求解概率统计中最值与范问题的“四个意识”-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

高数学典夹辈方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 求解概率统计中最值与范围问题的“四个意识” ■安徽省桐城市第八中学 朱益 概率统计中的最值与范围问题，形式灵 直角坐标系xOy中，若圆x2十y2=。上有 活，综合性强，在遵循概率基本性质的基础 四个点到直线12x一5y+c=0的距离为1， 上，常与函数、不等式、数列深度融合，考查同 则实数c的取值范围是 学们的数学建模、逻辑推理与数据分析处理 解析：因为X~N(1,。),所以4=1。 能力，要求同学们不仅能正确理解概率统计 因此P(X≥3)=P(X≤-1)=3[1 中的基本概念、基本性质，更要会从复杂情境 中提炼出数量关系，识别各种概率分布模型 P(一1X3)]。 (超几何分布、二项分布、正态分布等)，实现 因为P(X≥3)=0.15865，所以P(一1 文字语言、符号语言与图形语言的相互转化。 X<3)=0.6827。因此1-。=-1,1+o=3, 一、性质为先意识 解得。=2。 这类问题通常由概率的基本性质求出某 c 由题意知，圆心到直线的距离d= √12+5 个变量的范围或几个变量的关系（相等关系 或不等关系)，再求最值或范围。 例1设随机变量专的分布列如表1 则0≤|c|<13,即一13<c<13,c的取 所示。 值范围是（一13,13）。 表1 点评：本题以正态分布为载体，考查直线 0 1 2 与圆的位置关系，由正态曲线的对称性求出 2 P σ的值是解决此题的关键。 3 二、目标函数意识 则的数学期望的最小值是( 面对问题情境，建立目标函数是解决问 A吉 B.0 题的关键，即“先定性分析，再定量计算”。 C.2 D.随p的变化而变化 例3在概率论中，马尔科夫不等式给 解析：由分布列的性质得： 出了随机变量的函数不小于某正数的概率的 上界，它以俄国数学家安德雷·马尔科夫命 ≥0， 3 名。由马尔科夫不等式知，若是只取非负 2 值的随机变量，则对Ha>0,都有P(≥a) 1-3p≥0， 解得0≤≤号· +号+(-子p)-1 E()。某市去年的人均年收入为10万元， a 记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市 故E)=号×1+(1-2碧）×2=-力+2. 民去年的年收入超过100万元”为事件A,其 概率为P(A)。则P(A)的最大值为()。 则E()的最小值为2-号方，选N。 A1800 243 点评：先由概率分布的性质求的范围，再 B.1000 4 建立E()关于p的函数关系式，然后求最值。 C.27 例2若随机变量X服从正态分布 解析：设为某市去年1名市民的年收 N(u,o),则P(u-。<X<μ十o)=0.6827, 入，某市去年的人均年收入为10万元，则 P(4-2。<X<u+2。)=0.9545。设X E()=10。设1名市民去年的年收入超过 N(1,o),且P(X≥3)=0.15865。在平面 100万元的概率为p,则p=P(>100) 23 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年5月 E()_1 并分析甲赢得比赛的所有可能情形，然后建立 10010 q一力的目标函数，用导数研究函数的变化趋 由题意可得P(A)=C1p×(1一p)= 势，进而求得q一p取得最大值时p的值。 3p(1-p)2。 例5某学校举行了一次学科知识竞 1 设f(p)=3p(1-p),0<p≤10，则 答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中， 每人分别答两题，若小组答对题数不小于3， f'(p)=3(1-p)-3p×2(1-p)=3(1一 则取得本轮胜利。已知甲、乙两位同学组成 p)(1一3p)>0。 一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1、 易知函数f()在0，司 上单调递增， p:,假设甲、乙两人每次答题相互独立。当 fp)=f()=3××（） 243 =1000,即 p,十力：一3时，求甲、乙两位同学在每轮答题 中取胜概率的最大值。 243 P(A)的最大值为1O00,选B。 解析：已知甲、乙两人每次答题相互独 点评：本题有数学文化背景，由独立重复 立，设甲答对题数为X,则X~B(2,p1)。 