题3分共18分． 11. 因式分解：___________． 12. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____． 13. 如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，．若“矩”的边，边，则树的高为． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积______． 15. 如图，电流表中，把指针旋转中心记为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖从点运动到点．若，，则指针的长度是________cm 16. “洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 三、解答题：本题共11小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为，，，请解答下列问题： （1）若与关于原点O中心对称，请画出； （2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，请画出并直接写出点的坐标及点A旋转时走过的路程（每个小正方形的边长为1）． 21. 中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 22. 2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图． 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩x（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 a 171 第2组 9 567 第3组 b 1119 第4组 21 1829 第5组 12 1150 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的作品有______份，b的值为______，所抽取作品成绩的中位数位于第______组； （2）求所抽取作品成绩的平均数； （3）若参加此次大赛的作品共有900份，请你估计成绩不低于80分的作品数． 23. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出中的取值范围； (3)求的面积． 25. 如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点． （1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 26. 【模型建立】 （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 27. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．P为第一象限抛物线上的点，连接，，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1所示，当时，求点P的坐标； （3）如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m．求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 酒泉市2026年中考适应性第三次检测试卷 数学 （满分：120分考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每题3分共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，，0，1中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则（正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数）及无理数的估算进行分析求解． 【详解】解：∵，是负数，比0小，而1是正数，比0大， ∴最大的数是1． 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较，理解实数的概念是解题关键． 2. 一个成年人的身高和脚长之比大约为，侦探Q先生发现了1名嫌疑人的鞋印，如图，根据脚印的长度和身高的关系来判断，嫌疑人的身高最可能是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的应用，解题的关键是根据身高与脚长的比例关系计算出对应的身高． 根据成年人身高与脚长之比约为，用脚印长度乘以7，计算出嫌疑人的大致身高，再与选项对比判断． 【详解】解：由题意，成年人身高与脚长之比约为， 脚印长度为， 则嫌疑人的身高约为 ，与最接近的是乙的身高， 故选：． 3. 2026年3月，中国科学院潘建伟院士团队成功构建了105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，量子比特相干时间达到秒，实现了对“量子随机线路采样”任务的快速求解．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，其形式为，且满足，为整数． 【详解】解：． 4. 在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征：第一象限的点,横坐标,纵坐标都为正；第二象限的点,横坐标为负,纵坐标为正；第三象限的点,横坐标,纵坐标都为负数；第四象限的点,横坐标为正,纵坐标为负，判定即可． 【详解】解：∵该点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴所在象限为第二象限， 故选：B． 【点睛】此题考查的是判断点所在的象限，掌握各象限内点的坐标特征是解决此题的关键． 5. 如图，在中，，，点M，N分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点B的对应点落在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据得到，由折叠的性质可知：，根据进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ． 6. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 7. 在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可． 【详解】解：∵一组数据中，方差越小，数据越稳定、波动越小，方差越大，数据越分散、波动越大， ∴观察图片可知，甲的成绩比乙的成绩更加分散， ∴． 8. 若式子有意义，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解． 【详解】解：由题意可得 解得：且， 故选：B． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零，二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键． 9. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设客人有x人，盘子有y个， ∵2人共用1个盘子时少2个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数多2，∴可得方程， ∵3人共用1个盘子时多3个盘子，说明需要的盘子总数比现有盘子数少3，∴可得方程 因此所列方程组为． 10. 如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，勾股定理，由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点，此时，利用三角形面积求出的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点， ． 为的中点， ，即， 解得． 在中，， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每题3分共18分． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察原式，可将原式变形为两个整式的平方差，符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 12. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得k-3＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得k-3＜0， 解得k＜3． 故答案是：k＜3． 【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 13. 如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，．若“矩”的边，边，则树的高为． 【答案】 【解析】 【分析】由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，过作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 15. 如图，电流表中，把指针旋转中心记为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖从点运动到点．