立体几何二面角问题 学案+教学设计-2026届高三数学二轮复习

《立体几何二面角问题》高三复习课微专题教学设计 一、教材分析 二面角问题是高考的高频考点，基本在立体几何大题中考查，难度中等。微专题教学通常以某个知识点为主题，围绕教学的重点和关键点设计，利用具有紧密相关性的知识或方法形成的专项研究，能达到有效突破重难点的效果，是提升复习课效率的有效途径。用向量来处理立体几何问题，体现了“数”与“形”的有机结合，降低了思维难度，但是也淡化了传统几何从“形”到“形”的推理论证。许多教师和学生在处理空间角的计算问题时采用单纯的代入公式法，无需任何分析，导致学生只知道“法向量”这个万能工具，只会这一种方法。实际上“几何法”有时也有优势，从近几年高考立体几何解答题来看“法向量”有弱化的趋势，这值得我们关注。本微专题以“向量法”为切入点，通过知识的回顾、一题多解、一题多变、案例再现等环节引导学生探究“几何法”，提升学生数学核心素养。 二、学情分析 授课对象为高三学生，他们已经学习了空间向量与立体几何的相关知识，具备一定的空间想象能力和向量运算能力。在解决二面角问题时，学生普遍存在以下问题：对“向量法”过于依赖，缺乏从几何角度分析问题的意识；找不到二面角的棱时不知如何构造平面角；补形法等几何技巧掌握不够熟练；对二面角的概念理解不够深刻。因此，本节课通过微专题的形式，以“一题多解”和“一题多变”为主线，引导学生探究向量法和几何法两种解题路径，提升学生的数学核心素养。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 本节贯彻“微专题复习”教学理念，通过“一题多解”和“一题多变”两条主线，教师引导，学生主动探究为主体的教学思想。 1. 转化与化归思想：将空间角问题转化为平面角问题，将二面角问题转化为法向量夹角问题。 1. 数形结合思想：结合图形分析几何关系，通过坐标法实现数与形的转化。 1. 补形思想：通过补成长方体等方式，将复杂几何体转化为规则几何体。 1. 分类讨论思想：在变式问题中，根据M点位置的不同进行分类讨论。 1. 一题多解思想：通过多种解法的对比，拓宽解题视野。 1. 教学方法：采用“案例引入—一题多解—一题多变—案例再现—课后反馈”的教学流程，引导学生深度学习。 四、核心素养目标 直观想象：借助图形理解二面角的平面角，能通过补形法构造规则几何体。 逻辑推理：能通过线面垂直等关系证明二面角的平面角，能严谨推理几何关系。 数学抽象：能从具体问题中抽象出二面角问题的一般解法。 数学运算：能熟练运用向量法求解二面角，能进行法向量的准确运算。 数学建模：能将二面角问题建模为向量夹角问题或平面角构造问题。 五、教学重、难点 教学重点： 1. 向量法求解二面角的步骤（建系→求法向量→求夹角→得二面角）。 1. 几何法求解二面角的关键（找棱→作平面角→证明→计算）。 教学难点： 1. 几何法中公共棱的寻找（特别是当棱没有直接给出时）。 1. 补形法的灵活运用。 1. 一题多解中不同方法的对比与选择。 六、学法分析 1. 一题多解：通过同一问题的多种解法，体会向量法和几何法的优劣。 1. 合作探究：在几何法探究环节，小组讨论、互相启发。 1. 变式训练：通过变式题组，深化对二面角问题的理解。 1. 动手操作：在补形法学习中，动手画图辅助理解。 1. 归纳总结：自主梳理二面角问题的解题方法体系。 七、教学过程 【案例引入】 （2019·新课标卷Ⅲ理科第19题） 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°。将其沿AB、BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2。 （1）证明：图2中的A、C、G、D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小。 设计意图：通过批改反馈，发现学生普遍使用“向量法”求解，但存在建系不好、逻辑混乱、计算错误等问题，由此提炼出关于“立体几何二面角问题”的微专题。 例题1 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与平面弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C、D的点。 （1）证明：平面AMD⊥平面BMC（略）； （2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。 设计意图：本题第一问证明面面垂直不是本节课的重点，重点聚焦第二问的二面角求解。 环节一 一题多解 问题1：点M运动到何位置时三棱锥M-ABC体积最大？ 预设：点M为弧CD最高点即中点时三棱锥M-ABC体积最大。 问题2：请同学们完成第二问的解答并展示解答过程。 解法一（向量法——以D为原点） 以D为坐标原点，DA方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz。 当三棱锥M-ABC体积最大时，M为CD的中点。由题设得： 设是平面MAB的法向量，则 取，则，，即。 是平面MCD的法向量，因此 正确计算：，是平面MCD的法向量。 所以，故面MAB与面MCD所成二面角的正弦值为。 解法二（向量法——以O为原点） △ABC的面积为定值，要使三棱锥M-ABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点。建立以O为坐标原点的空间直角坐标系。 正方形ABCD的边长为2，。 平面MCD的法向量。 设平面MAB的法向量为，则 令，则，，即。 则 设面MAB与面MCD所成二面角为，则 解法三（几何法——作交线找平面角） 问题1：二面角问题是高考的高频考点，从前面同学们的展示来看，同学们对“向量法”已经非常熟悉。事实上教材还给我们提供了“几何法”，它能规避“向量法”繁琐的运算，同学们也应加以重视。有没有同学可以展示“几何法”？ 问题2：二面角的公共棱找不到，没有公共棱怎么找二面角的平面角？ 问题3：找二面角的棱是关键，同学们能不能尝试寻找到公共棱呢？ 问题4：二面角的棱应该是面MAB与面MCD的交线，但是题中只有一个交点M。 因为DC∥AB，从而DC∥平面ABM。由线面平行的性质定理可知DC与面MAB与面MCD的交线平行，所以过M做一条直线EF∥DC，那么EF就是面MAB与面MCD的交线。