第20章 勾股定理 期末复习高频考点核心知识清单-八年级数学下学期新教材人教版

第20章 勾股定理及其逆定理 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 勾股定理基础 文字语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么。 符号语言：在中，，则。 变式公式：；；。 核心思想：数形结合，将直角三角形的 “形” 转化为三边平方关系的 “数”。 2. 勾股定理的证明（期末常考） 赵爽弦图法（面积法）：大正方形面积。 出入相补法：通过图形割补，利用面积相等证明三边平方关系。S＝a²＋b²＝c² 总统证法 / 毕达哥拉斯拼图：均以面积相等为核心推导。如下： 梯形面积S= (a＋b)(a＋b)= a²＋b²＋ab= ab＋ab＋c²=c²＋ab 大正方形的面积=c²＋4×ab=a²＋b²＋4×ab 赵爽弦图 刘徽“青朱出入图” 加菲尔德总统拼图 毕达哥拉斯拼图 3. 勾股定理的逆定理 文字语言：如果三角形的三边长、、（为最长边）满足，那么这个三角形是直角三角形，且。 判定步骤： a. 确定最长边； b. 计算最长边的平方与另两边平方和； c. 比较相等与否，判断是否为直角三角形。 4. 勾股数（期末选填高频） 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：；；；；；。 规律：若是勾股数，则（为正整数）也是勾股数。 5. 勾股定理的应用 已知直角三角形两边，求第三边； 数轴上表示（为正整数）的点； 实际问题：门框过板、梯子滑动、折叠问题、最短路径、面积计算； 证明线段平方关系、判定直角三角形。 6. 勾股定理与逆定理对比 定理 条件 结论 用途 勾股定理 直角三角形 由形求数，计算边长 逆定理 直角三角形 由数判形，判定直角 7. 期末速记卡 直角三角形：（勾股定理） 三边满足→直角三角形（逆定理） 勾股数：正整数 + 平方和成立 证明：面积法（赵爽弦图） 应用：折叠用方程、最短路径展平面、实际问题构直角 二、高频考点 + 典例 考点 1：勾股定理直接计算（基础必拿分） 典题：已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 【答案】10或 【详解】解：在直角三角形中，若两条边6和8均为直角边，则斜边长由勾股定理得； 若8为斜边，则另一条直角边长由勾股定理得． 综上所述，第三边长为10或． 故答案为：10或． 考点 2：勾股定理逆定理判定直角三角形 典题：下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故不能构成直角三角形，不符合题意； B、，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、，故能构成直角三角形，符合题意； D、，故不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 考点 3：勾股数判断 典题：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【详解】解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 考点 4：勾股定理实际应用（梯子 / 门框问题） 典题：（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 【答案】D 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， 米，故选：D． 考点 5：折叠问题（勾股定理 + 方程思想） 典题：有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 【答案】 ； 或 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ，解得：， ，故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知，， 在中，， ，解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 .故答案为：或． 考点 6：数轴上表示无理数 典题：如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴点所表示的数为，故答案为：； （2）解：∵，， 又∵，∴， 故答案为：； （3）解：如图，点表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 考点 7：勾股定理与逆定理综合（四边形面积） 典题：如图，的三个顶点坐标分别为，求的周长与边上的高． 【详解】解：由题意可得：，， 则的周长为：； 因为 ∴是直角三角形， ∴边上的高为：． 三、期末高频易错点 易错点 1：忽略直角三角形分类讨论（已知两边求第三边） 典例：直角三角形两边为 6 和 8，求第三边。 错解：10（只考虑均为直角边） 正解：10 或（分斜边、直角边讨论） 易错点 2：逆定理使用时未找最长边 典例：判断三边 4，5，6 是否为直角三角形。 错解：，不是 正解：最长边为 6，，不是 易错点 3：勾股数必须是正整数 典例：判断 0.3，0.4，0.5 是否为勾股数。 错解：是 正解：不是（不是正整数） 易错点 4：实际问题未正确构造直角三角形 典例：长方体木箱长 50cm、宽 40cm、高 30cm，70cm 木棒能否放入？ 错解：，不能 正解：体对角线，能 易错点 5：混淆勾股定理与逆定理的使用场景 勾股定理：已知直角三角形→求边长 逆定理：已知三边关系→判定直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 勾股定理及其逆定理 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 勾股定理基础 文字语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么。 符号语言：在中，，则。 变式公式：；；。 核心思想：数形结合，将直角三角形的 “形” 转化为三边平方关系的 “数”。 2. 勾股定理的证明（期末常考） 赵爽弦图法（面积法）：大正方形面积。 出入相补法：通过图形割补，利用面积相等证明三边平方关系。S＝a²＋b²＝c² 总统证法 / 毕达哥拉斯拼图：均以面积相等为核心推导。如下： 梯形面积S= (a＋b)(a＋b)= a²＋b²＋ab= ab＋ab＋c²=c²＋ab 大正方形的面积=c²＋4×ab=a²＋b²＋4×ab 赵爽弦图 刘徽“青朱出入图” 加菲尔德总统拼图 毕达哥拉斯拼图 3. 勾股定理的逆定理 文字语言：如果三角形的三边长、、（为最长边）满足，那么这个三角形是直角三角形，且。 判定步骤： a. 确定最长边； b. 计算最长边的平方与另两边平方和； c. 比较相等与否，判断是否为直角三角形。 4. 勾股数（期末选填高频） 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：；；；；；。 规律：若是勾股数，则（为正整数）也是勾股数。 5. 勾股定理的应用 已知直角三角形两边，求第三边； 数轴上表示（为正整数）的点； 实际问题：门框过板、梯子滑动、折叠问题、最短路径、面积计算； 证明线段平方关系、判定直角三角形。 6. 勾股定理与逆定理对比 定理 条件 结论 用途 勾股定理 直角三角形 由形求数，计算边长 逆定理 直角三角形 由数判形，判定直角 7. 期末速记卡 直角三角形：（勾股定理） 三边满足→直角三角形（逆定理） 勾股数：正整数 + 平方和成立 证明：面积法（赵爽弦图） 应用：折叠用方程、最短路径展平面、实际问题构直角 二、高频考点 + 典例 考点 1：勾股定理直接计算（基础必拿分） 典题：已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 考点 2：勾股定理逆定理判定直角三角形 典题：下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 考点 3：勾股数判断 典题：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 考点 4：勾股定理实际应用（梯子 / 门框问题） 典题：（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 考点 5：折叠问题（勾股定理 + 方程思想） 典题：有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 考点 6：数轴上表示无理数 典题：如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 考点 7：勾股定理与逆定理综合（四边形面积） 典题：如图，的三个顶点坐标分别为，求的周长与边上的高． 三、期末高频易错点 易错点 1：忽略直角三角形分类讨论（已知两边求第三边） 典例：直角三角形两边为 6 和 8，求第三边。 错解：10（只考虑均为直角边） 正解：10 或（分斜边、直角边讨论） 易错点 2：逆定理使用时未找最长边 典例：判断三边 4，5，6 是否为直角三角形。 错解：，不是 正解：最长边为 6，，不是 易错点 3：勾股数必须是正整数 典例：判断 0.3，0.4，0.5 是否为勾股数。 错解：是 正解：不是（不是正整数） 易错点 4：实际问题未正确构造直角三角形 典例：长方体木箱长 50cm、宽 40cm、高 30cm，70cm 木棒能否放入？ 错解：，不能 正解：体对角线，能 易错点 5：混淆勾股定理与逆定理的使用场景 勾股定理：已知直角三角形→求边长 逆定理：已知三边关系→判定直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第20章勾股定理及其逆定理知识清单 一、核心知识总结（必背·期末重点） 1.勾股定理基础 文字语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2。 变式公式：c=Va2+bz;a=Vc2-b2;b=Vc2-a2。 核心思想：数形结合，将直角三角形的“形”转化为三边平方关系的“数”。 2.勾股定理的证明（期末常考） 赵爽弦图法（面积法）：大正方形面积=4×ab+(b-a)2=a2+b2=c2。 出入相补法：通过图形割补，利用面积相等证明三边平方关系。S=a2十b2=c2 总统证法/毕达哥拉斯拼图：均以面积相等为核心推导。