云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题

高二数学参考答案 1.BA∩B={3,4}. 2A图为：--D-+号所以：的蓝部为号 3.C因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=|a|2-a·b=0.因为a=(1,2),b=(m,-1),所以 (5)2-(m-2)=0,解得m=7. 4.D因为BC∥B1C1,所以异面直线AC1与BC所成的角等于AC1与B1C1所成的角，即 ∠AC1B1. 设AB=BC=BBL圆ABE,BC1,AC月，所以o5/AC,B号 5.B由题意知200·a2x2=3200,所以a4=16,解得a=2,所以y=200×4.令200×4'= 12800,解得t=3. 6.A因为f'(x)=lnx+1-2ax,所以f'(1)=1-2a.由题意知f'(1)=1-2a=1,得a=0, 所以f(x)=xnx.因为f'(x)=lnx+1,所以fx)在(o,。)上单调递减，在（日，+o∞）上 单调递增，所以f(x)m=f(日)=是，故m的最大值为一是 7.D因为m(2a+)-sm[(2&)+]=os(2a》,且sim(。-晋)-，所以 sm(2a+5）-cos(2a-》-1-2sim(。-若〉-1-2x品-是. 8C双曲线C的一条渐近线方程为y合，过R。且与该渐近线垂直的自线方程为y一分（红 -c),联立两直线方程可得P点坐标为？，购).因为F,F,1=2c,所以△F,PF的面积为 合·2x·2-cd,由22a2=ab,得名-2，所以双曲线C的离心率为，1+（合）-3 9.AC因为0.05十0.1+0.125+0.075=0.35，所以a=1-0,35X2=0.15,故A正确， 2 因为前两组[0,2)，[2,4)的频率和为(0.05+0.10)×2=0.3<0.5，前三组频率和为0.3+ 0.3=0.6>0.5,所以中位数落在[4,6)内，设中位数为x,则0.3十(x一4)×0.15=0.5，得x ≈5.33，故B错误； 平均数为1×0.1十3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15=5.3小时，故C正确； 因为锻炼时长不低于6小时的频率为(0.125+0.075)×2=0.4，新所以约40%的学生每周体 育锻炼时长不低于6小时，故D错误. 10BCD因为sm(2×晋)-血-1，所以直线x晋是图象C的对称轴，故A 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 正确； 因为将y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可得到y=2sim[2(x一门-2sin(2x )的图象，和图象C不一致，所以B错误， 当x∈（一）时，2x一号∈(-受，)，而y=sinx在(-受，)上单调递增，因此 fx)在（一，）上单调递增，故C错误； 因为函数于(：)的最小正周期T-否-，面相邻两个零点间的距离为半个周期，所以x x2的最小值为)，故D错误 11.ABD因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为 4,故A正确； 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0,所以f(2)=f(0十2)=一f(0)=0, 又当x∈(0,2)时，f(x)=x2一2x,其图象对称轴为直线x=1,结合奇函数的性质可知其图 象也关于直线x=一1对称，故B正确； 因为f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=1,所以f(0)+f(1)+f(2) ++f(2026)=f(0)+f(1)+f(2)=-1,故C不正确；当x∈(3,4)时，x-4∈(-1， 0),x-2∈(1,2)，由f(x)=f(x-4)=-f(x-2),得f(x)=-[(x-2)2-2(x-2)]= 一x2+6x一8，在(3,4)上单调递减，所以D正确. 12.8 抛物线y=4红的标准方程为x2=.由子=2p,得p=名，故抛物线y=4女2的焦点 到准线的距离为日 13.240展开式的通项T1-CG2v)-(-》广-(-1rC2x2,令3-8r=0,得r =2,所以常数项为T3=(-1)2C624=240. 4 3;1+6因为a=3,b=2,A=60°，所以sinB=·sinA_2×sin60°- 3 3因为a2- b2+c2-2 bccos A,所以9=4+c2-2X2Xc×cos60°，化简得c2-2c-5=0,解得c= 2+√24=1十6（负根舍去）. 2 15.(1)解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，…1分 因为a1,a3,ag成等比数列，所以a号=a1ag.…2分 因为a1=2,所以(2十2d)2=2(2十8d),解得d=2或d=0(舍去)，…3分 因此{an}的通项公式为an=a1十(n-1)d=2+2(n-1)=2n.…4分 (2)解：由(1)知bn=2n十2am=4”十4.…5分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 因为等此数列14的前项和为9一g, 3 ……6分 等差数列(4n)的前n项和为”(4牛4n）=2m(m十1)， 7分 所以Sn= 4+1-4 3 +2n(n+1). …8分 内d-…2西-日中h》. (3)证明：因为。