专题07 概率（期末复习知识清单）高一数学下学期人教A版

专题07 概率 知识点1 随机事件 随机事件 （1）随机事件：一般地，把试验的样本空间的_______称为的随机事件，简称_______，常用，，等表示． （2）必然事件：样本空间是其自身的________，因此也是一个________；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都_______，因此称为必然事件． （3）不可能事件：空集也是的一个子集，可以看作一个________；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都________，故称为不可能事件． 知识点2 随机事件的关系与运算 ）随机事件的运算 事件 内容 图示 交事件（或积事件） 一般地，由事件和事件都发生所构成的事件，称为事件与事件的交事件（或积事件），记作______（或）．事件是由事件和事件所共有的样本点构成的集合． 并事件（或和事件） 一般地，由事件和事件______（即发生，或发生）或_____所构成的事件，称为事件与事件的并事件（或和事件），记作_____（或）．事件与事件的并事件是由事件或事件所包含的样本点构成的集合． 互斥事件 一般地，______发生的两个事件与（）称为互斥事件．它可以理解为，同时发生这一事件是不可能事件． 对立事件 给定事件，不发生也是一个事件，记为．若_____，且______，则称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记作． 事件之间的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件________事件（或称事件包含于事件） _______（或） 相等关系 若且，那么称事件与事件相等 _______ 并事件（和事件） 若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，称此事件为事件与事件的_______（或和事件） （或） 交事件（积事件） 若某事件发生当且仅当________且_______________，则称此事件为事件与事件的交事件（或积事件） （或） 互斥事件 若为不可能事件，则称事件与事件互斥 对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件      知识点3 古典概型 （1）古典概型的概念：具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①有限性：样本空间的样本点只有_______； ②等可能性：每个样本点发生的可能性_______． （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率____． 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点4 概率的性质 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么________； 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，______； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以． 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有． 知识点5 相互独立事件 1．定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率_____，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即_ _____． 3．性质：如果事件与事件相互独立，则与，与，与也都_______． 相互独立事件的概率 一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立：_____． 知识点6 频率的稳定性（用频率估计概率） 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为_____________．因此，我们可以用频率估计概率． 题型1 随机事件的判断 【例1】（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【变式1-1】（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【变式1-2】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 题型2 互斥事件与对立事件的辨析 【例2】（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【变式2-1】（25-26高二上·广东中山·期末）（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【变式2-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型3 概率的运算 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·四川眉山·期末）（多选）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 题型4 概率的基本性质 【例4】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·广东江门·期末）已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 【变式4-2】（25-26高一上·江西新余·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型5 古典概型概率计算 【例5】（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【变式5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【变式5-2】（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 题型6 相互独立事件与互斥事件判断 【例6】（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【变式6-1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【变式6-2】（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 题型7 独立事件的乘法公式 【例7】（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 【变式7-1】（2026·河北张家口·三模）现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 题型8 相互独立事件的应用 【例8】（24-25高一下·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【变式8-1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【变式8-2】（23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 题型9 用频率估计概率 【例9】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【变式9-1】（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【变式9-2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 易错点1 互斥事件对立事件相互独立事件的判断 【例1】（25-26高二上·江西南昌·期末）（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【变式1-1】（25-26高二上·山东聊城·期末）（多选）先后抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次向上的点数是1”，事件“第二次向上的点数是2”，事件“两次向上的点数之和是7”，则（   ） A． B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 【变式1-2】（25-26高一上·河南焦作·期末）（多选）投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 易错点2 有放回与无放回的概率计算 【例1】（24-25高一下·安徽·期末）（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 【变式2-1】（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（    ） A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 【变式2-2】（多选）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 方法1 比赛中的概率问题 【例1】（25-26高二上·湖北·期中）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【变式1-1】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【变式1-2】（24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 方法2 概率的比较与最值 【例2】（24-25高一下·福建龙岩·期末）甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 【变式2-1】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【变式2-2】（24-25高三上·广东东莞·阶段检测）近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.如图，假设有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下，将四支队伍两两分组比赛，胜者进入到总决赛，胜者即为冠军；双败赛制下，两两分组比赛，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，胜者即为冠军.双败赛制下有意思的事情是，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组. (1)若，在淘汰赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果分析双败赛制下，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率 知识点1 随机事件 随机事件 （1）随机事件：一般地，把试验的样本空间的__子集______称为的随机事件，简称___事件_____，常用，，等表示． （2）必然事件：样本空间是其自身的__子集______，因此也是一个___事件_____；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都__必然发生______，因此称为必然事件． （3）不可能事件：空集也是的一个子集，可以看作一个_事件_______；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都__不会发生______，故称为不可能事件． 知识点2 随机事件的关系与运算 ）随机事件的运算 事件 内容 图示 交事件（或积事件） 一般地，由事件和事件都发生所构成的事件，称为事件与事件的交事件（或积事件），记作______（或）．事件是由事件和事件所共有的样本点构成的集合． 并事件（或和事件） 一般地，由事件和事件__至少有一个发生____（即发生，或发生）或_和都发生_____所构成的事件，称为事件与事件的并事件（或和事件），记作______（或）．事件与事件的并事件是由事件或事件所包含的样本点构成的集合． 互斥事件 一般地，_不能同时_______发生的两个事件与（）称为互斥事件．它可以理解为，同时发生这一事件是不可能事件． 对立事件 给定事件，不发生也是一个事件，记为．若_ _____，且______，则称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记作． 事件之间的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件___包含_____事件（或称事件包含于事件） ___ _____（或） 相等关系 若且，那么称事件与事件相等 ________ 并事件（和事件） 若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，称此事件为事件与事件的___并事件_____（或和事件） （或） 交事件（积事件） 若某事件发生当且仅当___事件发生_____且_____事件发生___________，则称此事件为事件与事件的交事件（或积事件） （或） 互斥事件 若为不可能事件，则称事件与事件互斥 对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件      知识点3 古典概型 （1）古典概型的概念：具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①有限性：样本空间的样本点只有__有限个______； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等________． （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率________． 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点4 概率的性质 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么__ ______； 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，________； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以． 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有． 知识点5 相互独立事件 1．定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率___没有影响_____，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即_ _______． 3．性质：如果事件与事件相互独立，则与，与，与也都相互独立________． 相互独立事件的概率 一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立：______． 知识点6 频率的稳定性（用频率估计概率） 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为___频率的稳定性___________．因此，我们可以用频率估计概率． 题型1 随机事件的判断 【例1】（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 【变式1-1】（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 【变式1-2】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 题型2 互斥事件与对立事件的辨析 【例2】（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 【变式2-1】（25-26高二上·广东中山·期末）（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：ABD 【变式2-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的， 要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 题型3 概率的运算 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，事件A包含于事件D；B选项，事件B，D不能同时发生，B正确；C选项，根据事件运算得到C正确；D选项，，，D错误. 【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况： 两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确； 对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选：ABC 【变式3-1】（24-25高二上·四川眉山·期末）（多选）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设为三次投篮命中次，可得，，进而逐项分析判断. 【详解】设为三次投篮命中次， 则，可得， 所以，，，， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 【变式3-2】（24-25高二上·广东佛山·阶段检测）（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】要使电路是通路，则需甲原件正常，乙原件和丙原件至少有一个正常，分析各个选项表示的实际意义，得出结果. 【详解】A. 由题意得， “甲元件正常”， “乙、丙元件同时故障”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路. B. “甲、乙元件同时故障”，“甲原件和乙原件至少有一个正常”， “乙、丙元件同时故障”，“乙原件和丙原件至少有一个正常”，不能得到甲原件一定正常，故不能表示电路是通路. C. “甲元件正常”， “乙元件正常”， “丙元件正常”， “乙原件和丙原件至少有一个正常”，故表示电路是通路. D. “甲、乙元件均正常”， “甲、丙元件均正常”， 故表示电路是通路. 故选：ACD. 题型4 概率的基本性质 【例4】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 【变式4-1】（25-26高二上·广东江门·期末）已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 【答案】0.4/ 【分析】根据概率的加法公式计算即可. 【详解】因为，，， ， 解得. 故答案为：0.4. 【变式4-2】（25-26高一上·江西新余·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合交并集元素计算公式，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D 题型5 古典概型概率计算 【例5】（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】(1) (2)77；106 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求各组频率，结合频率和为1运算求解； （2）用每组区间的中点值为代表，结合平均数和方差公式运算求解； （3）分析可知男生3人，女生2人，利用枚举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差 . （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 【变式5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 【变式5-2】（25-26高一上·河南驻马店·期末）袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率估计概率的方法求解. 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 题型6 相互独立事件与互斥事件判断 【例6】（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为 ，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 【变式6-1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 【变式6-2】（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 题型7 独立事件的乘法公式 【例7】（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率求解. 【详解】只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为． 【变式7-1】（2026·河北张家口·三模）现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式和条件概率的乘法公式，即可求解. 【详解】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为. 【变式7-2】（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 题型8 相互独立事件的应用 【例8】（24-25高一下·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【分析】（1）写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案； （2）利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算，再验证与是否相等即可判断. 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. 【变式8-1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 【变式8-2】（23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 题型9 用频率估计概率 【例9】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 【变式9-1】（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【分析】（1）根据分层抽样的概念确定各层抽取的个数； （2）利用频率对概率进行估计. 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 【变式9-2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 易错点1 互斥事件对立事件相互独立事件的判断 【例1】（25-26高二上·江西南昌·期末）（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】ABD 【分析】根据独立事件概率关系，求出每个事件的概率，并逐一判断即可. 【详解】设甲，乙，丙，丁事件分别为,则， 事件“两次取出的球的数字之和是6”的样本点有， 样本总量为，故， 事件“两次取出的球的数字之和是7” 的样本点有， 故， 对于A，，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确， 故选：ABD. 【变式1-1】（25-26高二上·山东聊城·期末）（多选）先后抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次向上的点数是1”，事件“第二次向上的点数是2”，事件“两次向上的点数之和是7”，则（   ） A． B．事件与事件互斥 C． D．事件与事件相互独立 【答案】ACD 【分析】根据古典概型的概率公式，分别计算事件A，B，C以及，，进而可判断各个选项. 【详解】因为先后抛掷质地均匀的骰子两次共有（种）结果，事件包含共6种结果，所以，故A正确； 事件包含共6种结果， 显然既在事件A的样本空间里又在事件B的样本空间里，故事件与事件不互斥，所以B错误； 事件包含共5种结果，故，所以C正确； 事件C包含共6种结果，所以， 事件包含一个样本点，所以，所以，故事件与事件相互独立，所以D正确. 故选：ACD 【变式1-2】（25-26高一上·河南焦作·期末）（多选）投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 【答案】AD 【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可. 【详解】对于A选项，显然，不会同时发生，故二者互斥，A正确； 对于B选项，此时，B错误； 对于C选项，事件：，，，，，，，，故， 事件：，，，，故， 而事件：，，，， 所以，C错误； 对于D选项，若为奇数，显然，一奇一偶，此时为偶数，显然，D正确. 故选：AD. 易错点2 有放回与无放回的概率计算 【例1】（24-25高一下·安徽·期末）（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 【答案】BCD 【分析】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可. 【详解】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为， 若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点， 其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 所以，，故A错误； 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故B正确； 若不放回抽取，则样本空间为 ，共含有20个样本点， 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故C正确； 因为事件有，其中包含14个样本点， 所以，故D正确. 故选：BCD 【变式2-1】（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（    ） A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 【答案】BD 【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断BCD. 【详解】对A，由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况， 所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对B，记2个红球分别为，3个白球分别为1，2，3， 不放回地从中取2个球的样本空间 共20种， 记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”， 则， 所以，故B正确； 对C，有放回地从中取2个球的样本空间 ，共25种； 记事件为“取出1个红球和1个白球”，则 ，共12种， 所以，故C错误； 对D，记事件为“取出2个白球”，则，共9种； 所以， 所以至少取出1个红球的概率为，故D正确. 故选：BD 【变式2-2】（多选）一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意分别求，，，方案一：直接求解即可；方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球；方案三：根据古典概型利用列举法求解． 【详解】方案一：“选到3号球”的概率， 方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球，则“选到3号球”的概率， 方案三：同时摸出两个球共有：共3个基本事件，“选到3号球”包含共2个基本事件，“选到3号球”的概率. ∴，，，，ABD正确，C错误. 故选：ABD. 方法1 比赛中的概率问题 【例1】（25-26高二上·湖北·期中）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据前4局甲乙各胜两局求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： 【变式1-1】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 【变式1-2】（24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 【答案】(1) (2) (3)队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得出的值； （2）对三局的输赢情况进行分类讨论，结合题意可求出、两队打平的概率； （3）设丁获胜的概率为，对队三位棋手的出场顺序进行分类讨论，求出每种情况下的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）因为队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 所以丁连胜两盘且其中第二盘必胜，即对乙必胜， 所以． 故． （2）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则. （3）设丁获胜的概率为． 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，则． 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则． 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘， 其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强， 连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大， 根据已知丙的实力最弱，故A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利． 方法2 概率的比较与最值 【例2】（24-25高一下·福建龙岩·期末）甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设“甲乙两人至少有一人全部答对”，得到两两互斥，且与相互独立，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）设“甲乙两人一共答对三道题”，得到，且，设，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：设“甲乙两人至少有一人全部答对”， 则两两互斥，与相互独立， 且，所以． 所以 ． （2）解：由题知，， 设“甲乙两人一共答对三道题”， 则 ． 因为，所以， 设，则在单调递增，单调递减， 所以当时，；当时，，所以， 所以，即，当且仅当时等号成立， 故甲乙两人一共答对三道题的概率最小值为． 【变式2-1】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，方案一即可表示为，方案二先考虑随机选取两门的概率为，再计算这两门都及格的概率即可. （2）为了比较概率大小，可作差与比较即可. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2） ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 【变式2-2】（24-25高三上·广东东莞·阶段检测）近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.如图，假设有四支队伍进入到半决赛，淘汰赛制下，将四支队伍两两分组比赛，胜者进入到总决赛，胜者即为冠军；双败赛制下，两两分组比赛，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，胜者即为冠军.双败赛制下有意思的事情是，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组. (1)若，在淘汰赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果分析双败赛制下，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)， (2)， (3)双败赛制下对强者更有利 【分析】（1）依题意根据互斥事件概率的加法公式计算即可得出结果； （2）根据赛制规则可分别求得A获得冠军的概率； （3）由表达式以及概率时可知双败赛制下对强者更有利. 【详解】（1）由题意得，若A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， 则A获得冠军的概率为， 若C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， 则C获得冠军的概率为. （2）淘汰赛制下，A获得冠军的概率为， “双败赛制”下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，A获得冠军的概率. （3）令， 若A为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $