如何用样本数据科学估计总体特征-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

中学生表理化贺识皱种与拓是年5月 知何闲样本数据科学估什总体特征 ■田红月 用样本估计总体通常有两种方法：一是 点评：处理频率分布直方图时，需紧扣 从“形”的角度，通过频率分布表、频率分布直 方图，用样本分布刻画总体的分布规律：二是 “小运形的面积一组距×案一频率”，要明 从“数”的角度，借助平均数、中位数反映数据 确各组对应的频率。 的集中趋势和一般水平，利用方差、标准差反 题型二：样本数字特征的计算、比较与 映数据的离散程度，根据百分位数反映数值 估计 在一组数据中的相对位置。 例2已知一组样本数据x1,x2,…,x, 题型一：用样本的频率分布直方图估计 (x1<x<…<x,)的平均数为x,方差为s2, 总体 则( )。 例1某地区对100名新入职教师技能 A.6x1+1,6x。+1,·,6x2+1的平均数 测试的成绩进行了分析，成绩都在区间[50， 为6x 100]内，得到的频率分布直方图如图1所示， B.2x1十1,2x2十1，…，2x,+1的方差为s 则下列结论中不正确的是( )。 C.4x1+1,4x2+1,…,4x,+1的25% ◆频率/组距 分位数为4x?+1 0.04 D.3x1+1,3x,十1，…，3x,十1的极差为 x1-x1 0.02 解：对于A,6x1十1,6x2十1，…，6x?+1 0.015 的平均数为6x+1,A错误。对于B,2x1十 成绩/分 1,2x2十1，…，2x,十1的方差为4s,B错误。 5060708090100 对于C,由25%×7=1.75<2，可得4x1+1, 图1 4x2十1，…，4x,十1的25%分位数为4x十 A.成绩在[50,60)内的频数为10 1,C正确。对于D,3x1+1,3x2+1,…,3x B.所有小矩形面积之和为1 十1的极差为3(x,一x1),D错误。应选C。 C.成绩的中位数在区间[80,90)内 点评：设原数据为x:(i=1,2,3,…),新 D.成绩的平均数在区间[80,90)内 数据为y:=ax:十b,a,b为常数，则平均数、 解：由频率分布直方图中小矩形面积之 百分位数随数据的线性变换同步变换；方差 和为1，可得(a+0.015+0.02+0.04+ 仅与a有关、与b无关，即s=as;极差与 0.015)×10=1,即a=0.01,所以成绩在 a的绝对值成正比、与b无关。 [50,60)内的频数为100×a×10=100× 例3某工厂生产某款产品，该产品市 0.01×10=10,A,B正确。设成绩的中位数 场评级规定：评分在10分及以上的为一等 为y,由0.01×10+0.015×10+0.02×10= 品，低于10分的为二等品。表1是检验员从 0.450.5,0.01×10+0.015×10+0.02× 批产品中随机抽取的10件产品的评分。 10十0.04×10=0.85>0.5，易得中位数y在 表1 区间[80,90)内，C正确。设成绩的平均数为 9510.29798109.610.19.710.110.3 x,则x=(55×0.01+65×0.015+75×0.02 10 +85×0.04+95×0.015)×10=78.5,所以 经计算得 ∑xi=98.078,其中x:为 平均数在区间[70,80)内，D错误。应选D。 抽取的第i件产品的评分，i=1,2,3,…,10。 18 资一数型识糖物室预骨中学生表理化 (1)求这组样本的平均数和方差。 800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩 (2)若厂家改进生产线，使得生产出的每 都是整数)中抽取一个容量为100的样本，其 件产品评分均提高0.3。根据以上随机抽取 中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个， 的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂 再将40个男生成绩的样本数据分为6组： 生产的产品评分的平均数和方差。 L40,50),L50,60),60,70),70,80),L80, (9.5+ 解：(1)样本的平均数为x=10 90),[90,100],绘制得到如图2所示的频率 分布直方图。 10.2+9.7+9.8+10+9.6+10.1+9.7+ ◆频率/组距 10.1+10.3)=9.9。 0.03 样本的方差为=品氵 0.025 0.02 10 0.015 6∑z72=98.078-9.92=0.0 0.01 :=1 0.005 (2)因为改进后随机抽取的10件产品的 成绒公 0405060708090100 评分是改进前抽取的10件产品的评分每个 图2 提高0.3，所以改进后生产的产品评分的平 (1)估计男生成绩样本数据的第80百分 均数为x1=x十0.3=10.2，方差不变，仍为 位数。 s1=s2=0.068。 (2)若成绩不低于80分的为“优秀”等 点评：熟记方差公式s=】∑(x:x) 级，用样本的频率分布估计总体，则估计高二 n 年级男生中成绩为“优秀”等级的人数。 =1∑x-x,灵活选用方差公式的恰当形 n=1 解：(1)在[40,80)内的成绩的频率为 式是优化解题过程、提升计算效率与准确度 0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03× 的关键。 10=0.70.8,在[40,90)内的成绩的频率为 题型三：总体百分位数的估计 0.7+0.025×10=0.95>0.8,可知第80百 例4一组数据6,4，a,8,6,10,12的平 分位数在[80,90)内，所以80+10× 均数为7，则该组数据的()。 0.8-0.7 A.第50百分位数为8 0.95-0.7=84,所以估计第80百分位数约 B.第50百分位数为7 是84。 C.第75百分位数为9 (2)成绩不低于80分的频率为(0.025+ D.第75百分位数为10 0.005)×10=0.3,则高二年级男生中成绩优 解：因为6,4，a,8,6,10,12的平均数为 委人数估计为0.3×0×800=96，所以估 7,所以6+4+a+8十6+10+12=7，解得0 7 计高二年级男生中成绩为“优秀”的人数为96。 =3。将这七个数从小到大排列为3,4,6,6， 点评：用样本估计总体的两个关键点：用 8,10,12。因为i=7×50%=3.5,所以第50 样本的频率分布估计总体的频率分布：用样 百分位数为6，A,B不正确。因为i=7× 本的数字特征估计总体的数字特征。 75%=5.25,所以第75百分位数为10，C不 说明：本文系2024年云南省教育厅科学 正确。应选D。 研究基金项目立项课题“基于‘三新’背景下 点评：解答此类问题要遵循“补→排· 选科走班的高中数学分层教学实践研究”（课 定”三步，即先利用条件补全数据，再将数据 题编号：2024J0625)的研究成果。 排序定位，最后按百分位数的定义精准取值。 作者单位：云南省昆明市盘龙区财大附中 例5用分层随机抽样从某校高二年级 (责任编辑王琼霞) 19