依托新定义场景，破解函数与导数-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

依托新定义场景， 田 Y ■山东省垦利第 函数与导数中的新定义问题通常涉及定 义新概念、定义新运算等类型。解决函数与 导数中的新定义问题的首要任务是深入理解 这些“新颖的定义”，随后依据这些定义来解 答问题。在解题过程中，借助类比的方式有 助于深化对新定义的认识，尽管新定义的外 表可能颇具挑战，但其实质仍旧根植于数学 的基础知识中，因此，扎实掌握数学的基本原 理，灵活运用已学过的知识、思想、方法，是解 决此类问题的关键。 一、定义新概念 例1设f(x)是定义在[0,1]上的函 数，若存在x。∈(0,1)，使得f(x)在[0，xo] 上是严格增函数，在[x。,1门上是严格减函数， 则称f(x)为[0,1]上的单峰函数，x。称为峰 点，[0,1]称为含峰区间。 (1)判断下列函数中，哪些是[0,1]上的 单峰函数？若是，指出峰点；若不是，说出原 因。f1(x)=2x-x,f(x)=1-|4x-1|。 (2)若函数f(x)是[0,1]上的单峰函数， 证明：若存在x1,x2∈(0,1)，x1<x2,使得 f(x1)≥f(x:),则[0，x]为含峰区间；使得 f(x1)≤f(x:),则[x1,1]为含峰区间。 (3)若函数f(x)=2a(x十2)3-x一1是 [0,1]上的单峰函数，求实数a的取值范围。 解析：(1)由f1(x)=2x一x2,求导得 f1(x)=2-2x。 所以当f1(x)=2一2x=0时，x=1年 (0,1),故f1(x)=2x一x不是[0,1]上的单 峰函数。 因为f2(.x)=1一|4x一1，所以当x∈ 0,]时，f:=4x,可得fx)=4>0 所以f)=1--1在0，]上是严 解信数创新题碧捏洲酒中学生数理化 高三数学2026年5月 破解函数与导数 中学 程猛猛 格增函数：当x∈[子1]时，f,)=2-4r 可得f(x)= 4<0,所以f2(x)=1-|4x -1在[子1]上是严格诚函数。 因为f:()=1-4×-1=1,所以 f(x)=1一|4x-1|是[0,1]上的单峰函数， 峰点是子 (2)因为函数f(x)是[0,1]上的单峰函 数，所以存在x。∈(0,1)，使得f(x)在[0，x。] 上是严格增函数，在[x。,1]上是严格减函数。 又由于存在x1,x:∈(0,1)，x1<x,使 得f(x1)≥f(x),则知x。∈[0，x:],即[0， x2]为含峰区间； 又由于存在x1,x:∈(0,1)，x1<x,使 得f(x1)≤f(x:),则知xo∈[x1,1],即[x1, 1]为含峰区间。 (3)因为f(x)=2a(x+2)3-x一1是 [0,1]上的单峰函数，所以存在x。∈(0,1)， 使得f(x)在[0，x]上是严格增函数，在[x。, 1]上是严格减函数。 所以f'(x)=6a(x+2)-1在[0，x。] 上大于零，在[x。,1门上小于零。 若a≤0，则f'(x)<0,故不存在x。∈ (0,1),使得f'(x)=6a(x+2)-1在[0， x]上大于零，在[x。,1]上小于零； 若a>0,则f'(x)=6a(x+2)-1在 [一2，十∞)上单调递增，故不存在x。∈(0， 1),使得f'(x)=6a(x+2)2-1在[0，xo]上 大于零，在[x。,1]上小于零。 综上可得，实数a的取值范围为空集。 ,点评：对于函数与导数中“新概念”类问 题，弄清“新概念”是关键，挖掘“新概念”的本 质与内涵，然后“照章办事”，与已学过的知识 25 解题篇创新题追根溯源 中学生数理化离数学202年月 进行合理联想，即可解决问题。 二、定义新运算 例2用数学的眼光看世界就能发现 很多数学之“美”。现代建筑讲究线条感，曲 线之美让人称奇。衡量曲线弯曲程度的重要 指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'(x) 是f(x)的导函数，"(x)是'(x)的导函数， 则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率 K=- |f"(x)1 (1+[f'(x)]} (1)求曲线f(x)=lnx在点(1,0)处的 曲率； (2)已知函数g(x)=cosx+1(x∈R), 求g(x)曲率的平方的最大值； (3)已知函数h(x)=(x一2)e+ (3士”-音-nr),若A(x)在两个不同 点处的曲率为0，求实数的取值范围。 解析：(1)因为f(x)=lnx,所以f'(x) f”(x)= 1 1 1 √2 故K= 1"(1) 1+[f'(1)])1+12)3 4 (2)因为g(x)=cosx十1(x∈R),所以 g'(r)=-sin x,g"(x)=-cos x. -cos x 故K= |g"(x)1 (1'in) cos'x 所以K2= cos'r (1+sin'x)3(2-cos2x)3 令t=2-cos2x,则t∈[1,2]，K2= 2-t t3。 段函数力()三，，则p(1)户 -t3-3t2(2-t)2t-6 t t 显然当t∈[1,2]时，p'(t)<0,p(t)单调 递减，所以p(t)x=p(1)=1。 所以K的最大值为1。 (3)已知h(x)=(x-2)c+(3+m 2 x 3 -lnxx2,x>0,所以h'(x)=(x-1)e 26 +(3+m)x-x2-(x+2xlnx),h"(x)= xe-2(In z+x)+m=eh+:-2(In x+x) +m,x>0。 因为h(x)在两个不同点处的曲率为0， 所以h"(x)=0有两个大于0的不同实数解， 即h"(x)=e+x一2(lnx+x)十m有两个不 同的零点。 设函数t(x)=Inx+x(x>0),因为 (x)+1>0,所以t(x)在(0，+∞)上 单调递增，且值域为R。 所以m=一en++2(lnx十x)有两个 大于0的实数解，等价于m=2t一e',t∈R有 两个不同的实数解。 设函数G(t)=2t一e,t∈R,则G′(t)= 2-e‘。 令G'(t)=0,得t=ln2,所以当t∈ (一∞，ln2)时，G'(t)>0,则G(t)单调递增； 当t∈(ln2,+c∞)时，G'(t)<0,则G(t)单调 递减。 所以G(t)mx=G(ln2)=2ln2-2。 又因为当t·一∞时，G(t)>一∞；当 t·十o∞时，G(t)·一o∞，所以 函数G(t)的图像如图1所示。 2 In 2 2In 2- 因为m=G(t)有两个实数 解，所以m∈(-o∞，2ln2-2)。 所以n的取值范围为 图1 (-∞，2ln2-2)。 点评：对于函数与导数中的“新运算”类 问题，一般是给出一种“新运算”或定义新的 运算律，不论哪种“新运算”，结合“新运算”中 的表达式或运算规律，最终还是会回归到熟 悉的解题思路上来。 其实，依托函数与导数的应用，借助新定 义场景创设，通过定义新概念、新运算等形 式，有时还可以合理渗透高等数学的问题背 景，合理链接高中数学与高等数学之间的联 系，在考查高中数学的基础知识的同时，以新 定义的形式也给高等数学的提前认识与过渡 创造条件，同时倡导创新精神与创新意识，有 效选拔人才与区分层次，体现高考的育人价 值与指挥棒的作用。（责任编辑王福华）