若，，则指针的长度是________cm 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可得，如图所示，过点O作于点C，得到，由锐角三角函数的计算得到，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，如图所示，过点O作于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即指针的长度是5． 16. “洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设中心格内的数为，根据三阶幻方的性质，任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，且和为，利用这一性质表示出相关位置的数，通过列方程即可得出之间的关系． 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题：本题共11小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用绝对值、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可； 【详解】解： 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 所以该不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则化简，再代值计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为，，，请解答下列问题： （1）若与关于原点O中心对称，请画出； （2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，请画出并直接写出点的坐标及点A旋转时走过的路程（每个小正方形的边长为1）． 【答案】（1） （2）， ，点A旋转时走过的路程是． 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到的坐标，然后描点连线即可； （2）利用旋转的性质和格点的特征分别画出点的对应点，然后利用扇形弧长公式进行计算点A旋转时走过的路程． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由图可知，， 由勾股定理得：线段， ∴点A旋转时走过的路程为：． 21. 中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）由题意可进行列表，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是； 故答案为； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： A B C D A B C D 由表可知总共有种等可能的情况，其中两人介绍的航天工程主题相同的有种等可能的情况，所以他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 22. 2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图． 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩x（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 a 171 第2组 9 567 第3组 b 1119 第4组 21 1829 第5组 12 1150 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的作品有______份，b的值为______，所抽取作品成绩的中位数位于第______组； （2）求所抽取作品成绩的平均数； （3）若参加此次大赛的作品共有900份，请你估计成绩不低于80分的作品数． 【答案】（1）60；15；4 （2）80.6分 （3）495份 【解析】 【分析】（1）扇形中某项目所占百分数等于频数除以样本容量，频数等于样本容量乘以所占百分数，根据中位数的定义，解答即可； （2）利用平均数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得本次抽取的作品有：， 根据题意，得第1组的份数为：（份）， 故（份） 中位数是第30个，第31个数据的平均数， 故中位数位于第4组． 【小问2详解】 解：（分）． 答：所抽取作品成绩的平均数为80.6分． 【小问3详解】 解：（份）． 答：成绩不低于80分的作品数大约是495份． 23. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】广告牌CD的高约为7.4米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、， 由题意可知，，，，米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，米， （米， ， 答：广告牌CD的高约为7.4米． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出中的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)y=-2x+6；(2) 或；(3)3． 【解析】 【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标； （2）由图直接解答； （3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积即可． 【详解】(1)∵点在反比例函数上， ∴，解得， ∴点的坐标为， 又∵点也在反比例函数上， ∴，解得， ∴点的坐标为， 又∵点、在的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为． (2)根据图象得：时，的取值范围为或； (3)∵直线与轴的交点为， ∴点的坐标为， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键． 25. 如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点． （1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论； （2）如图，连接OD，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOD的面积，减去扇形AOD的面积即可． 【小问1详解】 证明： ∠ =45°，， 即 在上， 为的切线． 【小问2详解】 如图，连接OD， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键． 26. 【模型建立】 （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； （2）在上截取，连接，由正方形的性质可得，，证明，得出，，证明，得出，即可得解； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，从而可得，，求出，证明，得出，最后由勾股定理即可得解． 【详解】证明：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合， ∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．P为第一象限抛物线上的点，连接，，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1所示，当时，求点P的坐标； （3）如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m．求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1) 将点C的坐标代入抛物线的解析式中，确定a的值即可； (2)过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，利用正切函数，证明，再证明，设点坐标为，则，，构造方程，解答即可； (3)如图2，作，且使，连接，得到，根据两点之间线段最短，得到，当，，共线时，的值最小，作于点．设，则，解方程，然后利用勾股定理，求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交于点，将点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 解：(2)如图1，过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， ∵抛物线与x轴交于A，B两点， 当时，得：， 解得：或4， ，， ，． ∵点 ， ，． ， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， ． 又， ， ． 设点坐标为，则，， ． 整理，得 解得：(不合题意，舍去)，． ∴点坐标为； 【小问3详解】 解： 如图2，作，且使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，，共线时，的值最小，作于点． ，， ， ， ， ． 设，则， ． 解得：或(不合题意，舍去)， ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $