精品解析：江西丰城市第九中学2025-2026学年高一日新班下学期期中检测数学试卷

丰城九中2025—2026学年高一年级日新班下学期期中检测数学试卷 命题人：龚白雪 审题人：张长凯 2026.5 一．单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程可得其斜率，利用倾斜角与斜率间的关系即可求解. 【详解】依题意，设直线的倾斜角为，由直线可得直线的斜率为； 又，所以，即直线的倾斜角为； 故选：C. 2. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若，，，则事件与事件独立 C. 若随机变量的方差，则 D. 若随机变量服从正态分布，若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对A：随机变量，则，故A正确； 对B：，所以，即事件与事件独立，故B正确； 对C：随机变量的方差，则，故C错误； 对D：随机变量服从正态分布，， 则，故D正确． 4. 已知，， ，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率公式可得出的值，根据，且与互斥，结合互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可得出的值. 【详解】由条件概率公式可得 ，所以， 又因为，且与互斥，则， 由条件概率公式可得. 5. 一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 6. 春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（ ）. A. 240种 B. 360种 C. 420种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【详解】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E， 用三种颜色：区域和相同，（种）， 用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色， 及（种）， 用五种颜色：（种）.一共有 （种）. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线以及中点坐标公式，再代入双曲线方程，根据离心率求解即可. 【详解】 因为，关于原点对称，且，所以， 所以，因为点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，所以， 故线段的中点的坐标为，将其代入，得， 解得. 8. 不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（ ）组. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】可变形为，则可转化为点与点到直线的距离为，再分别以、为圆心，作半径为的圆，再利用两圆位置关系与公切线条数的关系计算即可得. 【详解】由可得， 即点与点到直线的距离都为， 分别以、为圆心，作半径为的圆、圆， 由，故两圆外离，则两圆共四条公切线， 由图可得，两圆公切线都不过原点，故有对这样的实数对， 使得点与点到直线的距离都为. 故选：D. 二．多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10. 已知直线，圆C：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆C恒相交 B. 当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 C. 若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则 D. 若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先得到直线过定点，结合点在圆C内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于B，当时，直线l被圆C截得的弦长最短，再求直线方程即可；对于C，由直线与圆的位置关系，可得圆心C到l的距离为1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离为，然后求直线方程即可；对于D，由题可知，再由的面积为即可求解． 【详解】圆C：，圆心，半径， 直线， 令， 所以直线l过定点，又点在圆C内部， 所以直线l与圆C恒相交，故A正确； 当时，直线l被圆C截得的弦长最短，又直线的斜率为， 故直线的斜率为1，所以直线的方程为，故B正确； 因为圆C的半径为，所以当且仅当圆心C到l的距离为1时， 圆C上恰有三个点到直线l的距离为， 此时直线l的斜率为0或不存在，所以或，故C错误； 设圆心C到l的距离为d，则，且， 又的面积为， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列选项正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 存在点，使得 C. 平面截正方体所得的截面图形是五边形 D. 点到平面的距离是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：可知与为异面直线，进而分析判断；对于B：建系并标点，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解；对于C：作辅助线，进而分析截面；对于D：利用等体积法求点到面的距离. 【详解】对于选项A：因为与为异面直线，所以，，，四点不共面，故A错误； 对于选项B：建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，，可得， 又因为，，，，则， 可得，， 假设存在点使得，则， 整理得，解得（舍去），或， 所以存在点，使得，故B正确； 对于选项C：如图，直线与，的延长线分别交于，， 连接，分别交，于，，连接，， 则五边形即为所求的截面图形，故C正确． 对于选项D：设点到平面的距离为， 由正方体的棱长为2可得，， 且， 可得，， 由，即，可得， 所以点到平面的距离是，故错误． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 12. 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当​，即​时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 13. 的展开式中的系数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则，， 则的展开式中的系数是. 14. 已知分别为内角的对边，若，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为． 四、解答题 15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点． （1）求边上的中线的一般式方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出的坐标，再由直线的点斜式求出直线方程，化简即可求解； （2）先求出直线的斜率，再由两直线垂直时斜率间的关系，求出垂线的斜纹，再由直线的点斜式，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以的中点，又， 所以边上的中线的方程为，整理得到， 故边上的中线的一般式方程为. 【小问2详解】 因为直线的斜率为， 又，所以经过点且与直线垂直的直线方程为， 整理得到. 16. 某高中，高二数学备课组对学生记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 12 2 3 5 6 8 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力． （参考公式：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 ，， ， 则， 所以关于的线性回归方程为； 【小问2详解】 中，令得， 预测记忆力为9的学生的判断力为. 17. 如图所示，在正四棱锥中，． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连结，连结，利用线线垂直证明线面垂直得平面，再由线面垂直的性质即可得证； （2）依题意，建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用向量法即可求得答案. 【小问1详解】 连结，连结，如图， 因为四棱锥是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以，在正方形中，， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 如图以为坐标原点，以为轴建立如图空间直角坐标系， 则由平面几何知识易知：， 所以， 因为，所以， 由于 四点共面， 设平面的法向量为，有 ， 故可取， 设平面的法向量为 因 ， 故可取， 因． 故平面与平面所成角的余弦值为. 18. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】（1） （2）的分布列为 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【小问1详解】 由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； 【小问2详解】 由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. 【小问3详解】 由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 19. 已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3）. 【解析】 【分析】（1） 根据椭圆的离心率公式和点在椭圆上的条件，列出关于的方程组，求解得到椭圆的标准方程. （2） 设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再根据直线的方程求出其与轴的交点坐标. （3）求出两直线交点，，分别表示与的面积，求范围即可. 【小问1详解】 依题意可知 解得，，， 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 设，，， 当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立化简得， 且，，① 又，直线的方程为， 令，解得， 将①代入可得 ，所以定点为， 当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点. 【小问3详解】 当直线的斜率为时， ，比值无意义，故以下讨论直线斜率不为的情况. 两直线交于，， 因为，， 所以， 所以， . 所以. 又因为，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025—2026学年高一年级日新班下学期期中检测数学试卷 命题人：龚白雪 审题人：张长凯 2026.5 一．单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若，，，则事件与事件独立 C. 若随机变量的方差，则 D. 若随机变量服从正态分布，若，则 4. 已知，， ，则（    ） A. B. C. D. 5. 一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（ ） A. B. 4 C. D. 6. 春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（ ）. A. 240种 B. 360种 C. 420种 D. 720种 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（ ）组. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 已知直线，圆C：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆C恒相交 B. 当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 C. 若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则 D. 若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列选项正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 存在点，使得 C. 平面截正方体所得的截面图形是五边形 D. 点到平面的距离是 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 12. 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 13. 的展开式中的系数是_________. 14. 已知分别为内角的对边，若，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为___________． 四、解答题 15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点． （1）求边上的中线的一般式方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线方程． 16. 某高中，高二数学备课组对学生记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 12 2 3 5 6 8 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力． （参考公式：． 17. 如图所示，在正四棱锥中，． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 19. 已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $