第5章 特殊平行四边形 （6知识详解+37典例分析）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学讲义以“定义-性质-判定”为主线系统构建特殊平行四边形知识体系，通过对比表格梳理矩形、菱形、正方形的边、角、对角线及对称性特征，结合转化关系图示呈现四边形内在联系，“敲黑板”模块突出重难点如矩形对角线分直角三角形等。 讲义亮点在于37个典例覆盖计算、证明、折叠、动点等题型，如“矩形折叠求线段长”培养几何直观，“中点四边形判定”强化推理意识，分层设计满足不同学生需求，知识点详解与题型分类助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学提升复习效率。

第5章 特殊平行四边形 （6知识详解+37典例分析） 【知识点01】矩形的定义及性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 两个条件缺一不可 示例 平行四边形与矩形的关系 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还具有一些特殊的性质，总结如下表： 文字语言 符号语言 图示 角 定理1：矩形的四个角都是直角。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，所以∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90∘。  对角线 定理2：矩形的对角线相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，所以𝐴𝐶=𝐵𝐷 。 对称性 轴对称图形 至少有两条对称轴：过每组对边中点的直线。 直线𝑚,𝑛是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴。 敲黑板 矩形的其他性质 （1）矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,如上表中图示：Rt△ADC≌Rt△CBA，Rt△ADB≌Rt△CBD 。 （2）矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等，如上表中图示： △AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC 。 【知识点02】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为∠𝐴𝐵𝐶=90°，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 判定定理1 三个角是直角的四边形是矩形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 对角线 判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为𝐴𝐶=𝐵𝐷 ,所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 【知识点03】菱形的定义及性质 1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还具有一些特殊的性质，总结如下表： 性质 符号语言 图示 边 定理1：菱形的四条边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷。  对角线 定理2：菱形的对角线互相垂直。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形,所以𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 。 对称性 轴对称图形 至少有两条对称轴：两条对角线所在的直线。 直线𝐴𝐶，𝐵𝐷 是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴。 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形。 菱形的面积=底× 高。 菱形的面积公式 菱形的对角线互相垂直。 菱形的面积= 两条对角线长的乘积的一半。 拓展： 对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线长的乘积的一半，如图，在四边形中， ，可得 。#1.3.1.1 【知识点04】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 定义法 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶 ，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 定理1 四边相等的四边形是菱形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷 ，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 对角线 定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 【知识点05】正方形的定义及判定 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 2.正方形的判定 正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，因此可分别从平行四边形、矩形、菱形出发，寻找判定正方形的方法，总结 如下表： 从平行四边形出发 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 有一组邻边相等，并且对角线相等的平行四边形是正方形。 有一个角是直角，并且对角线互相垂直的平行边形是正方形。 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 敲黑板 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【知识点06】正方形的性质 正方形既是菱形，又是矩形，因此它同时具有菱形、矩形的一切性质。具体如下表： 性质 符号语言 图示 边 定理1:正方形的四条边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴 。 角 定理1:正方形的四个角都是直角。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形,所以∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐷𝐴𝐵=90∘  。 对角线 定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形,所以𝐴𝐶=𝐵𝐷,𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑂𝐷 。 对称性 轴对称图形。 直线𝐴𝐶,𝐵𝐷，𝑚,𝑛 是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 的对称轴。 敲黑板 正方形的其他性质 （1）正方形的每条对角线都平分一组对角。 （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （3）周长相等的四边形中，正方形的面积最大。 辨析：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 _ ___ 矩形 _ ___________ 菱形_____________ 正方形___________ 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 都是中心对称图形 特性 轴对称图形 至少有2条对称轴 至少有2条对称轴 4条对称轴 【题型一】矩形性质理解 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，一发光电子开始位于边的P处，并规定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，现将发光电子沿方向发射，每次反射的反射角和入射角都等于，若发光电子与矩形的边经过次碰撞后，它与边的碰撞次数为________________．    【答案】 【知识点】点坐标规律探索、矩形性质理解 【分析】根据题意得，每6次反弹为一个循环依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环与边的碰撞有2次，则，可得发光电子与矩形的边经过次碰到矩形边时为第个循环组的第1次反弹，即可得． 【详解】解：如图所示，    根据题意得，每6次反弹为一个循环依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环与边的碰撞有2次， ∵， ∴发光电子与矩形的边经过次碰到矩形边时为第个循环组的第1次反弹， ∴它与边的碰撞次数为：（次）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，点的坐标的规律，解题的关键是能够根据题意和所给图形得出每6次反弹为一个循环依次循环． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图的网格中，每个小正方形的边长均为．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画的最后结果中的线用实线表示）． (1)请在图中画出线段的中点． (2)请把图中的四边形改成一个以为底边，面积不变的梯形． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析．（答案不唯一） 【知识点】矩形性质理解 【分析】（）取格点，连接，与相交于点，由矩形的性质可得点为的中点； （）利用割补法可得，利用矩形的性质取点，再取格点，可得，根据梯形的面积计算公式解得，即四边形即为所求； 本题考查了矩形的性质，梯形的面积，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 【题型二】利用矩形的性质求角度 3．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形的性质得出，，，推出，根据等边对等角得出，再根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的外角，等边对等角，正确理解题意是解题的关键． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形和等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：在矩形中，, ∴, ∵， ∴， ∴， 【题型三】根据矩形的性质求线段长 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，交于点，点在上，连结交于点，且．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．连接交于点O，连接，令交于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得，设，，则，解方程求出x的值，即可求出的值． 【详解】解：连接交于点O，连接，令交于点M， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，，，保持长方形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是长方形面积的，则的长度为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】由面积关系可求，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型四】根据矩形的性质求面积 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．10 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，作辅助线构造矩形是解题的关键． 先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两个三角形的面积相等，根据三角形面积的和差进行求解即可． 【详解】解：作于点，交于点，如图所示： 又∵， 则四边形，，，都是矩形， ，，，，，， ，， ， ， ∴， 故选：A． 8．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，用长为米的铝合金制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米，则的长是______米．（用含，的代数式表示）    【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】设，根据矩形，矩形，矩形的面积均相等，得出，再根据窗户框的总长为米，得出，从而表示出的长． 【详解】解：设， 矩形，矩形，矩形的面积均相等，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，列代数式，关键是根据矩形面积公式表示出的长． 【题型五】利用矩形的性质证明 9．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，矩形中，若于，则与的度数比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，根据矩形性质得到，根据垂直得到，利用三角形内角和表示出，即可求出结果． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 则与的度数比为， 故选：C． 10．如图，点为矩形内一点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，根据等腰三角形的性质求出，根据矩形的性质求出，求出，根据推出即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ， ． 在与中， ， ， ． 【题型六】求矩形在坐标系中的坐标 11．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，矩形中，若的坐标为，则________． 【答案】 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】连接OB，过B作BM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接OB，过B作BM⊥x轴于M． ∵点的坐标是， ∴，，由勾股定理得：， ∵四边形OABC是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键． 12．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m和k的值； (2)若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t的值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②或；③是， 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是利用函数图象上点的坐标特征、矩形性质，结合方程与代数运算求解． （1）将点坐标代入直线解析式求，再把坐标代入直线解析式求． （2）①利用直线解析式和点横坐标求坐标，依据轴及直线解析式求坐标．②先求坐标，得出的绝对值表达式，结合列方程求解．③根据矩形性质确定坐标，设直线解析式，代入和坐标列方程组，求解得直线解析式，判断所在直线． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴． 把代入，得 ， ∴． （2）解：①轴，轴，且， 直线，当时，， ， 直线，当时，， ， ， ，． 故答案为：，． ②直线：，当时，， ， ， ， ， 解得或， 的值为或． ③作直线， 设直线的解析式为， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 顶点始终落在一条固定的直线上，这条直线的解析式为． 【题型七】矩形与折叠问题 13．（25-26八年级·浙江丽水·期末）如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 14．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)①；②的面积 (2)的长为或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【题型八】证明四边形是矩形 15．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，明明错误 B．嘉嘉错误，明明正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的判定等知识，根据作图步骤和矩形的判定分别进行证明即可. 【详解】解：两人都正确，理由如下： 嘉嘉：由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形，故嘉嘉的作图正确； 明明：由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形，故明明的作图正确； 故选：C 16．已知：如图，是矩形的两条对角线，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明 【分析】根据矩形的性质可得，再由，可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明∶∵是矩形的两条对角线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质和判定是解题的关键． 【题型九】矩形的判定定理理解 17．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断是矩形的理论依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 18．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面______．（填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【知识点】矩形的判定定理理解、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格． 【详解】解：不合格， 理由：∵802+1002=16400≠1302， 即：AB2+BC2≠AC2， ∴∠B≠90°， ∴四边形ABCD不是矩形， ∴这个桌面不合格． 故答案为：不合格． 【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 【题型十】添一条件使四边形是矩形 19．（22-23八年级下·浙江衢州·期末）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在中，对角线，相交于点O，下列验收方法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定定理，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，若，则是矩形，A不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，∵，∴，∴是矩形，B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，若，则是矩形，C不符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，故根据不能判定是矩形，D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 【答案】（或或等） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加， 为矩形； 添加， ， 为矩形； 添加， ， 为矩形． 故答案为：（或或） 【题型十一】根据矩形的性质与判定求线段长 21．（2024八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，连接，根据矩形的性质得到，当最小时，最小，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当最小时，最小， 当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， 故选：B． 22．（24-25八年级·浙江温州·期末）如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识．准确识图，构造辅助线，利用矩形的性质是解决问题的关键．过点D作于点M，证明四边形是矩形得，，进而得，在中，由勾股定理得，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长． 【详解】解：过点D作于点M，如图所示： ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为a， 则， 根据拼图可知：， ， ， ， ， ∴所拼成的正方形的边长为． 故答案为：． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求面积 23．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】8 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 24．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE=15°，求∠DOE； （3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）135°；（3） 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可； （2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出△DCE是等腰直角三角形，进而得出△OCD是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠COD+∠COE即可求解； （3）作OF⊥BC于F，首先根据三角形中位线的性质得出OF=1，然后利用勾股定理求出BC的长度，进而得出BE的长度，最后利用面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵ADBC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形． （2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD， ∴OD=OC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE=45°， ∴△DCE是等腰直角三角形， ∴∠DEC=45°，CD=CE， ∵∠BDE=15°， ∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°， ∴∠BDC=60°，又OD=OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°， ∴∠OCE=30°， ∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°， ∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°； （3）作OF⊥BC于F． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD， ∴AO=BO=CO=DO， ∴BF=FC， ∴OF=CD=1， ∵EC=CD=AB=2， ∴AC=BD=4， ∴BC==， ∴BE=BC-CE=-2， ∴△BOE的面积= ． 【点睛】本题主要考查四边形综合，掌握矩形的判定及性质，等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 【题型十三】利用菱形的性质求角度 25．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及平角和为，由菱形的性质表示出各个角并由平角列式是解决本题的关键． 由菱形的性质可表示出与，再由可得，根据为平角列式即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， 即， 整理可得． 故选：A ． 26．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________． 【答案】/72度 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】由将菱形沿折叠，点的对应点，，得，得，由，得，得，，得，即可得．本题主要考查了图形的折叠，菱形的性质，解题关键是正确应用折叠的性质． 【详解】解：将菱形沿折叠，点的对应点，， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【题型十四】利用菱形的性质求线段长 27．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长 【分析】设交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，求出，，进而求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 四边形为菱形， ，，，，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 28．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题． (1)在图①中，求的长； (2)在图①中，作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）； (3)在图②中，作一个面积为3的菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况） 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）根据菱形的判定作出图形； （3）作一个对角线分别为，的菱形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：如图①中，菱形即为所求； （3）解：如图②中，菱形即为所求． 【题型十五】利用菱形的性质求面积 29．（2024八年级下·浙江·专题练习）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握：菱形的面积公式是两条对角线的长度乘积的一半．据此列式解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积为：． 故选：B． 30．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【详解】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到关于x的方程，掌握菱形的面积公式：菱形面积（a、b是两条对角线的长度）． 根据题意设，，由菱形的性质推出，，，，由等角对等边推出，从而得到，求出，得到，，，由勾股定理求出，得到，，，于是得到菱形的面积． 【解答】解：∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【题型十六】利用菱形的性质证明 31．如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（    ） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质等知识点，把点P从点B出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 【详解】∵，故菱形由两个等边三角形组合而成， 当点P与点B重合时，此时为等腰三角形，①符合， 当时，此时为直角三角形，③符合； 当点P到达点C处时，此时为等边三角形，②符合； 当P为中点时，为直角三角形，③符合； 故选：A． 32．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在菱形中，点P是边上的点，连接交对角线于点E，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）设，由全等三角形的性质可得，证明出，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∵是的一个外角，， ∴， ∴， ， ∴． 【题型十七】证明四边形是菱形 33．（2023八年级下·浙江·专题练习）在下列条件中，能够判定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】判定平行四边形为菱形，只需满足一组邻边相等，或对角线相互垂直，据此分析选项． 【详解】能够判定为菱形的是，理由如下： ∵四边形是平行四边形，， ∴为菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理是解题的关键． 34．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，点P在的平分线上，交于点B． 任务：用尺规在射线上确定一点C，使得四边形是菱形． 小江：如图2，以点A为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小北：以点P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小江：小北，我认为你的作法有问题哦， 小北：是吗？让我想想……哦！我明白了． (1)证明：小江所作的四边形是菱形． (2)请指出小北作法中存在的问题，并说明理由， 【答案】(1)证明见解析 (2)存在的问题及理由见解析 【知识点】证明四边形是菱形、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】此题考查了菱形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． （1）由角平分线和平行线得到，推出，然后结合，得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据以P为圆心为半径作弧，与可能会有两个交点即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由作法可知， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：以P为圆心为半径作弧，与可能会有两个交点，其中只有一个是菱形而另一个，不满足要求． 【题型十八】添一个条件使四边形是菱形 35．如图，在中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据四边形是平行四边形，，即可得四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 36．（2024八年级下·浙江·期中）直角梯形中，，，，，点E是一腰的中点，的延长线与的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接、，当______时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2，理由见解析 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据推出即可； （2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）证明：， ， 又，， ， ． （2）当时，四边形是菱形， 理由如下：由（1）知：，， 四边形是平行四边形， ，， 当时，， 是菱形． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查对直角梯形的性质，平行线的性质，勾股定理，菱形的判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 【题型十九】根据菱形的性质与判定求角度 37．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（    ） A．60°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．75°或15° 【答案】D 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、折叠问题 【分析】根据翻折的性质和菱形的性质可得答案． 【详解】解：为了得到一个锐角为的菱形， 菱形的内角度数为或， 根据菱形的对角线平分每一组对角得，或， 故选：D． 【点睛】本题考查了剪纸问题，翻折的性质，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分每一组对角． 38．（2024八年级下·浙江宁波·期末）已知：如图，在四边形中，．点在对角线上，且， （1）求证：； （2）连接，交于点，若，四边形周长为，求的大小． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由平行线的性质得出，根据即可证明； （2）证明四边形是菱形．由勾股定理求出，由直角三角形的性质可得出的度数，则可得出答案． 【详解】解：证明：（1）， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． ，， 四边形周长为16， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是证明和四边形为菱形． 【题型二十】根据菱形的性质与判定求线段长 39．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，等积变换等；连接、，由平行四边形的性质得，由菱形的判定方法得四边形是菱形，菱形的性质及三角形的面积得，，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意连接辅助线构建两个等积三角形是解题的关键. 【详解】解：如图，连接、， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B. 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，有两张矩形纸片和，，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角最小时重叠部分的面积等于________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 设交于，由“”可证，可证，㑡可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，由勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可得出答案． 【详解】解；设交于，如图所示： ∵四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ， ∵将两纸片按如图所示叠放，使点与点里合，且重叠部分为平行四边形， ∴当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小， ， 设则， ， ， 解得：， ， ∴重叠部分的面积， 故答案为：． 【题型二十一】根据菱形的性质与判定求面积 41．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，由题意可证明四边形是菱形，则，，由勾股定理可得，据此根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：由作图方法可知， ∴四边形是菱形， 如图所示，连接交于O，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，矩形中，E为边上任意一点，连接，F为线段的中点，过点F作，与分别相交于点M,N，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10.2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明，再证明其为平行四边形，再根据对角线垂直得到为菱形； （2）设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴． ∵F为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理， 得， ∴， 解得，即 ∴． 【题型二十二】中点四边形 43．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（    ） A．矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】C 【知识点】中点四边形 【分析】据已知条件可以得出要使四边形EFGH为菱形，应使EH＝EF＝FG＝HG，根据三角形中位线的性质可以求出四边形ABCD应具备的条件． 【详解】解：连接AC，BD， ∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形， ∴EF＝FG＝GH＝EH， ∵FG＝EH＝DB，HG＝EF＝AC， ∴要使EH＝EF＝FG＝HG， ∴BD＝AC， ∴四边形ABCD应具备的条件是BD＝AC， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，正确运用菱形的判定定理是解决问题的关键． 44．（2025八年级下·浙江·期中）在四边形中，的中点分别为P、Q、M、M； （1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论； （2）若在上取一点E，连结，，恰好和都是等边三角形（如图2）： ①判断此时四边形的形状，并证明你的结论； ②当，，求此时四边形的周长（结果保留根号）． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）①菱形，证明见解析；② 【知识点】中点四边形 【分析】（1）连接、．利用三角形中位线定理判定四边形的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形； （2）①设的边长是，的边长是，由于，，可得平行四边形的对角线相等，从而得出平行四边形是菱形； ②如图2，过点作于，则通过解三角形求得，由勾股定理得到．由①知四边形是菱形，可计算得周长是． 【详解】解：（1）如图1，连接、． 为的中位线， 且， 同理且． 且， 四边形为平行四边形； （2）①四边形是菱形， 如图2，连接AC，BD， ∵△ADE和△BCE都是等边三角形， ∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°， ∴∠AEC=∠DEB， ∴△AEC≌△DEB， ∴AC=BD， ∵点M，N是AD，CD的中点， ∴MN是△ADC的中位线， ∴MN=AC， 同理：PN=BD， ∴MN=PN， 由（1）知，四边形PQMN是平行四边形， ∴平行四边形PQMN是菱形； ②过点作于，则， 又， ， 由①知四边形是菱形，可计算得周长是． 【点睛】本题考查了中点四边形以及菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题时，利用了三角形中位线的性质定理． 【题型二十三】证明四边形是正方形 45．（22-23八年级下·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形． 甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形； 乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形． 下列判断正确的是（    ）    A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】D 【知识点】证明四边形是正方形、折叠问题 【分析】利用折叠的性质和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案． 【详解】解∶①按照图①折叠，可得四边形的四边相等，原四边形是菱形或正方形； ②按照图②折叠，可得四边形的四个角相等，不能得四条边相等，原四边形是矩形； 故选∶ D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形、矩形、正方形的判定等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 46．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为一边，画一个矩形． (2)在图②中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查作图——应用与设计作图、正方形和矩形的判定与性质： （1）根据矩形的性质按要求作图即可． （2）利用网格，结合勾股定理作边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：如图①，矩形即为所求． （2）解：如图②，正方形即为所求． 【题型二十四】正方形的判定定理理解 47．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（    ） A．一定是矩形，但不一定是正方形 B．一定是菱形 C．一定是平行四边形，但不可能是矩形 D．一定是正方形 【答案】A 【知识点】矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知矩形的判定定理和正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的对角线与相等且互相平分， ∴该四边形一定是矩形，但不一定是正方形， 故选：A． 48．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，线段的端点均在格点上，完成下列画图（要求：仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）． (1)在图①中画出一个以为边的平行四边形，使这个平行四边形的另两个顶点均在格点上，且面积为6 (2)在图②中画出一个以为边的正方形，使这个正方形的另两个顶点均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正方形的判定定理理解、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可； （2）根据正方形的判定画出图形即可． 【详解】（1）如图，平行四边形ABCD即为所求； （2）如图，正方形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型二十五】添一个条件使四边形是正方形 49．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是________．    【答案】有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据菱形的判定即可求解． 【详解】解：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形， 故答案为：有一个内角为90度或对角线相等，答案不唯一． 【点睛】本题考查了正方形的判定,熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 50．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形中，，E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)当四边形满足______（添一个条件）时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）由三角形中位线定理可证明，再由，可证明，据此可证明结论； （2）由三角形中位线定理得到，当时，，则菱形为正方形． 【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：当四边形满足时，四边形为正方形，理由如下： 由（1）可得分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 【题型二十六】正方形性质理解 51．（23-24八年级下·浙江台州·期末）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是矩形；③它是正方形．下列推理过程正确的是（    ） A．由①推出②，由②推出③ B．由②推出①，由②推出③ C．由①推出②，由③推出② D．由②推出①，由③推出② 【答案】D 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质，直接利用矩形，正方形的性质可得答案； 【详解】解：根据正方形特点由③可以推理出②①，再由矩形的性质根据②推出①， 故选D． 52．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在小正方形网格中，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图． (1)在图1中，过点作的平行线，使得： (2)在图2中，找出格点，，画出正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、正方形性质理解 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，无刻度直尺作图； （1）作平行四边形，即可求解． （2）作正方形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，正方形即为所求 【题型二十七】根据正方形的性质求角度 53．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BED等于（    ） A．30° B．37.5° C．45° D．50° 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB=AD=AE，∠BAE=150°，可求∠BEA=15°，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°， ∴∠BAE=150°，AB=AE， ∴∠AEB=15°， ∴∠BED=45°． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 54．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是___． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据正方形的性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，四边形内角和，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：①当与的夹角是时，即，利用四边形内角和求解即可；②当与的夹角是时，即，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：点为对角线上一点， 线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图所示： ， ， ， 在四边形中，， ， ； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 【题型二十八】根据正方形的性质求线段长 55．（25-26八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 56．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，正方形纸片的边长为4． (1)请用三角板根据以下要求画图； ①分别取的中点，连接． ②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形（无缝隙无重叠），并画出其示意图． (2)求（1）所拼成的等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】本题考查了正方形的性质、中点的概念、勾股定理以及图形的剪拼，解题的关键是熟练运用正方形的边长与中点性质计算线段长度，以及掌握图形剪拼的技巧确定等腰三角形的边长组成． （1）①确定中点位置，连线即可；②通过拼接使图形组合成等腰三角形． （2）计算拼接后等腰三角形三边的长度，再求和得到周长． 【详解】（1）①画图步骤：使用三角板分别找到正方形的边的中点，然后用三角板的直尺边依次连接E与F、F与G．（如图1） ②剪拼示意图：将剪下的、五边形、 这 3 块图形进行拼接，可得到一个等腰三角形（如图2）． （2）如下图， ∵正方形纸片的边长为4，点分别为的中点， ∴， ∵，所以， ∵由剪拼所得， ∴． 同理可得． 所以等腰三角形的周长为． 【题型二十九】根据正方形的性质求面积 57．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得小正方形的边长为2，再由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点，可得，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵小正方形面积为4， ∴， ∵四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：D． 58．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质和勾股定理列出方程，根据整体思想求出答案即可． 【详解】设正方形的边长为x，根据正方形的性质和勾股定理，得 ， 则． 所以正方形的面积是． 故答案为：． 【题型三十】正方形折叠问题 59．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，在中，是边上的中线，将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则与的应满足怎样的关系（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解、正方形折叠问题 【分析】由折叠的性质和正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得且，即可求解． 【详解】解：将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形， ，， 又是边上的中线， ，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 60．（22-23八年级下·浙江舟山·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．    动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T． 探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 探究②直接写出四边形面积的最小值． 【答案】（1）正方形，证明见解析；（2）；（3）①不变，定值是12；② 【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、正方形折叠问题 【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论； （2）连接，由折叠的性质可得是等边三角形，，求出，由三角形面积公式可求出； （3）①连接，，过点B作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；②过点H作，连接，设，，由勾股定理求出，由四边形面积公式可得出，由配方法可求出答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由第一步折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）连接，    由折叠得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 设则， 由勾股定理得， ∴ 解得，（负值舍去） ∴ 由折叠得，, ∴； （3）①的周长不变，为定值12．理由如下： 如图，连接，，过点A作于点M，    由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长， ∴的周长为12． ②过点H作，连接，设，，    在中，， 解得， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，四边形是正方形， ∴, ∴， ∴当时，S有最小值为． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，配方法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【题型三十一】根据正方形的性质证明 61．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，是正方形的对角线，点E是上一点，连结，分别过点A和C作的垂线，垂足分别为G和F，与交于点H，O是的中点，连结，，有下列结论：①当时，；②平分．关于这两个结论，下列说法正确的是（    ）    A．①②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①②都错 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解决问题的关键． 证明，可得，再由勾股定理可判断①；延长交于点N，证明，可得，从而得到，可判断②． 【详解】解：∵是正方形的对角线，O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴，故①正确； 延长交于点N，如图，    ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴平分，故②正确． 故选：A 62．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在正方形的对角线上取点，是边上一点（不与点B、C重合），连接，，，若，则的大小为 ________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了正方形的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理的应用．根据题意得，进而可得，则，进而根据邻补角和四边形内角和定理，求解即可． 【详解】解：∵点在正方形的对角线上， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三十二】根据正方形的性质与判定求线段长 63．（2024八年级下·浙江台州·月考）正方形与正方形按如图方式放置，点，，在同一直线上，已知，，连接并取中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】先根据正方形的性质求出BF=2，AB=AD=CD=BC=3，延长AM交BC于H点，根据正方形与中点的性质证明△ADM≌△HFM，得到BH的长，根据勾股定理求出AH，故可求出AM的长． 【详解】延长AM交BC于H点，∵四边形与四边形都是正方形，，， ∴BF=，AB=AD=CD=BC=3， ∵点，，在同一直线上， ∴ADCF ∴∠DAM=∠FHM，∠ADM=∠HFM， 又是DF中点，DM=FM ∴△ADM≌△HFM ∴AD=FH=3，AM=HM=AH ∴BH=FH-BF=1 在Rt△ABH中，AH= ∴AM=AH= 故选A． 【点睛】此题主要考查正方形的性质综合，解题的关键是熟知正方形的性质、全等三角形的判定与勾股定理的应用． 64．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知矩形和正方形共用对角线，与交于点，与交于点，若正方形的面积比矩形的面积大，的周长与的周长之和是，则的长是______． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，四边形的面积，勾股定理等知识，如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，设，，证明四边形是矩形，，则，，再根据已知的面积和周长的关系列等式即可解答，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， 设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形的面积比矩形的面积大， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长与的周长之和是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三十三】根据正方形的性质与判定求面积 65．（24-25八年级下·浙江温州·期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据正方形的性质与判定求面积、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先证明，可得，从而得到四边形是正方形，设，则，再由，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意得，，， ， 四边形为正方形， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， 四边形为菱形， ∵A、E、G三点共线，即，，和，，和，，也在同一条直线上， ， ， 菱形为正方形，则， 设，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 66．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm，要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠），图1和图2是两种不同裁法的示意图． (1)求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； (2)分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； (3)这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？ 【答案】(1)图1裁法最多能得到2条长方形纸条；图2裁法最多能得到3条长方形纸条； (2)图1裁法得到长方形纸条的总长度：（80﹣30）cm；图2裁法得到长方形纸条的总长度：30（cm）； (3)12.5（cm2） 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图3，过点C作CD⊥AB于D，利用CD的长÷5可得如图1裁法最多能得到的长方形纸条的条数，利用AC的长÷5可得如图2裁法最多能得到的长方形纸条的条数； （2）根据等腰直角三角形的性质分别计算如图1和如图2中长方形纸条的总长度； （3）因为四边形EFGH是正方形，所以它的面积为边长的平方，所以比较两种裁法的边长即可，根据两种裁法的总长可得如图4中的PG的长，最后计算FG的长即可解答． 【详解】（1）如图3，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝BC＝20，∠ACB＝90°， ∴AB＝AC＝×20＝40cm， ∴CD＝AB＝20cm， ＝＝2，且2＜2＜3， ∴如图1裁法最多能得到2条长方形纸条； 20÷5＝4， ∴如图2裁法最多能得到3条长方形纸条； （2）如图1， ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴EF＝AF＝5cm， ∴EQ＝40﹣5﹣5＝（40﹣10）cm， 同理得：DP＝40﹣10﹣10＝（40﹣20）cm， ∴如图1裁法得到长方形纸条的总长度＝EQ+DP＝40﹣10+40﹣20＝（80﹣30）cm； 如图2， 同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE＝5cm， ∴PD＝20﹣5＝15cm，QG＝15﹣5＝10cm， ∴如图2裁法得到长方形纸条的总长度＝15+10+5＝30（cm）； （3）如图4， 如图1裁法：PG＝＝（20﹣）cm， FG＝PG﹣PF＝20﹣﹣5＝（20﹣）cm， 如图2裁法：PG＝＝cm， FG＝PG﹣PF＝﹣5＝cm， ∵20﹣＜， ∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为＝12.5（cm2）． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，正方形及矩形的性质等知识，要仔细观察图形，掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 【题型三十四】根据正方形的性质与判定证明 67．（2025八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知四边形是正方形，点为对角线上一点，连结，过点作，交延长线上于点，以，为邻边作矩形，连结．若，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】如图：作出辅助线后，根据各角之间的关系，可得，得到，所以矩形DEFG为正方形，再根据各角间关系，证明，得到，运用等量代换求即为求AC，运用勾股定理，求出AC即为答案． 