试验概率公式构造目标函数，以马尔科夫不 设乙答对题数为Y,则YB(2,p)。 等式确定变量力的取值范围，求三次函数的 设A=“甲、乙两位同学在每轮答题中取 最值，需借助于导数解决。 胜”，则P(A)=P(X=1)P(Y=2)+P(X= 例4甲、乙两名选手进行一场羽毛球 2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2) 比赛，采用三局两胜制，先胜两局者赢得比 =C(1-)Cp+CpiCp:(1- 赛，比赛随即结束。已知任一局甲胜的概率 p:)+CpiCp 为p,若甲赢得比赛的概率为q,则q一p取 =2p1(1-p1)p2+2p2(1-p2)p+pip 得最大值时p=。 8 =-3pipi+3pip:. 解析：若采用三局两胜制，则甲在下列两 因为0≤p1≤1,0≤p:≤1，且p1十p2= 种情况下获胜：①甲前两局全胜；②前两局甲 一胜一负，第三局甲胜。 3,所以3≤p1≤1。 q=p2+Cg·p(1-p)p=b2+2p(1一 p)=-2p3+3p(0<p<1)。 则pP:=p(号-)=含p-Di。 令f(p)=g-p=-2p3+3p°-p(0< 又<≤1，所以pp:∈[日，号] p<1),则f'(p)=一6p2+6p一1。令一6p +6力-1=0，可得p=3±3 设1=DD:,则P(A)=-3r+受，t∈ 6 [哈] 由二次函数的性质可知当1=g 4 因为0<p1,所以当∈(o,3。)时。 f'(p)<0,f(p)单调递减；当p∈ 时，PA)R最大值号。 (3-3,3+3)时，f'(p)>0,f(p)单调递 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜 6 6 端：当∈。.)时p<0,p单 板率的最大值为号 点评：本题涉及两个随机变量X,Y,它 调递减，且f(0)=0。 们之间是相互独立的，在求P(A)最值时用 故当b=3+5时，f(p)有最大值。 到整体换元思想，优化了运算过程。 6 三、不等式工具意识 ,点评：首先要熟悉三局两胜制比赛规则， 不等式在求最值与范围问题时，展现出 24 解登餐来方青中学生表理化 不可替代的工具作用，它能够通过建立待求 量与已知量或易处理量之间的不等关系，达 率为是，小球掉入k(k=0,12…10)号格 到框定目标范围的目的。 子，需要向左10一k次，向右k次，概率为 例6一个篮球运动员投篮一次得3 c()()》。 分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的 设小球掉入及号格于的概率最大，显然 概率为c。易知a,b,c∈(0,1)，且a十b十c k≠0，k≠10。 =1。已知他投篮一次得分的数学期望为2， ()()≥始（十）"(2) 则是+六的最小值为一 则 a c()(只)≥结（十）()+ 解析：由题意知，这位篮球运动员投篮一次 得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分 c%≥c 即 的概率为c,且a,b,c∈(0,1)，a十b十c=1。 c≥c 已知他投篮一次得分的数学期望为2， 则3a十2b=2,a,b∈(0,1)。 解得9≤<华。 4 所以2+6（层+）8a+26) 又k为整数，故k=8。 则小球落入8号格于的概率最大。 =(+号+6+) 2（a 点评：本题问题情境来源于课本，当变量 的取值是离散的，且目标式含有组合数（或排 3 3,当且仅当 列数)与指数式时，利用“夹逼原理”求解是一 ”-号a+26-2,即6=。 种非常有效的方法。 a 4a=2时取等号。 四、数列递推意识 所以+元的最小值为 例8某旅行团带游客去某地观光，游 点评：本题是以概率分布为载体考查不 客可自由选择景点A和景点B的一处游览， 等式的有关知识，由数学期望建立两个变量 若每位游容选择景点A的概率是，选择景 a,b的联系，再运用基本不等式求解。 例7图1是一块高尔顿板的示意图。 点B的概率是，游客之间选择意愿相互独 在一块木板上钉着11排相互平行但错开的 立。现对游客进行问卷调查，若选择景点A 小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通 记2分，选择景点B记1分，记已调查过的累 道，前面挡有一块玻璃。 计得分为n分的概率为p,,求p,的最大值。 将小球从顶端放入，小 球下落过程中，假定其 解析：曲题意可知，力=子：=是十 每次碰到小木钉后，向左 ×=×（得+×）+× +×。 下落的概率为子，向右下 所以当n≥8时p.十是P 1. 落的概率为号，最后落入 012345678910 3 3 图1 整理得p。十p,=p。-1十4p.- 底部的格于中。格于从 左到右分别编号为0,1,2，…，10，则小球落入 所以口，十P为常数数列，且，十 号格于的概率最大。 解析：由题意知，小球下落需要10次碰 =:+-1+× 4 =1(n≥2)。 撞，每次向左下洛的概率为子，向右下落的概 25 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年5月 。是以力一=一为项，公 4 P(X=0)=P(A)XP(B1A)=}× 9 比为一子的等比数列，所以p一亭一是 1-)=b: (←)，即=-最×(-)+ P(X=1)=P(A)×P(B|A)+P(A) 当a=1时n=一是×1+号也成立 9 ×PB1A)=是×1-)+子×号-品 P(X=2)=P(A)XP(B1A)=是X若 4 故p.= 品×(-”+ 4 3 显然，若p,取最大值，则n必为偶数。 5 当m为偶数时=×（号）+单 所以X的分布列如表2所示。 表2 调递减。 X 0 1 2 因此当”一2时，p,取最大值若 19 3 12 60 点评：当p。的表达式不容易直接求出 1 时，我们可以尝试根据实际情境写出相邻两 数学期望E(X)=0× 12 +1× 60+2X 项（或相邻几项）的递推关系式，再根据递推 319,1291 公式求通项，在求最值时要准确把握指数型 5=60+10=60 函数的变化趋势。 3 例9某篮球运动员进行定点投篮训 (3)已知p:=异，由题意可得力，=p 练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率 义4+0=p,-)X3 4 2 2 3=5p-1+3-3p- 为子。若前一次投篮命中，则下次投篮命中 是+号则，吕品19》： 2 的概率为5若前一次投篮未命中，则下次投 所以(P,智}是以。 10_310 13413 篮命中的概率为子· 品为首项，号为公比的等比数列，即力， (1)求该运动员第二次投篮命中的概率： 10 (2)记该运动员前两次投篮命中的次数 13 立×（后） 为X,求X的分布列和数学期望： (3)设第i次投篮命中的概率为p:,求 因为（酷） >0,所以a,<8 证≤< p:= 品品×（） 10 解析：(1)设“第一次投篮命中”为事件A, 以≤< “第二次投篮命中”为事件B,则P(A)= 3 4 点评：本题考查条件概率计算公式，全概 P(BIA)= PA)=子PBA)子 率公式，由数列的递推公式求通项公式，并运 用指数函数的单调性求解，体现了概率统计 根据全概率公式得P(B)=P(A)· 与数列、函数的完美结合。 1 P(BIA)+PA)P(BA)=是×台+ 4 注：本文为2023年安微省安庆市教育科 学规划研究课题“构建高中数学单元知识网络 的微专题教学策略研究”的研究成果，课题编 (2)X的可能取值为0,1,2。 号：AJKT2023-078。(责任编辑徐利杰) 26 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年5月 中学生数理化 条件概率解题策略与方法探究 ■河北省泊头市第二中学 吴臣 在高中数学概率统计知识体系中，条件 二、核心解题策略：从定义到模型的转化 概率是衔接基础概率与复杂概率问题的核心 路径 内容，也是高考的高频考点之一。它突破了 1.定义法：回归公式的直接应用 古典概型“等可能”与“有限性”的局限，更贴 定义法是条件概率最基础的解题方法， 近实际生活中“事件发生相互关联”的场景。 适用于所有可计算P(A)与P(AB)的场景， 然而，由于条件概率涉及“附加条件”这一抽 核心步骤为“计算概率P(AB)→计算概率 象概念，许多同学在解题时容易混淆概率模 P(A)·代入公式求解”。使用该方法的关键 型、误用公式。下面将从概念本质出发，结合 是明确“事件A”和“事件B”的具体含义，避 典型例题，系统探究条件概率的解题策略与 免因事件界定模糊导致计算错误。 方法，帮助同学们构建清晰的解题思维框架。 一、厘清概念本质：破解条件概率的核心 例1(2023年高考全国甲卷)某地的 中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同 前提 学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑 要掌握条件概率的解题方法，首先需精 雪。