1 …10分 所以1 2十+…+d[(1-2)+(合3)+（合-）+…+（月 anan+1 -1-+）0+D …12分 因为n∈N,所以0十D<号故+2+十叶2 111 a a2 aza3 a3as ……13分 16.(1)证明：连接BD交AC于点O,连接OE.…1分 因为底面ABCD是正方形，所以O为BD的中点.…2分 因为E为PD的中点，所以OE是△PBD的中位线，OEPB.…4分 因为OEC平面AEC,PB庄平面AEC,所以PB平面AEC.…5分 (2)解：以A为原点，以AB,AD,A产的方向分别为x,y,之轴的正方向，建立空间直角坐标 系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).…7分 设平面AEC的法向量为n=(x,y,之)，因为AC=(2,2,0), AE=(0,1,1), 1AC·n=2x+2y=0, 所以 令x=1,得n=(1,-1,1). AE·n=y十+z=0, …8分 因为AB=(2,0,0),所以点B到平面AEC的距离d= |AB·n225 n33 10分B (3)解：结合(2)中坐标系，知PD=(0,2,一2)，…11分 设直线PD与平面AEC所成的角为0，则sin0= P·n4 PD1n22x3=3,…13分 即直线PD与平面AEC所成角的正弦值为S, …15分 17.解：13道必答题中恰好答对2道的概率P=CG×(号)》×(1-号)-3×号×号号 …4分 (2)因为必答题的得分可能为0,10,20,30，选答题的得分可能为0,20， 所以总得分X的可能取值为0,10,20,30,40,50. …5分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 若必答题全错且选答题答错，则P(X=0)=(1-号)》'×(1-)=： …6分 若只答对1道必答题且选答题答错，则P(X=10)-C×号×(1-号)'×(1-)=)； …7分 若只答对2道必答题且选答题答错或必答题全错且选答题答对， 则rx=20=C×(号》×1-号)×(1-号)+(1-号}八×}号…9分 若答对3道必答题且选答题答错或只答对1道必答题且选答题答对， 则Px=30=(》×(1-)+cx号x(1-》×号7 11分 若只答对2道必答题且选答题答对则P(X=40)=C×(号》×1-)×号-子；… …12分 若答对3道必答题且选答题答对，则P(X-50=(号)》'×号引 …13分 因此，X的分布列为 X 0 10 20 30 40 50 P 13 7 2 4 54 9 54 27 所以E(Xx)=0X7+10x号+20×号+30×7+40×号+50×号-30 …15分 18.(1)解：若f(x)在R上单调递增，则f(x)≥0恒成立.…1分 因为f'(x)=e2-x-a,所以a≤e-x对x∈R恒成立.… 2分 令g(x)=e-x,则g'(x)=e-1.令g'(x)=0,得x=0. 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增 因此g(x)mn=g(0)=1,故a的取值范围为(-∞，1]. …4分 (2)证明：若f(x)存在两个极值点x1,x2,则f'(x)=e一x一a=0有两个不同的实根x1, x2,即e1-1=e2-x2=a.…6分 令g(x)=e-x,由(1)知g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，所以x1< 0<x2.要证x1十x2<0,即证x1<一x2,… ……8分 因为x1<0,一x2<0,且g(x)在（一∞，0）上单调递减，所以只需证g(x1)>g(-x2).… …10分 因为g(x1)=g(x2),所以只需证g(x2)>g(-x2)(x2>0),即证e2-x2>e?十x2, 整理得e2一e2-2x2>0.… …13分 令p(x)=e'-e-2x(x>0),则p'(x)=e十ex-2≥2√e·ex-2=0,当且仅当x= 0时，等号成立，所以p(x)在(0，十o∞)上单调递增，所以(x)>(0)=0,…16分 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 所以g(x2)>g(一x2),即x1<一x2,故x1十x2<0. 。 17分 c√2 .①解：因为椭圆C的离心率为号，且过点P(2,,所☒ a 2 …2分 41 =1. 因为a2=b2十c2,所以a=√6，b=√5，…4分 所以椭圆C的标准力程为+苦-1。 …5分 (2)证明：当直线1的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx十m,A(x1,y1),B(x2,y2), ……6分 因为直线L不经过点P,所以2k十m≠1.…7分 y=kx十m, 由方程组x2y21消去y整理得(1十2k2)x2十4kmx十2m2-6=0,…9分 6T3 =1, Akm 2m2-6 则x1十x2=一 1+26x1x2=1十26 10分 因为直线PA与直线PB的斜率之和为-1， 所以1+y%-1_红1十m-1+z+m-1 x1-2x2-2x1-2 x2-2 (kx1十m-1)(x2-2)+(kx2+m-1)(x1-2) (x1-2)(x2-2) 一1， 整理得2x1z+m-1-2)+x）-4m-D-1, …12分 x1x2一2(x1+x2)+4 2k· 2m2-6 所以一 1+2k2 -(m-1-2k)4km 1+22-4(m-1) =-1,…13分 +2·中0+ 化简得8k2十6(m-1)k十(m-1)2=(2k十m-1)(4k十m-1)=0.…14分 因为2k+m≠1，所以m=1-4k, 代入直线l的方程得y=kx十1一4k,所以直线1恒过定点(4,1).