极值点偏移，分类型策略-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

极值点偏移， ■江苏省泰州市姜堰 涉及函数与导数中的极值点偏移问题， 难度比较大，解题有一定的规律可循，合理掌 握并理解相应的破解技巧与应用策略，对于 突破极值点偏移有很好的效应，成为解决问 题的基本思维方式。 一、对称化构造策略 对称化构造思维，是极值点偏移问题中 一个比较常见的应用类型，是用来分析与处 理有关两个极值点之间的和（或积）所对应的 不等式及其应用问题，借助对称变换g(x)= f(x)一f(2a一x)来合理变形与转化，最终 实现问题的突破与求解。 例1(2025年山东省青岛市高考数 学调研试卷)已知函数f(x)=xex。 (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)若x1≠x,且f(x1)=f(x2),求证： x1+x22。 解析：(1)对f(x)求导得f'(x)=(1 x)e。 由f'(x)<0,得x>1: 由f'(x)>0,得x<1。 所以f(x)的单调递增区间是（一∞，1）， 单调递减区间是(1，十∞)。 。,无极 所以f(x)的极大值是f(1)= 小值。 (2)不妨设x1<x,由(1)可知x1<1, xg>1。 要证x1十x。>2,即证x,>2一x1,即证 f(x1)=f(x)<f(2-x1)。 构造函数F(.x)=f(2一x)一f(x)= (2-x)e2-xe,x<1,求导得F'(x)= (1-x)(e-2-e)<0,故F(x)在(-o∞，1) 上单调递减。 00X0 点效应。 其实，端点效应的核心思想是“必要性探 路，充分性护航”。我们在解决一类恒成立问 题时，可以基于端点处取值及端点效应法来 解题信款创新题追提潮滑中学生数理化 高三数学2026年5月 分类型策略 区蒋垛中学 徐飞 所以F(x)=f(2-x)-f(x)>F(1)= 0,故F(x1)=f(2-x1)-f(x1)>0,x1<1, 所以f(2一x,)f(x1)=f(xg)。 又x1<1,2-x1>1,x2>1,且f(x)在 (1,十∞)上单调递减，所以2一x1<x,故 x1+x2>2。 感悟提升：对“和式”结论x1十x2>2x。 型，构造函数F(x)=f(x)一f(2x。一x);对 “积式”结论x1x>x型，构造函数F(x)= fx)-f(） 二、比（差）值换元构造策略 比（差）值换元思维，是极值点偏移问题 中另一个比较常见的应用类型，是用来分析 与处理有关两个极值点之间的比（或差）所对 应的不等式及其应用问题，通过比（或差）值 作为一个整体来创设变量，通过巧妙的减元 或消参，最终实现问题的突破与求解。 例2在函数f(x)=lnx-a.x(x> 0)中，参数a为常数，若f(x)存在两个零点 x1,x2（x1≠x2),求证：x1x2>e2。 证明：（比值换元法）不妨设x1>x,因 为lnx1一ax1=0,lnx,-ax2=0,所以lnx +In x:=a(x+x2),In x-In z:=a(x- ,),所以2二1n型=a。 x1一x2 欲证x1x:>e,即证lnx1+lnx2>2。 因为lnx1+lnx2=a(x1十x2),所以只 需证a> 2 >x,十工。，故原向题可以转化为证明 In x-In a:2 x1一x2 +x,即证n> x2 2(x1-x2) x1十x 以以X 分析，由此缩小并确定对应参数的取值范围， 再去做充分性论证。这样可以有效提升数学 品质与解题习惯，培养数学核心素养。 (责任编辑王福华) 23 ，解题篇创新题追根溯源 中学生数理化离数学202年月 令c=(c>1),则不等式变为1nc> x 2(c-1) c十1。 设函数h(c)=1nc-2(c-1D (c>1),求 c十1 导得'(c)=1 c+1)c+1>0.所 4 (c-1)2 以h(c)在(1，+⊙∞)上单调递增。 所以h(c)>h(1)=ln1-0=0,即lnc 2(c-1) c+1 >0(c>1)。 因此原不等式x1x2>e2得证。 感悟提升：通过代数变形将所证的双变 量不等式通过代换：=（含对数式时常用） 或t=x1一x:(含指数式时常用)化为单变量 的函数不等式，利用函数单调性证明。 三、对数平均不等式放缩策略 对数平均不等式放缩思维，是极值点偏 移问题中的一类特殊应用类型，是用来分析 a-b 与处理两个极值点之间有关1na-nb的不 等式及其应用问题，进而借助对数平均不等 式ab<1na-lnb b-a十b(a>0,b>0,a≠b) 来放缩与转化，最终实现问题的突破与求解。 例3已知函数f(x)= 一x十 alnx。 (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)存在两个极值点x1,x,证 明.fx1)-f(x) ∠a-2。 x1一x2 解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域 -1+ 为(0，+∞)，求导得f'(x)=-1 x -x2-ax+1 ①若a≤2，则f'(x)≤0，当且仅当a= 2,x=1时，f'(x)=0,所以f(x)在(0，+∞) 上单调递减。 ②若a>2,令f'(x)=0,得x1= a-va2-4 2 ,x=a十a4 2 24 当x∈(0，x1)U(x2,+o∞)时，f'(x)< 0;当x∈(x1,x2)时，f'(x)>0。 所以f(x)在(0，x1),(x2,十∞)上单调 递减，在(x1,x)上单调递增。 综上，当a≤2时，f(x)在(0，十∞)上单 调递减：当a>2时.fx)在(0.a-公4). 2 (+互，+)上单调递诚.在 2 (a-a一4，。十-4)上单调递增。 2 2 (2)证明：（对数平均不等式放缩法）：由 (1)知，当且仅当a>2时，f(x)存在两个极 值点。 由于x1x,=a-a-4×a十a-4 2 2 =1,不妨设x1<x2,则x>1。 因为/a)-f()=-,+an (日-：+anx)=2x,-x)+anx -1nx),所以f）-fx=a. x1-x2 lnx1-lnx2-2。 利用对数平均不等式且x1x:=1,可得 f(x1)-f(x) 1 -a· =-2=a-2。 x1一x2 √x1x2 感悟提升：解决此类涉及对数均值不 等式放缩及其应用问题时，合理凑配出吻 合对数均值不等式的形式，并利用相应的 不等式性质加以转化。在实际求解时，需 先由题设信息中的等式巧妙产生对数，合 理构建对应的关系式，结合不等式的基本 性质加以放缩与合理转化，最终实现问题 的突破与求解。 总之，同学们在应对极值点偏移及其综 合应用问题时，需把握问题的基本类型，抓住 题设条件中代数式的结构特征，通过对称化 构造，或比（差）值换元构造，或对数平均不等 式放缩等，对问题进行合理的转化与应用，从 而顺利解决问题。 (责任编辑王福华)