探讨弹簧振子在大小恒定阻力作用下的运动规律-《中学生数理化》高考理化2026年5月刊

解题篇创新题追根溯源 中学生数理化高中理化2026年5月 探的弹置振子在大划小恒定阻力作用下的运动规律 ■河南大学附属中学 王国庆（特级教师） 阻尼振动是指振动系统因受到摩擦、介 量x。 质阻力或其他损耗而使振幅随时间逐渐衰减 (2)刚松手时，细线中的张力大小F。 的振动。处理一般的阻尼振动问题涉及复杂 (3)在松手后的整个运动过程中，物体A 的微分与积分运算，而当振动系统受到的阻 克服摩擦力所做的功W。 力大小恒定时，可以将复杂的运动过程分成 多段简谐运动的组合，从而简化解答过程。 下面将从一道动力学综合题入手，深入研究 B 弹簧振于在大小恒定阻力作用下的阻尼振动 777777777777770 777☑ 遵循的运动规律，总结试题蕴含的知识与方 图1 法，并用振动的观点分析与求解2025年陕西 命题意图：这是一道动力学的综合题，重 省普通高中学业水平选择性考试第10题，供 点考查物体的受力平衡条件、牛顿运动定律、 同学们参考。 能量守恒定律。本题的第三小问，物体A在 一、一道动力学综合题的剖析 斜面上做往复运动，等效于弹簧振子在大小 例1如图1所示，倾角6=37的斜面 恒定阻力作用下的阻尼振动，对考生的物理 体固定在水平地面上，一劲度系数= 建模及综合分析能力的要求较高。 100N/m的轻质弹簧下端固定在斜面底端 解析：(1)将物体A放置在P 上端与质量m=1kg的物体A相连，物体A 点时，物体A刚好不上滑，物体 的右侧系一轻质细线，细线绕过轻质光滑定 A的受力情况如图2所示，根据 滑轮后与轻质挂钩相连，物体A与定滑轮之 平衡条件得kx=ng sin日十 图2 间的细线与斜面平行，物体A与斜面之间的 mgcos0,解得x=0.12m。 动摩擦因数4=0.75，假设最大静摩擦力等 (2)将物体B挂在挂钩上，刚松手时，根 于滑动摩擦力，将物体A放置在P点时，物 据牛顿第二定律，对由物体A和B组成的系 体A刚好不上滑。现将一质量M=2kg的 统有Mg=(M十n)a,对物体B有Mg 物体B轻轻地挂在挂钩上，然后松手，在之 F=Ma,解得F-号N 后的整个运动过程中，物体A未接触到定滑 (3)设物体A沿斜面向上运动的最大距 轮，物体B始终未接触地面与定滑轮。已知 离为s1,根据能量守恒定律得Mgs1= 弹簧弹性势能的表达式为E,=之x(k为 1 mgs1sin日+ngs1cos日+ 2k(s1-x)- 弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量)，取重 2kx,解得s1=0.4m。 1 力加速度g=10m/s2,sin37°=0.6，cos37°= 当物体A运动到最 0.8。求： 高点时，弹簧的伸长量x1=s1一x=0.28m, (1)物体A位于P点时，弹簧的压缩 因为kx1十ng sin0-Mg>umg cos6,所以 32 解钠理他新培爵骨中学生教理化 物体A将沿斜面向下做加速运动。设物体 k,方向指向平衡位置。可见，物块的运动依 A由最高点向下运动的最大距离为s2,根据 然符合简谐运动规律，振动周期仍为T= 能量守恒定律得mgsn9+方kr一名女· (m 2元√ (x1一s:)2=Mgs2+umgs2cos0,解得s2= 同理，对于放置在粗糙水平面上受摩擦 0.16m,此时弹簧的伸长量x2=x1一s2= 阻力∫大小恒定的弹簧振于而言，若取向右 0.12m。因为Mg一kx:-ngsin6< 为正方向，则其运动可以根据速度方向分为 umg cos0,所以系统将处于静止状态，整个运 两部分：①当速度方向为正时，摩擦力方向为 动过程中物体A克服摩擦力所做的功W= 负，其运动过程满足简谐运动规律，平衡位置 mng cos0·(s1+s2)=3.36J。 思考：本题第三小问涉及多个往复运动 在弹簧原长左侧x1=人处（见图4）：②当速 过程，分析过程复杂，运算量较大。那么物体 度方向为负时，摩擦力方向为正，其运动过程 在大小恒定阻力作用下的往复运动是否遵循 仍满足简谐运动规律，平衡位置在单簧原长 一定的规律？最后停止的位置能否确定呢？ 右侧x2= 上处（见图5）。 探究：在水平面上，物体在单簧弹力和滑 12 动摩擦力作用下的阻尼振动的运动规律。 上AA 如图3所示，在粗糙水平面上，劲度系数 99n 为k的轻质弹簧一端固定在墙壁上，另一端 平衡弹簧 弹簧平衡 连接质量为m的物块。