如下： 梯形面积Sa+ba+b)a2+都+ab=ab+b+-2+ab 大正方形的面积=c2+4x2ab=a2+b2+4×2ab 朱实 朱方 朱实 黄实 b 朱实 青入 青方 朱人 朱实 C 青 青出 ② 赵爽弦图 刘徽“青朱出入图” 加菲尔德总统拼图 毕达哥拉斯拼图 3.勾股定理的逆定理 文字语言：如果三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角 形，且∠C=90°。 判定步骤： a.确定最长边： b.计算最长边的平方与另两边平方和； c.比较相等与否，判断是否为直角三角形。 4.勾股数（期末选填高频） 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13：6,8,10：7,24,25；8,15,17：9,40,41。 规律：若a,b,c是勾股数，则ak,bk,ck(k为正整数)也是勾股数。 5.勾股定理的应用 已知直角三角形两边，求第三边： 数轴上表示vn(n为正整数)的点： 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 实际问题：门框过板、梯子滑动、折叠问题、最短路径、面积计算： 证明线段平方关系、判定直角三角形。 6.勾股定理与逆定理对比 定理 条件 结论 用途 勾股定理 直角三角形 a2+b2=c2 由形求数，计算边长 逆定理 a2+b2=c2 直角三角形 由数判形，判定直角 7.期末速记卡 直角三角形：a2+b2=c2(勾股定理) 三边满足a2+b2=c2→直角三角形（逆定理) 勾股数：正整数+平方和成立 证明：面积法（赵爽弦图) 应用：折叠用方程、最短路径展平面、实际问题构直角 二、高频考点+典例 考点1：勾股定理直接计算（基础必拿分） 典题：已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为 考点2：勾股定理逆定理判定直角三角形 典题：下列线段a,b,c组成的三角形中，能构成直角三角形的是() A.=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 C.a=√2，b=√2，c=2 D.a=√2，b=√3，c=√6 考点3：勾股数判断 典题：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列 各组数中，是“勾股数”的是（) A有年B.1万，6 C.4,5,6 D.5,12,13 考点4：勾股定理实际应用（梯子/门框问题) 典题：(24-25八年级下·安徽滁州·期末)如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处 (AC=8米)，升起云梯到火灾窗口B.己知云梯AB的长为17米，云梯底部距地面的高AE=1.5米，则 发生火灾的住户窗口距离地面的高BD为() A.19.5米 B.17.5米 C.15米 D.16.5米 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点5：折叠问题（勾股定理+方程思想） 典题：有一块直角三角形纸片： B D 图1 图2 (1)如图1，若两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好在斜边AB上，且 点C与点E重合，则CD的长为一： (2)如图2，若两直角边AC=6,BC=8,点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB'D,边 AB与边BC交于点E.若△DEB为直角三角形，则BD的长为_一· 考点6：数轴上表示无理数√元 典题：如图所示，已知BC=2,∠OCB=90°，以点O为圆心，OB为半径画弧交左侧数轴于点A. B -5-4-3-2-1012345→ (1)写出数轴上点A所表示的数为； (2)比较大小：点A所表示的数 -3.5（填写“>”或<”) (3)在数轴上找出2√5对应的点.（保留作图迹） 考点7：勾股定理与逆定理综合（四边形面积） 典题：如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(6,2),B(0,4),C(2,0),求△ABC的周长与AB边上的高. B 4 2 012345673x 三、期末高频易错点 易错点1：忽略直角三角形分类讨论（已知两边求第三边） 典例：直角三角形两边为6和8，求第三边。 错解：10（只考虑均为直角边） 正解：10或2√7（分斜边、直角边讨论） 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错点2：逆定理使用时未找最长边 典例：判断三边4,5,6是否为直角三角形。 错解：42+62≠52，不是 正解：最长边为6,42+52≠62，不是 易错点3：勾股数必须是正整数 典例：判断0.3,0.4,0.5是否为勾股数。 错解：是 正解：不是（不是正整数） 易错点4：实际问题未正确构造直角三角形 典例：长方体木箱长50cm、宽40cm、高30cm,70cm木棒能否放入？ 错解：V502+402≈64<70，不能 正解：体对角线V502+402+302=50v2≈70.7>70，能 易错点5：混淆勾股定理与逆定理的使用场景 勾股定理：已知直角三角形→求边长 逆定理：已知三边关系→判定直角三角形