23.4实际问题与一次函数 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.4实际问题与一次函数》自主学习同步练习题，聚焦一次函数应用，通过三级分层设计，实现从概念理解到综合建模的递进，发展抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数概念及简单应用|以生活情境题为主（如出租车计费、正比例函数图像），巩固函数表达式构建| |中档层|综合应用与数学建模|结合图表分析（销售利润表、行程图像），培养数据意识与运算能力| |提升层|几何与函数综合|设置动态几何问题（动点构成直角三角形、等腰三角形存在性），发展推理能力与空间观念|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.4实际问题与一次函数》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 3．在闭合电路中，某定值电阻两端的电压U（单位：V）是通过它的电流I（单位：A）的正比例函数，其图象如图所示，则当该电阻两端的电压为时，通过它的电流是（   ） A． B． C． D． 4．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶．该材料导热率K与温度T的关系如下表： 温度T/℃ 100 150 200 250 300 350 400 导热率K/[W/（m·K）] 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/（m·K），则温度为（    ） A． B． C． D． 5．一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图像上运动，当出现点与线段构造成为直角三角形时，就会发出警报，则点在一次函数的图像上运动一次会发出警报的次数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知直线经过点，且与直线交于点，当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回A地、拿到物品后以提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．乙的速度为 B．两人第一次相遇的时间是分钟 C．B点的坐标为 D．甲最终到达B地的时间是分钟 二、填空题 8．汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当时，y与x之间的关系式是________________． 9．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 10．某种商品的日销售量（单位：件）与上市时间（单位：天）之间的函数关系的图象如图所示．当销售到第____________天时，日销售量为30件． 11．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段为边在第一象限内作等腰，．则过B，C两点直线的函数表达式为________． 12．已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，甲骑摩托车，乙骑自行车．图中，分别表示甲、乙离开地的路程（单位：）与乙离开地的时间（单位：）的函数关系，则乙出发__________被甲追上． 13．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为________． 14．如图，直线分别交轴，轴的正半轴于B，A两点，直线过点且与直线交于点，与轴交于点． （1）______________． （2）平面直角坐标系中存在点F使得与全等，点F坐标为______________． 三、解答题 15．某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 16．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 17．清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 18．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且． (1)求直线的解析式； (2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值： (3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 通过待定系数法求出电压关于电流的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意，设电压关于电流的函数解析式为：， 由图象可知，代入得：， 解得：， ∴， 当，则 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了一次函数实际应用问题，认真分析表中数据，提取正确信息是求解本题的关键． 根据表格数据，导热率与温度呈线性关系，利用待定系数法求出函数解析式，令，求出函数值即可解决问题． 【详解】解：设 由题意得： 解得： ， 当时， 解得：. 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的定义，根据题意画出图形，然后分当时，当时，如图，当或时，三种情况即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为，点在直线上， ∴当时，，即时，， ∴； 当时，，即时，， ∴； 如图，当或时， ∴有两个点， 综上，有个点使为直角三角形，发出次警报， 故选：． 6．C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键． 根据两函数的交点坐标和函数的图象与轴的交点即可得出的范围． 【详解】解：观察图像， 当时，满足， 当时，满足， 当时，满足， 综上，可得当时，满足， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了函数图象，行程中的相遇问题，解一元一次方程，读懂函数图象并从图象中获取信息，分析运动过程是解答本题的关键和难点． 由线段水平可得，甲乙相距的路程不变，得出甲返回的速度和乙的速度相等，即乙的速度为甲先前速度的倍，假设甲先前的速度为，则乙的速度为，根据路程列出方程求出速度，然后再根据图象逐步进行判断即可． 【详解】解：A.由线段水平可得，甲乙相距的路程不变， ∴甲返回的速度和乙的速度相等，即乙的速度为甲先前速度的倍， 假设甲先前的速度为，则乙的速度为， 根据题意得， 解得， ∴乙的速度为， ∴该选项正确，不符合题意； B.由A.得，甲先前的速度为，前6分钟甲走的路程为， 甲返回地需要的时间为， ∴甲重新从地出发与乙相遇所需时间为， 甲乙相遇总共所用时间为， ∴该选项正确，不符合题意； C.线段为甲单独先走3分钟所形成的图象， 此时，甲乙相距的路程为， ∴B点的坐标为， ∴该选项正确，不符合题意； D. 甲最终到达B地的时间是， ∴该选项错误，符合题意； 故选：D． 8． 【分析】本题考查的是列函数关系式，掌握“剩余油量=原来油量耗油量”是解本题的关键． 根据平均耗油量，行驶公里消耗升油，剩余油量等于初始油量减去消耗油量． 【详解】解：油箱中原有汽油，平均耗油量为，则行驶后，消耗的汽油量为， 因此油箱中剩余油量，即，其中． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据表中数据确定销售量y与销售单价x成一次函数关系，再利用利润公式建立w与x的二次函数关系即可． 【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设， 将点和代入， 得， 解得， ∴， ∴日销售利润销售收入总成本 ． 故答案为：． 10．15或45 【分析】分上升阶段和下降阶段分别求出函数解析式，再代入求解对应的． 【详解】解：①当时： 图象过原点和，设解析式为， 代入得：​，解得， ∴解析式为． 令，则，解得（符合要求）． ②当时： 图象过和，设解析式为， 代入两点得： 解得： ∴解析式为． 令，则，解得（符合要求）． 综上，当销售到第​天或天时，日销售量为件． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分段一次函数的解析式求解与应用，解题关键是根据图象的不同阶段分别建立函数模型，再结合函数值求解自变量． 11． 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标；作轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】解：∵一次函数中， 令得：； 令，则，解得， ∴B的坐标是，A的坐标是， 如图，作轴于点D， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，，， 则C的坐标是． 设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， ∴直线的解析式是． 故答案为：． 12．1.8 【分析】先分别求出甲、乙对应的路程与时间的函数关系式，再联立方程求解相遇（甲追上乙）的时间． 【详解】解：由题意和图可知， 乙的速度为，∴乙的路程函数为． 甲在时出发，设甲的函数为， 代入点和， ， 解得：． ∴甲的路程函数为， 当甲追上乙时，，即：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（追及问题），解题关键是根据图像求出甲、乙的路程函数关系式，再联立方程求解追及时间． 13． 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题关键是作定点的两个对称点，根据两点之间线段最短求解．作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出 的直线方程，结合轴对称的性质可得当 ，，， 在同一直线上时，三角形周长最小，与 联立可求出的坐标即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接 ，作点关于轴的对称点，则，， 由题意知，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，， 令，得， 令，即，解得， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ，关于直线对称， ，， ，即 轴， ， 的周长， 根据两点之间线段最短可得，当 ，，， 在同一直线上时，三角形周长最小， 设直线的解析式为， 则 ，解得 ， 直线 的解析式为， 联立，解得， ． 故答案为：． 14． 4 ，，， 【分析】本题主要考查运用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，解方程组求出点D的坐标，再求出点B，C的坐标，根据可解答问题； （2）分点F与点D关于x轴对称、，点F与点D关于的垂直平分线对称三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得， 所以，直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； 对于，当时，， ∴； 对于，当时，， ∴, ∴, ∴； 故答案为：４； （2）与全等，有公共边,则有三种情况： ①，点F与点D关于x轴对称，则点F的坐标为； ②，有两种情况，如图，此时点F的坐标为、； ③点F与点D关于的垂直平分线对称，此时点F的坐标为， 综上，点F的坐标为，，． 故答案为：，，． 15．(1)A种单价6元，B种单价5元 (2)，最少费用为525元 【分析】（1）设A种笔记本单价为x元，B种为y元，根据购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元，列出方程组进行求解即可； （2）根据A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的列出不等式求出的取值范围，根据总费用等于购买两种笔记本的费用之和，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种笔记本单价为x元，B种为y元． 由题意，得， 解得； 答：A种单价6元，B种单价5元． （2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本， 由题意，解得 ， ∴W随m增大而增大， 故当时，W最小，为525元． 答：函数关系式为，最少费用为525元． 16．(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 17．(1)1 (2) (3)3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 18．(1)， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元 (2) (3)当健身6次时，选择方案一和方案二一样；当健身6次以上，选择方案一合算；当健身6次以下，选择方案二合算，理由见解析 【分析】（1）把点，代入，得到关于和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值； （3）根据的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再分情况讨论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，， ∴， 解得， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）解：由题意可得，打折前的每次健身费用为（元）， ∴ ； （3）解：由题意可知， ，， ∴， 解得 当健身6次时，选择方案一和方案二一样， 当健身6次以上，选择方案一合算， 当健身6次以下，选择方案二合算． 19．(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 20．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求得，根据得出，再待定系数法求解析式，即可； （2）分在的两侧分类讨论，当点在的右侧时，取点，连接，，根据，得出，得出直线的解析式为，进而令，求得点，即可求得平移距离；当点在的左侧时，同理取点，则，同理可得，即可求解； （3）联立直线解析式，得出，当在的左侧时，结合已知得出，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则 ，，求得直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴ ∵ ∴ 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为； （2）解：当点在的右侧时， 如图，取点，连接，， ∵，，，则 ∴ ∵ ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴， 当点在的左侧时，同理取点，则， 同理可得的解析式为， 当时，，则， ∴； 综上，或； （3）解：联立 解得： ∴ 设 如图，当在的左侧时， 由（1）可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 即 又∵ ∴ ∵ ∴，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则 ， ∴，则 ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ 综上所述，或 学科网（北京）股份有限公司 $