【详解】解：如图，作EK⊥BC于点K，EP⊥DC于点P， ∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形DEFG为正方形， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等，作出辅助线及连续运用两次三角形全等是解题关键． 68．（24-25八年级下·浙江台州·阶段检测）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)的长为___________，___________度； (2)如图，当点在线段的延长线上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，求正方形的边长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①答案见解答过程；② (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据正方形性质得，在中由勾股定理可求出的长； （2）①过点作于与点N，则四边形为正方形，再证明和全等，得出，进而即可得出结论； ②连接，先证明和全等得，则，，由此可得的长； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况：①当时，此时点在线段上，则，过点作于，交的延长线于，同（2）①可证四边形为正方形，继而再证明和全等得，由此可得的度数；②当时，此时点在的延长线上，则，过点作于，交的延长线于，同理得，由此可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， 在 中， 由勾股定理得：， 故答案为：． （2）解：①过点作于于点，如图1所示： 则四边形为矩形， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴矩形为正方形， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴矩形是正方形； ②连接，如图2所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得：， 在 中，由勾股定理得：， ， ， 即正方形的边长是． （3）解：当线段与正方形的某条边的夹角是时， 有以下两种情况：①当时，此时点在线段上， ， 过点作于，交的延长线于，如图3所示： 则四边形为矩形， 同（2）①可证四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ②当时，此时点在的延长线上， 过点作于，交的延长线于，如图4所示： 由（2）①可知：四边形为正方形， 同理可证：， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等，熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造正方形、矩形、全等三角形是解决问题的难点，分类讨论是易错点． 【题型三十五】（特殊）平行四边形的动点问题 69．（2024八年级下·浙江杭州·期末）如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH的长． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=， ∵菱形的边长为10，即AB=BC=10， 设BH=x，则AH=10+x， 则， 即， 解得：x=6， ∴AH=16， ∴CH==8， 当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 70．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且；②； (2)，，，，为整数且． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、（特殊）平行四边形的动点问题、列代数式、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）①分别找到，和，的周期以及，，，共同的周期即可求解；②找到当时，，，此时的位置，计算，的值即可求解； （2）找到，，，的周期，画出一个周期内，的距离，根据周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值即可． 【详解】（1）解：①因为，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为， 又因为， 所以点，，，恰好同时回到初始位置的时间，为整数且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， 所以； （2）因为以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， 所以为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在同一直角坐标系中画出图象， 由图可得，在一个周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得，由，，解得， 再由对称性，得，， 所以的所有可能取值是，，，，为整数且． 【题型三十六】四边形中的线段最值问题 71．（2025八年级下·浙江·期中）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（    ） A．5 B．10 C． D．8 【答案】A 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】过点C作，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，当时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为4，即CH=4，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点C作，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=， 当时，PQ有最小值，即直线与直线的距离为， ， ， ， ， , 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 72．（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，，平分，平分，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且，若，，则的最小值为 __． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】先根据平分，平分，证明四边形是菱形．在上取点，使，连接，作点关于的对称点，连接、． 作于点，作于点，则，得出，所以，当、、三点在同一直线上时，取最小值为．再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：平分，平分， ∴，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 如图．在上取点，使，连接，作点关于的对称点，连接、． 作于点，作于点． ， ，，， ， ， ， 当、、三点在同一直线上时，取最小值为． ，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段之和最小值问题，作辅助线推出是解题的关键． 【题型三十七】四边形其他综合问题 73．（22-23八年级下·浙江温州·月考）如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长、四边形其他综合问题 【分析】证明四边形是菱形，根据矩形的面积为288，得出，根据，设，则，得出，求出，负值舍去，得出，，根据勾股定理得出，得出，求出菱形的周长即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵矩形， ∴ ∵分别是边的三等分点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∴， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形 ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ，即， 同理可证， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵矩形的面积为288， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 即阴影部分的周长为20． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质的应用，菱形的周长，熟练掌握平行四边形的特殊平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 74．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，，是对角线上的点（不与点，重合），且． (1)如图1，若， ①四边形的面积为 　　； ②若四边形为菱形，求长． (2)如图2，过点作的垂线交，于点，，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并证明． 【答案】(1)①8；②； (2)，，证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质求面积、根据正方形的性质证明、四边形其他综合问题 【分析】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键． （1）①根据四边形的面积是正方形面积的一半得出结论即可； ②设和的交点为，根据四边形为菱形，得出和的长，然后根据勾股定理求出的长度即可； （2）设和的交点为，根据证，然后得出，即可． 【详解】（1）①四边形是正方形， 与垂直平分， ， 四边形的面积是正方形面积的一半， 四边形的面积为， 故答案为：8； ②设和的交点为， 四边形为菱形，，， ，， 在中， 由勾股定理得； （2），，证明如下： 设和的交点为， 四边形是正方形，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 特殊平行四边形 （6知识详解+37典例分析） 【知识点01】矩形的定义及性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 两个条件缺一不可 示例 平行四边形与矩形的关系 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还具有一些特殊的性质，总结如下表： 文字语言 符号语言 图示 角 定理1：矩形的四个角都是直角。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，所以∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90∘。  对角线 定理2：矩形的对角线相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，所以𝐴𝐶=𝐵𝐷 。 对称性 轴对称图形 至少有两条对称轴：过每组对边中点的直线。 直线𝑚,𝑛是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴。 敲黑板 矩形的其他性质 （1）矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,如上表中图示：Rt△ADC≌Rt△CBA，Rt△ADB≌Rt△CBD 。 （2）矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等，如上表中图示： △AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC 。 【知识点02】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为∠𝐴𝐵𝐶=90°，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 判定定理1 三个角是直角的四边形是矩形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 对角线 判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为𝐴𝐶=𝐵𝐷 ,所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形。 【知识点03】菱形的定义及性质 1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还具有一些特殊的性质，总结如下表： 性质 符号语言 图示 边 定理1：菱形的四条边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷。  对角线 定理2：菱形的对角线互相垂直。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形,所以𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 。 对称性 轴对称图形 至少有两条对称轴：两条对角线所在的直线。 直线𝐴𝐶，𝐵𝐷 是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴。 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形。 菱形的面积=底× 高。 菱形的面积公式 菱形的对角线互相垂直。 菱形的面积= 两条对角线长的乘积的一半。 拓展： 对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线长的乘积的一半，如图，在四边形中， ，可得 。#1.3.1.1 【知识点04】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 定义法 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶 ，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 定理1 四边相等的四边形是菱形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷 ，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 对角线 定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 【知识点05】正方形的定义及判定 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 2.正方形的判定 正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，因此可分别从平行四边形、矩形、菱形出发，寻找判定正方形的方法，总结 如下表： 从平行四边形出发 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 有一组邻边相等，并且对角线相等的平行四边形是正方形。 有一个角是直角，并且对角线互相垂直的平行边形是正方形。 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 敲黑板 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【知识点06】正方形的性质 正方形既是菱形，又是矩形，因此它同时具有菱形、矩形的一切性质。具体如下表： 性质 符号语言 图示 边 定理1:正方形的四条边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴 。 角 定理1:正方形的四个角都是直角。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形,所以∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐷𝐴𝐵=90∘  。 对角线 定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形,所以𝐴𝐶=𝐵𝐷,𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑂𝐷 。 对称性 轴对称图形。 直线𝐴𝐶,𝐵𝐷，𝑚,𝑛 是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 的对称轴。 敲黑板 正方形的其他性质 （1）正方形的每条对角线都平分一组对角。 （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （3）周长相等的四边形中，正方形的面积最大。 辨析：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 _ ___ 矩形 _ ___________ 菱形_____________ 正方形___________ 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 都是中心对称图形 特性 轴对称图形 至少有2条对称轴 至少有2条对称轴 4条对称轴 【题型一】矩形性质理解 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，一发光电子开始位于边的P处，并规定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，现将发光电子沿方向发射，每次反射的反射角和入射角都等于，若发光电子与矩形的边经过次碰撞后，它与边的碰撞次数为________________．    2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图的网格中，每个小正方形的边长均为．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画的最后结果中的线用实线表示）． (1)请在图中画出线段的中点． (2)请把图中的四边形改成一个以为底边，面积不变的梯形． 【题型二】利用矩形的性质求角度 3．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，交于点，点在上，连结交于点，且．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C． D． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，，，保持长方形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是长方形面积的，则的长度为________． 【题型四】根据矩形的性质求面积 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，为矩形对角线上的一点，过点作，分别交、于点、，若，，的面积为，的面积为，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．10 8．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，用长为米的铝合金制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米，则的长是______米．（用含，的代数式表示）    【题型五】利用矩形的性质证明 9．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，矩形中，若于，则与的度数比为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点为矩形内一点，连接，若，求证：． 【题型六】求矩形在坐标系中的坐标 11．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，矩形中，若的坐标为，则________． 12．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m和k的值； (2)若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t的值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【题型七】矩形与折叠问题 13．（25-26八年级·浙江丽水·期末）如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 14．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【题型八】证明四边形是矩形 15．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，明明错误 B．嘉嘉错误，明明正确 C．两人都正确 D．两人都错误 16．已知：如图，是矩形的两条对角线，．求证：四边形是矩形． 【题型九】矩形的判定定理理解 17．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 18．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面______．（填“合格”或“不合格”） 【题型十】添一条件使四边形是矩形 19．（22-23八年级下·浙江衢州·期末）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在中，对角线，相交于点O，下列验收方法错误的是（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 【题型十一】根据矩形的性质与判定求线段长 21．（2024八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 22．（24-25八年级·浙江温州·期末）如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为______． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求面积 23．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 24．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE=15°，求∠DOE； （3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积． 【题型十三】利用菱形的性质求角度 25．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________． 【题型十四】利用菱形的性质求线段长 27．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题． (1)在图①中，求的长； (2)在图①中，作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）； (3)在图②中，作一个面积为3的菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况） 【题型十五】利用菱形的性质求面积 29．（2024八年级下·浙江·专题练习）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（    ）    A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为_______． 【题型十六】利用菱形的性质证明 31．如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（    ） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 32．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在菱形中，点P是边上的点，连接交对角线于点E，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【题型十七】证明四边形是菱形 33．（2023八年级下·浙江·专题练习）在下列条件中，能够判定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，点P在的平分线上，交于点B． 任务：用尺规在射线上确定一点C，使得四边形是菱形． 小江：如图2，以点A为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小北：以点P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小江：小北，我认为你的作法有问题哦， 小北：是吗？让我想想……哦！我明白了． (1)证明：小江所作的四边形是菱形． (2)请指出小北作法中存在的问题，并说明理由， 【题型十八】添一个条件使四边形是菱形 35．如图，在中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 36．（2024八年级下·浙江·期中）直角梯形中，，，，，点E是一腰的中点，的延长线与的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接、，当______时，四边形是菱形？请说明理由． 【题型十九】根据菱形的性质与判定求角度 37．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（    ） A．60°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．75°或15° 38．（2024八年级下·浙江宁波·期末）已知：如图，在四边形中，．点在对角线上，且， （1）求证：； （2）连接，交于点，若，四边形周长为，求的大小． 【题型二十】根据菱形的性质与判定求线段长 39．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，有两张矩形纸片和，，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角最小时重叠部分的面积等于________． 【题型二十一】根据菱形的性质与判定求面积 41．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 42．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，矩形中，E为边上任意一点，连接，F为线段的中点，过点F作，与分别相交于点M,N，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，当时，求四边形的面积． 【题型二十二】中点四边形 43．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（    ） A．矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 44．（2025八年级下·浙江·期中）在四边形中，的中点分别为P、Q、M、M； （1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论； （2）若在上取一点E，连结，，恰好和都是等边三角形（如图2）： ①判断此时四边形的形状，并证明你的结论； ②当，，求此时四边形的周长（结果保留根号）． 【题型二十三】证明四边形是正方形 45．（22-23八年级下·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形． 甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形； 乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形． 下列判断正确的是（    ）    A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 46．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为一边，画一个矩形． (2)在图②中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形． 【题型二十四】正方形的判定定理理解 47．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（    ） A．一定是矩形，但不一定是正方形 B．一定是菱形 C．一定是平行四边形，但不可能是矩形 D．一定是正方形 48．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，线段的端点均在格点上，完成下列画图（要求：仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）． (1)在图①中画出一个以为边的平行四边形，使这个平行四边形的另两个顶点均在格点上，且面积为6 (2)在图②中画出一个以为边的正方形，使这个正方形的另两个顶点均在格点上． 【题型二十五】添一个条件使四边形是正方形 49．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是________．    50．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形中，，E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)当四边形满足______（添一个条件）时，四边形为正方形． 【题型二十六】正方形性质理解 51．（23-24八年级下·浙江台州·期末）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是矩形；③它是正方形．下列推理过程正确的是（    ） A．由①推出②，由②推出③ B．由②推出①，由②推出③ C．由①推出②，由③推出② D．由②推出①，由③推出② 52．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在小正方形网格中，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图． (1)在图1中，过点作的平行线，使得： (2)在图2中，找出格点，，画出正方形． 【题型二十七】根据正方形的性质求角度 53．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BED等于（    ） A．30° B．37.5° C．45° D．50° 54．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是___． 【题型二十八】根据正方形的性质求线段长 55．（25-26八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 56．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，正方形纸片的边长为4． (1)请用三角板根据以下要求画图； ①分别取的中点，连接． ②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形（无缝隙无重叠），并画出其示意图． (2)求（1）所拼成的等腰三角形的周长． 【题型二十九】根据正方形的性质求面积 57．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 58．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积______． 【题型三十】正方形折叠问题 59．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，在中，是边上的中线，将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则与的应满足怎样的关系（    ） A． B． C．且 D．且 60．（22-23八年级下·浙江舟山·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．    动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T． 探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 探究②直接写出四边形面积的最小值． 【题型三十一】根据正方形的性质证明 61．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，是正方形的对角线，点E是上一点，连结，分别过点A和C作的垂线，垂足分别为G和F，与交于点H，O是的中点，连结，，有下列结论：①当时，；②平分．关于这两个结论，下列说法正确的是（    ）    A．①②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①②都错 62．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在正方形的对角线上取点，是边上一点（不与点B、C重合），连接，，，若，则的大小为 ________． 【题型三十二】根据正方形的性质与判定求线段长 63．（2024八年级下·浙江台州·月考）正方形与正方形按如图方式放置，点，，在同一直线上，已知，，连接并取中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知矩形和正方形共用对角线，与交于点，与交于点，若正方形的面积比矩形的面积大，的周长与的周长之和是，则的长是______． 【题型三十三】根据正方形的性质与判定求面积 65．（24-25八年级下·浙江温州·期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 66．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm，要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠），图1和图2是两种不同裁法的示意图． (1)求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； (2)分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； (3)这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？ 【题型三十四】根据正方形的性质与判定证明 67．（2025八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知四边形是正方形，点为对角线上一点，连结，过点作，交延长线上于点，以，为邻边作矩形，连结．若，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 68．（24-25八年级下·浙江台州·阶段检测）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)的长为___________，___________度； (2)如图，当点在线段的延长线上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，求正方形的边长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【题型三十五】（特殊）平行四边形的动点问题 69．（2024八年级下·浙江杭州·期末）如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 70．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【题型三十六】四边形中的线段最值问题 71．（2025八年级下·浙江·期中）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（    ） A．5 B．10 C． D．8 72．（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，，平分，平分，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且，若，，则的最小值为 __． 【题型三十七】四边形其他综合问题 73．（22-23八年级下·浙江温州·月考）如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．40 74．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形中，，是对角线上的点（不与点，重合），且． (1)如图1，若， ①四边形的面积为 　　； ②若四边形为菱形，求长． (2)如图2，过点作的垂线交，于点，，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $