成对数据的统计分析的题型剖析-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

成对数据的统计分 ■成都经济技术开发】 一、内容定位与核心思想 成对数据的统计分析属于“统计”板块的 延伸，核心是研究两个变量之间的相关关系， 而不再局限于单一变量的分析。它打破了传 统函数关系中“确定性”的束缚，转而探究现 实世界中普遍存在的“相关关系”。 二、高考主要考点与考查方式分析 高考对此内容的考查，侧重于基础概念 的理解、公式的应用和结果的解释，极少涉及 复杂计算（通常会给出公式）。主要题型为选 择题、填空题和解答题，尤其是解答题，常作 为统计应用题的主体。 三、题型呈现 题型1成对数据的相关性 例1（多选题）如图1，某同学将搜集 的六组成对数据(x:,y:)(i=1,2,…,6)绘制 成散点图，若把图中的E点去掉，对比原数 据重新进行线性回归分析，则下列结论正确 的是()。 E B.C.D. F· 图1 A.数据的残差平方和变大 B.数据的决定系数R2变大 C.解释变量x与响应变量y的线性相 关程度变强 D.样本相关系数r的绝对值更趋于0 解：由散点图可知，样本数据中的变量 x,y正相关，由于E点较其他点偏离程度 大，删除E点后，回归效果更好，决定系数R 解樱敬轻典突染有清中学生款理化 析的题型剖析 区实验中学校 杜海洋 变大，故B正确。从而相关系数x的绝对值 更接近于1，所以D错误。因为拟合效果更 好，决定系数R变大，所以新样本的残差平 方和变小，故A错误。从而解释变量x与响 应变量y的相关性增强，所以C正确。故 选BC。 解题点拨：判定两个变量相关性的方法。 (1)画散点图：若点的分布从左下角到右 上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上 角到右下角，则两个变量负相关。 (2)计算样本相关系数：样本相关系数” 的取值范围为[一1,1]；当r>0时，正相关； 当r<0时，负相关；|x|越接近于1，线性相 关性越强。 (3)求解经验回归方程y=ix十a:当 6>0时，正相关；当6<0时，负相关。 (4)在残差的散点图中，残差分布的水平 带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型 的拟合效果越好。 (5)决定系数R2越大，表示残差平方和 越小，数据就越集中，模型的拟合效果越好。 题型2回归模型 命题点1一元线性回归模型 例2夏天是冷藏饮料的销售旺季，某生 活超市统计近几天的偏温差（超出常温度数）x (单位：℃，x≥3)和某种饮料的销售量y(单位： 瓶)的有关数据如表1所示。 表1 x x y81114 20 2326 其中之x,=54.9,2(x,-x)(y:-y)= =1 i=1 942(x,-)=6。 (1)请用相关系数说明是否可用线性回 17 解题篇经典题突破方法 中学生数理化离二数学206年5月 归模型拟合销售量y与偏温差x的关系； (2)建立y关于x的回归方程（精确到 0.01),预测当偏温差升高4℃时，该种饮料的 销售量会有什么变化？（销售量精确到整数） 参考数据和公式：√7≈2.646。相关系数 2(x,-x)(y:一y） =1 。 回归直线方 √2x,-),- ；=1 程是=a+bx,其中a=y一bx,i= (x:-x)(y:-y） i=1 含(2-) 解：(1)y= 8+11+14+20+23+26 6 17,(y:-y)=252,之x:=54.9,(x:- :三1 =1 x)(y:-y)=94, ∑(x:一x)2=6,故r= 2(x:-x)(y:一y） 94 ≈0.99。 √，-2-) 6X6√7 所以可用线性回归模型拟合y与x的关系。 （2)因为-54.9=9.156-36 6 _94≈2.61 a=17-2.61×9.15≈-6.88，所以y关于x 的回归方程为y=2.61x一6.88。当△x=4 时，△y=2.61×4≈10。故预测当偏温差升 高4℃时，该种饮料的销售量会增加10瓶。 解题点拨：一元线性回归模型的求解。 (1)将=ix十a称为y关于x的经验 回归方程，其中6= 2(x:-x)(y:-y) a= 2(x:-x) =1 y-bx。 (2)求解经验回归方程的关键是确定a,, 并充分利用回归直线过样本点的中心(xy)。 (3)残差：观测值减去预测值所得的差称 为残差。 命题点2非线性回归模型 例3近年来，新能源汽车因其动力充 沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追 捧。某机构为研究汽油价格x(单位：元/升) 与新能源汽车的月销售量y(单位：万辆)之 18 间的关系，收集整理得到如表2所示的数据。 表2 66.5 7 7.5 8 y 1.5 2 3 4.56.8 (1)若用模型y=blnx十a模拟y与x 之间的关系，求出回归方程。 (2)根据建立的回归方程，预测当汽油价 格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量。 (3)假设当汽油价格为9元/升时，实际 销量超过预测值的概率为0.6。现进行5次 独立观测，记这5次观测中销量超过预测值 的次数为，求的数学期望。 参考数据和公式：ln3≈1.1。∑(x: x)(y:-y)=6.55,∑(x:-x)=2.5.1nx =1 =424,=9.7,2(4,-u)(y,-y)=0.93, := 之(u-u)2=0.05。对于一组数据（x,y） (i=1,2,3,…,n),其回归直线y=bx十a的 斜率和截距的最小二乘估计分别为= 2(x:-x)(y:一y =1 -,a=y一bx。 含x,-) 解：(1)令lnx:=u:,则b= (u:-u)(y:一y）0.93 =1 2(u:-u) 0.05=186。易知y= i=1 5×(1.5+2+3+4.5+6.8)=3.56,u3 628；1.94。由y=m+a,得3.56□ 18.6×1.94+a,解得a=-32.524。所以y关 于x的回归方程为y=18.61nx一32.524。 (2)当x=9时，代入回归方程可得y= 18.6×1n9-32.524≈18.6×2.2-32.524= 8.396。故预测当汽油价格上涨至9元/升 时，新能源汽车的销量约为8.396万辆。 (3)由题意知，B(5,0.6),所以E() =5×0.6=3,即的数学期望为3。 解题点拨：求非线性回归方程的步骤。 (1)将非线性方程通过取对数、换元等方 式转化为线性方程。 (2)利用公式计算线性回归方程。 (3)反解出非线性回归方程。 题型3列联表与独立性检验 例4随着科技的发展，A1技术已经 深度介入普通人的生活，正在改变着人们的 生活和工作。为了解AI技术在普通人中的 使用情况，某机构进行了调查，并从参与调查 的市民中分别抽取男，女各100人进行统计 分析，整理得到如表3所示的列联表。 表3 性别经常借助AI技术不经常借助AI技术合计 男 女 % 合计 120 (1)完成上述列联表，并参考表4，根据 小概率值a=0.005的独立性检验，分析是否 经常借助A】技术与性别有关联； (2)采用按比例分配的分层随机抽样的方 法，从不经常借助A1技术的人中抽取8人，再 从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数 为随机变量X,求X的分布列和数学期望。 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d。 表4 a 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 解：(1)完整的列联表如表5所示。 表5 性别 经常借助AI技术不经常借助AI技术合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 零假设为H。:是否经常借助AI技术与 性别无关联。根据表中数据得X= 200×(70×50-50×30)2 =25 100×100×120×80 3 ≈8.333> x.0:=7.879。根据小概率值a=0.005的独 立性检验，可以推断H。不成立，即是否经常 借助A】技术与性别有关联，这种推断犯错误 的概率不超过0.005。 数攀典要方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 (2)采用按比例分配的分层随机抽样，男 性抽取人数为8× 30=3,女性抽取人数为 80 8十50 =5。 80 所以随机变量X的可能取值为0,1,2， 3,则P(X=0)= CC C =28,P(X=1)= 5 CC-5,p(x=2)= C28 C=5,P(X=3) CC 一56。所以X的分布列如表6所示。 1 C 表6 0 3 5 P 15 15 1 28 56 56 5 15 所以E(X)=0×8+1X28十2X5 56 .19 3×56=8 解题点拨：(1)独立性检验的一般步骤： 根据样本数据制成2×2列联表：根据公式X n(ad-bc)* (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算X的 值；比较X与临界值的大小关系，作统计推 断。(2)根据X的值可以判断两个分类变量 有关的可信程度，若X2越大，则两个分类变 量有关的把握越大。(3)回归分析和独立性 检验都是基于成对样本观测数据进行估计或 推断，得出的结论都可能犯错误。 四、命题趋势与学习建议 1.情景化、生活化：问题背景多源于社会经 济、生活科技、生物医学等实际研究，如广告投 入与销售额、身高与体重、药物疗效等。要求同 学们具备阅读材料、提取数据信息的能力。 2,重思想、轻计算：侧重于对统计思想 (如用样本估计总体、模型思想)的理解，及对 计算结果合理解释的能力。 3.步骤完整，表述严谨：解答题有严谨的分 析流程（画散点图→判断·求方程→预测→检 验)，需步骤清晰，结论明确。 4.常见易错点：混淆“相关关系”与“因果 关系”，独立性检验结论的或然性。 (责任编辑赵倩) 19