物块与地面之间的 位置原长 原长位置 动摩擦因数为以。将物块向左推动到偏离原 图4 图5 长某一位置处由静止释放，物块将在弹簧弹 在上述两个运动过程中，每一个单方向 力与地面摩擦力的作用下做往复运动。 运动所用的时间部是简谐运动周期的一半， 000000000YT 即1=T。不妨设菜次①运动过程中当物 块偏离平衡位置长度为A。时，其速度减小为 图3 0,而当物块向左运动时，因为其平衡位置在 在高中物理选择性必修第一册“机械振 动”一章中，研究简谐运动的规律时，将一个 弹簧原长的右侧：=太处，所以弹簧右端点 弹簧振于穿在水平光滑杆上，一端固定，将小 偏离平衡位置的最大长度（向左运动的振幅） 球拉离平衡位置一段距离，小球由于受到弹 A,=A。一，这说明物块每完成一次单方向 簧弹力的作用，在水平方向上将做简谐运动。 小球受到的回复力F与离开平衡位置的位 运动，振幅都将会减小。当物块完成某次 移x大小成正比，方向相反，即F=一kx,其 单方向运动后弹簧右端点在其原长两侧的距 中为弹簧的劲度系数，负号表示回复力F 与小球离开平衡位置的位移x反向。 离小于或等于时，其受到的弹簧弹力F≤ 对比在水平方向上做简谐运动的单簧振 f,物块将会停止运动。 于的运动情况，我们不难发现，将一个弹簧振 规律总结：(1)物体在单簧单力和大小恒 于竖直放置，物块受重力和弹簧弹力作用振 定的阻力作用下的往复运动，可以视为由多 动时，平衡位置相对于单簧原长位置沿重力 段简谐运动组成。物体做往复运动的平衡位 方向偏移了。以平衡位置为坐标原点，竖 置不断交替变化，且两个平衡位置之间的距 直向下（重力方向）为正方向，当物块偏离平 离为2上 衡位置的位移为x时，受到的回复力大小为 (2)每一次单方向运动过程均符合简谐 33 中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高中理化2026年5月 运动规律，所用时间t=π√ m k=10N/m,取重力加速度g=10m/s, sin53°=0.8。则( ）。 (3)相邻两次单方向的简谐运动的振幅 A.滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始 之差为头，物体的振惆呈等差数列递减，物 终为1.6N B.滑块下滑与上滑过程中所受滑动摩擦 体最终停止在两平衡位置之间或其中一个平 力的冲量相同 衡位置上。 C.滑块从释放到静止产生的位移大小为 用振动的观点解答例1的第三小问：在 0.64m 物体A沿斜面向上运动的过程中，设平衡位 D,滑块从释放到静止克服滑动摩擦力 置对应的弹簧伸长量为x1,则ng sin日+ 做的功为2.56J umg cos日十kx1=Mg,解得x1=0.08m:在 命题意图：本题很好地考查了牛顿第二 物体A沿斜面向下运动的过程中，设平衡位 定律、功与能量，重点考查考生的推理能力和 置对应的弹簧伸长量为x:,则ng sin0+kx 科学思维。 =umg cos0十Mg,解得x2=0.2m。因为刚 挂上物体B时，弹簧的压缩量x=0.12m, 所以物体A沿斜面向上运动时的振幅为 x1十x=0.2m。根据简谐运动的对称性可 知，物体A从静止开始沿斜面向上运动 0.4m到最高点，此时到弹簧原长位置的距 05539 053 离为0.28m。因为物体A沿斜面向上运动 图6 图7 时越过了向下运动时的平衡位置，所以物体 解析：将滑块无初速度地释放后，滑块沿 A将从最高点向下运动，振幅为0.08m。根 杆向下运动。当滑块的位移为x时，设滑块 据简谐运动的对称性可知，物体A向下运动 所在位置P'和Q点连线与OM间的夹角为 的最低点在第二个平衡位置（对应弹簧伸长 α，如图7所示，则弹性轻绳的伸长量(= 量为x)下方0.08m处，并没有越过第一个 平衡位置（对应弹簧伸长量为x1),所以物体 。根据胡克定律可得，弹性轻绳的弹力 A将停止在此处。因此物体A在整个运动 F=k1。根据垂直于杆方向滑块受力平衡可 过程中的总路程s=2x1十2x2=0.56m,物 得，滑块所受杆的压力N=Fsin a 体A克服摩擦力所做的功W=μngs cos0= mng cos53°，又有滑块与杆之间的滑动摩擦力 3.36J。 f=uN,解得f=1.6N,选项A正确。因为 二、用振动的观点分析与求解2025年陕 冲量是矢量，具有方向性，所以滑块在下滑和 西省普通高中学业水平选择性考试第10题 上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量方向相 例2（多选题）如图6所示，与水平面 反，选项B错误。