在该地的中学生中随机调查一位同学， 准理解其定义。教材中明确给出条件概率的 若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的 定义：设A、B为两个随机事件，且P(A)> 0:称P(B1A)-为在率件A发生的 概率为( )。 A.0.8B.0.6 C.0.5 D.0.4 条件下，事件B发生的条件概率。从定义不 分析：先算出同时爱好两项运动的概率， 难看出，条件概率的本质是“在缩小的样本空 再利用条件概率的知识求解。 间内计算事件发生的概率”一一事件A的发 解：记“该同学爱好滑雪”为事件A,“该 生，将原样本空间2缩减为A所包含的样本 同学爱好滑冰”为事件B,则P(A)=0.5, 点集合，此时事件B的概率即为B与A的交 P(B)=0.6,P(AUB)=0.7。 事件AB在该缩减样本空间中的占比。 同时爱好两项运动的概率为P(AB)= 理解这一本质需区分两个关键点：一是 P(A)+P(B)-P(AUB)=0.5+0.6-0.7 “P(B|A)”与“P(AB)”的差异，前者的样本 =0.4。 空间是A,后者的样本空间是2；二是“条件 所以P(BA)=P(AB) P(A) =0.8。 概率”与“独立事件”的关系，若A、B独立，则 P (AB)=P(A)P (B)P(B A ) 故选A。 2.缩减样本空间法：直观化的简化计算 P(A)P(B)=P(B),这是特殊情形下的简 P(A) 当事件A发生的条件明确时，可直接将 化计算依据。例如，抛掷两枚均匀硬币，记事 样本空间缩减为A所含的样本点，此时事件 件A为“第一枚硬币正面朝上”，事件B为 B的概率即为AB所含样本点与A所含样本 “第二枚硬币正面朝上”，则P(BA)=号 2 点的数量比，即P(BA)=n(AB) n(A) P(B),这体现了独立事件的性质。 该方法无须计算P(A)与P(AB),适用 27 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年5月 于样本点有限的古典概型问题，解题更直观 每滑行4千米射击一轮，共射击4轮，每轮射 高效。 击5次，若每有1发于弹没命中，则被罚时1 例2(2023年江苏省统考二模)“绿 分钟，总用时最少者获胜。已知某男选手在 水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环 一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时 境越来越好，外出旅游的人越来越多。现有 每发于弹命中的概率都相同，且每发于弹是 甲、乙两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从 否命中相互独立，记事件A为“其在前两轮 “太湖革头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州 射击中没有被罚时”，事件B为“其在第4轮 恐龙园、南京夫于庙、扬州瘦西湖”这6个景 射击中被罚时2分钟”，那么P(A|B)= 点中随机选择1个景点游玩。记事件A为 )。 “两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”， A B.1 4 C.D.g 事件B为“两位游客选择的景点不同”，则 分析：事件B为前3轮中有一轮1发未 P(B|A)=( )。 中，第4轮有2发未中；事件AB是第3轮有 cD.9 1发未中，第4轮有2发未中，然后利用条件 分析：当题目中条件或事件表述复杂时， 概率求解。 可利用概率的基本性质（如互斥事件加法公 CICIC 解：由题意得P(B)= P(AB) 式、对立事件概率公式)将所求条件概率转化 Co 为易计算的形式。常见转化方向包括：将“多 CIC Cio 个条件”转化为单一事件，将“至少、至多”类 事件转化为对立事件等。本例由缩减样本空间 所以P(A|B)= P(AB) cc÷ P(B) C 法，先求出n(A)和n(AB),再代入P(B|A) CCC 1 n(AB) 求解 C 。故选C。 n(A) 三、总结与提升：构建条件概率的解题思 解：方法1：缩减样本空间法 两位游客中至少有一人选择太湖蔗头渚 维链 的样本点数n(A)=6×6一5×5=11。两位 条件概率的解题核心在于“明确条件、转 游客中至少有一人选择太湖鼋头渚且两位游 化事件、选择方法”。解题时可遵循以下思维 客选择的景点不同的样本点数n(AB)=5+ 链：首先，通读题目，圈出“已知条件”和“所求 5=10。所以P(B1A)=n(AB2=10 事件”，明确A(条件事件)与B(目标事件)；其 n(A)=,选D。 次，判断样本空间类型，若为古典概型且样本 方法2：定义法 点少，则优先用缩减样本空间法，否则用定义 由题意可得P(A)=6X6-5×5山 法；再次，若事件复杂，则通过概率性质转化为 6×6 36 简单事件，再计算P(A)与P(AB):最后，验证 2×5.5 P(AB)- 结果是否符合实际场景，规避常见误区。 6×618 此外，提升条件概率解题能力还需加强 所以P(B|A)= P(AB)1810 两类训练：一是结合实际场景的应用题训练， P(A) 1111 如天气预报、产品检验、抽奖等，培养事件分 36 析能力：二是多知识点融合题训练，如条件概 故选D。 率与分布列、期望的结合，适应高考命题趋 例3冬季两项是冬奥会的项目之一， 势。通过概念深化、方法实践与误区规避，同 是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项 学们可切实掌握条件概率的解题技巧，提升 目结合在一起进行的运动。其中冬季两项男 概率问题的综合应对能力。 于个人赛，选手需要携带枪支和20发于弹， (责任编辑徐利杰) 28 解题篇经典题突碗方法中学生数理化 高二数学2026年5月 同构法在高中数学中的应用 ■湖北省襄阳市第三中学 张冬青秦正辉 同构法是指利用有关公式和法则，通过lna恒成立。不等式两边同时加x,整理可 对等式或不等式巧妙变形，使左右两边结构 得e-lu+x-lna>x+lnx=er十lnx恒 形式完全相同，再通过构造新的结构形式解 成立。构造函数g(x)=e十x,易知g(x)在 决问题的方法。同构法实现了化繁为简、化 R上单调递增，所以x一lna>lnx恒成立， 未知为已知，可以帮助同学们快速解决函数 即lna<(x-lnx)mm。 与导数、不等式、数列、解析几何等问题。下 面通过一些例题进行展示，希望对同学们的 令ax)=x-n则)=1-是 学习有所启发。 >0)。 题型一：同构在方程求值中的应用 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递 减； 例1已知实数a,b满足2+1十a=4, 当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0,h(x)单 log√2b+3+b=1,则a+2b=一。 调递增。 解析：由题意可得2+1十a+1=5。已知 所以h(x)m.=h(1)=1。 108:V26+3+6=21og:(26+3)+6=1,变 因此lna<l,解得0<a<e。 所以正实数a的取值范围为(0，e)。 形可得1og:(2b+3)+2b十3=5，即2,26+ ,点评：本题主要考查指对互化运算，及函 +1og2(2b+3)=5。 数的单调性。解题的关键是根据e'一alnx> 所以2%+”+1og(2b+3)=2t1+a+ alna恒成立，等价变形得到e-m十x一lna> 1=5。构造函数y=2十x,因为函数y=2 x十lnx=er十lnx恒成立，再通过构造函 +x在R上单调递增，所以a+1=log:(2b+ 数g(x)=e十x,利用函数单调性可得x 3),则2b=2+1一3。 lna>lnx恒成立，即lna<(x-lnx)mim,从 因此a+2b=a+十2+1一3=4一3=1。 而可求解。 点评：本题综合考查对数运算、指对互化 题型三：同构在比较大小中的应用 及函数的单调性，解题的关键是通过将已知 例3 已知a,6c∈（日，+∞）且 方程等价变形得到2，”+1og:(2b十3) 2+1十a十1，再构造函数y=2十x,利用函 =-5In a,- In 3=-3In 6, b n2=-21nc,则 c 数单调性可得a十1=log(2b十3)，并用a表 )。 示b,即可求解。 A.b<c<a B.c<b<a 题型二：同构在不等式求参数范围中的 C.a<c<b D.a<b<c 应用 解析：由题意可知n5=一51na, n3 例2已知f(x)=e一alnx,若对任 a b 意x∈(0，十∞)，不等式f(x)>alna恒成 -31n6,1n2 一2lnc。整理变形得： 立，则正实数a的取值范围为。 1,1 1 1 解析：由题意知e一alnx>alna恒成 aln a=- 立，可得g-nx>lna,即e-nx> 1 111 a In 4 2In 2-4 29