…15分 当直线1的斜率不存在时，设直线1的方程为x=t,代入椭圆C的方程得y=士√3 2 3一 一1 由 =一1，解得t=4,但是直线x=4与椭圆C没有交点，故斜 t-2 t-2 率不存在时无符合条件的直线。 综上所述，直线l过定点(4,1). 17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一、二册，选择 性必修第三册第六、七章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A∩B= A.{1,2} B.{3,4} C.{5,6} D.{1,2,3,4,5,6} 2.已知复数之满足之(1一i)=|3十4i,则之的虚部为 A号 B号 c n 3.已知向量a=(1,2),b=(m,一1)，若(a一b)⊥a,则m= A.-1 B.2 C.7 D.3 4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1,∠ABC=90°，则异面直线AC1与BC所成角 的余弦值为 A号 3 C⑥ 3 n晋 5.某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量y(单位：只)与监测时间t(单位： 年，t≥0)近似满足函数关系y=200·a2“(a>0).已知监测第2年时，种群数量为3200只， 则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为 A.2.5年 B.3年 C.3.5年 D.4年 6.已知函数f(x)=xlnx一ax2的图象在点(1，f(1)处的切线与直线x十y十1=0垂直，若 f(x)≥m在(0，十∞)上恒成立，则m的最大值为 A B君 C.-e D.e .已知如(。一)-9则如(2a+) A-4 c- 【高二数学第1页（共4页）】 y2 知双曲线C(@>0,6>0)的左右焦点分别为E(-c,0),F2(c,0),过F间 条渐近线作垂线，垂足为P.若△F1PF2的面积为2√2a2,则双曲线C的离心率为 A.√3 B.2 C.3 D.2√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理 得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有 频率/组距 0.125 0.1 0.075 0.05 0246810每周体育锻炼时长小时 A.直方图中a的值为0.15 B.估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时 C.估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时 D.估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时 10.函数f(x)=2sin(2x-号 )的图象为C,下列选项不正确的是 A图象C关于直线x-受对称 B.图象C可由y=2sin2x的图象向右平移5个单位长度得到 C函数fx)在(- )上单调递减 D.若f(x1)=f(x2)=0,则|x1一x2|的最小值为元 11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=一f(x),且当x∈(0,2)时，f(x)=x2一 2x,则下列说法正确的有 A.f(x)是周期为4的周期函数 B.f(x)的图象关于直线x=一1对称 C.f(0)+f(1)+f(2)++f(2026)=0 D.f(x)在(3,4)上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为▲_ 13.(2元-1)° 的展开式的常数项为▲一： 14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,A=60°，则sinB 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2,且a1,a3,ag成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=2十2am,求数列{bn》的前n项和Sn; 8谨明a:+a。十十n叶a对任藏n∈N恒成立 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD,PA=2, E为PD的中点 (1)证明：PB平面AEC (2)求点B到平面AEC的距离. (3)求直线PD与平面AEC所成角的正弦值. B 17.（15分) 某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答 题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概 率均为号，答对每道选答题的概率均为？，各题答题结果相互独立。 (1)求考生甲恰好答对2道必答题的概率； (2)记考生甲的总得分为X,求X的分布列和数学期望E(X). 【高二数学第3页（共4页）】 18(17分) 已点数f)-6--a (I)者f(x)在R上单调递增，求a的取值范围. (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),证明：c1十x2<0. 19.(17分) 包蒲圆C名十1。>b>0)的离心率为号，且过点P(2,D (1)求椭圆C的标准方程； (2)不经过点P的直线1与椭圆C相交于A,B两点，已知直线PA与直线PB的斜率之和 为-1，证明：直线1过定点， 【高二数学第4页（共4页）】