弹性轻绳的弹力沿OM方 成53°夹角且固定于O、M两点的硬直杆上 向的分力大小F=klcos a=klpp,满足胡克 套着一质量为1kg的滑块，弹性轻绳一端固 定律。在滑块沿杆滑动的过程中，滑块的重 定于O点，另一端跨过固定在Q点的光滑定 力沿杆方向的分力和滑动摩擦力均为恒力， 滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接。弹性 可以判断滑块从P点沿杆向下运动的过程 轻绳原长为OQ,PQ的长度为1.6m且垂直 中做简谐运动。设平衡位置位于P点下方 于OM。现将滑块无初速度地释放，假设最 x1处，对滑块进行受力分析，则mngsin53°= 大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之kx1十f,解得x1=0.64。滑块从最低点沿 间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳的弹力F 杆向上运动的过程是另外一个单方向的简谐 的大小与其伸长量x满足F=kx,其中 运动，设平衡位置位于P点下方x处，则 34 所赞新愿翠酒中学生教理化 ngsin53°+f=k.x2,解得x=0.96m。滑 静止在x=一A。处，此时应满足0<A。 块从释放到下滑到最低点的过程中，根据简 g:若小球向右运动后静止，则小球最终静 谐运动的对称性可知，最低点到P点的距离 k 为2x1=1.28m。滑块从最低点沿杆向上运 止在x=A。-2mg处，此时应满足g< k 动的过程中，振幅为2x1一x2=0.32m,根据 简谐运动的对称性可知，滑块沿杆向上运动 A,≤34mg。(2)若小球向右运动过0点后 的最高点到最低点的距离为0.32m×2= 0,64,而该点又是滑块沿杆向下运动时的 静止不动，则小球最终静止在x=A。-2mg 平衡位置，因此滑块将停在此处，滑块的位移 处，此时应满足2mg<A,≤3m5;若小球 大小为0.64m,选项C正确。滑块从释放到 k k 最终静止通过的路程s=3x1=1.92m,克服 向右运动过O点，且向左运动后静止不动， 滑动摩擦力做的功W=fs=3.072J,选项D 则小球最终静止在x=一A。+4m处，此时 错误。 答案：AC 应满足3m3<A。≤5m5。(3)若小球第n 针对训练：（第35届全国中学生物理竞 次返回经过O点后静止不动，则小球最终静 赛复赛题)如图8所示，一劲度系数为k的轻 止在x=一A。+4mg处，此时应满足 弹簧左端固定，右端连一质量为m的小球； k 弹簧水平，它处于自然状态时，小球位于坐标 mg<A.≤4n+ms:若小球第n+1 原点O;小球可在水平地面上滑动，它与地面 k 之间的动摩擦因数为“。初始时刻小球的速 次向右运动后不再运动，则小球最终静止在 度为零，将此时弹簧相对于其原长的伸长量 x=A。一4n+2)mg处，此时应满足 k 记为一A。(A。>0,但A。是已知量)。重力加 速度大小为g,假设最大静摩擦力等于滑动 4n+1Dmg<A,≤4n+3》m5,若小球第 k k 摩擦力。 n十1次向左返回无法经过O点，则小球最终 t=0 静止在x=一A,+4n+)m处，此时应 T00000000001○ -A 满足4n+3mg<A。≤ 4(n+1)mg k 图8 (4)若小球第n次返回经过O0点后静止不 (1)若小球至多只能向右运动，求小球最 终静止的位置和此种情形下A。应满足的 动，则s=4n(A。-2m竖），其中4nmg< 及 k 条件。 A,≤4n+1)mg,若小球第n十1次向右运 (2)若小球完成第一次向右运动至原点 k O右边后，至多只能向左运动，求小球最终静 动后不再运动，则s=2(2n+1)· 止的位置和此种情形下A。应满足的条件。 [A。-2n+Dms],其中4n+Dm&< (3)若小球只能完成n次往返运动（向右 k 经过原点O,然后向左经过原点O,算1次往 A,≤4n十3)mg;若小球第n十1次向左返 k 返)，求小球最终静止的位置和此种情形下 回无法经过O点，则s=4(n+1)· A。应满足的条件。 A。 2(n+1)mg (4)若小球只能完成n次往返运动，求小 其中4n+3)mg< k 球从开始运动直至最终静止的过程中通过的 总路程。 A。≤4(n十1)mg k 参考答案：(1)若小球不动，则小球最终 (责任编辑张巧) 35