连接M与AB与DC的中点O、P，那么角∠OMP就是我们要求的平面角。 解法四（几何法——补形成长方体） 将原几何体补成如图所示的长方体，平面DCM∥平面ABN，于是将两个平面的二面角转化成平面ABN与平面ABM的二面角，它们的交线显然是AB，从而∠MPN为所求二面角的平面角。解Rt△MNP得到。 设计意图：以“向量法”为切入点，通过一题多解引导学生探究“几何法”，让学生体会到一题多解的乐趣，拓宽学生的视野，整合所学的知识，培养学生的数学抽象、直观想象、数学建模的数学核心素养。 环节二 一题多变 变式1：当三棱锥A-MBC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。 变式2：当DM与平面ABCD所成角是时，求面MAB与面MCD的二面角的正弦值。 变式3：当M在圆弧上运动时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值的取值范围。 变式4：当面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是时，求直线AM与平面MBC所成角的正弦值。 设计意图：引导学生从“变”中发现“不变”的本质，从“不变”中探究“变”的规律，帮助学生使所学的知识融会贯通，培养学生数据分析、数学运算等数学核心素养。 环节三 案例再现 高考题第（2）问的几何法： 做EK⊥CG，由题意知AB⊥BE，即AB⊥CG，即DE⊥CG。易知CG⊥平面DEK，从而AB⊥CG，从而DK⊥CG，所以∠EKD就是二面角B-CG-A的平面角，且∠HED是直角。易求得∠EKD=30°。 设计意图：通过案例再现，进一步强化学生的认识，让学生体验到学习的乐趣，增强自信心，树立积极思考的学习态度，提高学习的自我效能感，达到触类旁通、举一反三的作用。 【课堂小结】 1. 你学到了哪些知识？ 向量法求解二面角的步骤：建系→求法向量→求夹角→得二面角。 几何法求解二面角的关键：找棱→作平面角→证明→计算。 补形法在二面角问题中的应用。 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 转化与化归、数形结合、补形思想、一题多解。 1. 本节课你最大的收获是什么？ 设计意图：提高学生归纳概括能力，强化对数学思想方法的认识。第三个问题引导学生进行元认知反思。 八、板书设计 立体几何二面角问题（微专题） 核心方法 例题1 向量法 正方形ABCD，弧CD⊥平面ABCD 建系→求法向量→求夹角 M为弧CD中点 求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 几何法 找棱→作平面角→证明→计算 补形法 一题多变 变式思想 变式1：三棱锥A-MBC体积最大 变式2：DM与平面ABCD所成角为 变式3：M在圆弧上运动 变式4：已知二面角正弦值求线面角正弦值 学科网（北京）股份有限公司 $ 《立体几何二面角问题》课堂学案 一、学习目标 1. 掌握向量法求解二面角的步骤：建系→求法向量→求夹角→得二面角。 1. 掌握几何法求解二面角的关键：找棱→作平面角→证明→计算。 1. 理解补形法在二面角问题中的应用。 1. 体会一题多解、一题多变对提升解题能力的作用。 二、案例引入 题目（2019·新课标卷Ⅲ理科第19题） 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°。将其沿AB、BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2。 （1）证明：图2中的A、C、G、D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小。 三、例题1 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与平面弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C、D的点。 （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。 环节一 一题多解 问题1：点M运动到何位置时三棱锥M-ABC体积最大？ 问题2：请用多种方法完成第（2）问的解答。 解法一（向量法——以D为原点） 解法二（向量法——以O为原点） 解法三（几何法——作交线找平面角） 问题：二面角的公共棱找不到，如何找到面MAB与面MCD的交线？ 提示： 因为DC∥AB，所以DC∥平面ABM。 由线面平行的性质定理，过M作直线EF∥DC，则EF就是面MAB与面MCD的交线。 连接M与AB、DC的中点O、P，则∠OMP为所求平面角。 解法四（几何法——补形成长方体） 思路：将原几何体补成长方体，平面DCM∥平面ABN，将两个平面的二面角转化为平面ABN与平面ABM的二面角，交线为AB，∠MPN为所求平面角。 环节二 一题多变 变式1：当三棱锥A-MBC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。 变式2：当DM与平面ABCD所成角是 时，求面MAB与面MCD的二面角的正弦值。 变式3：当M在圆弧上运动时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值的取值范围。 变式4：当面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 时，求直线AM与平面MBC所成角的正弦值。 环节三 案例再现 高考题第（2）问的几何法： 四、方法归纳 方法 核心思路 关键步骤 适用条件 向量法 建系→求法向量→求夹角 坐标系建立、法向量计算 通用，易建系 几何法（找棱） 找棱→作平面角→证明→计算 寻找公共棱、构造平面角 有明确几何关系 补形法 补成规则几何体 观察几何结构、补形转化 可补形为长方体等 五、课堂小结 1. 本节课你学到了哪些知识？ 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 1. 本节课你最大的收获是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $