14.3.1角的平分线的性质（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的性质”，系统梳理定义、性质定理、前提条件及拓展结论。课堂导入通过折叠角、风筝制作实例，衔接全等三角形知识，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光，如折叠操作引导发现性质；分层练习（基础到提升）发展数学思维，如中考题应用强化推理；规范证明书写落实数学语言。帮助学生提升推理能力与应用意识，教师可高效开展教学。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 14.3.1角的平分线的性质 第十四章 全等三角形 14.3.1 角的平分线的性质 同步精讲练习题 一、核心知识点精讲 1. 角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 角平分线的性质定理（必考） 定理内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 关键词拆解：①点在角平分线上；②距离（点到直线的垂直距离）；③两边距离相等。 几何语言标准书写： ∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等） 3. 重要前提条件（易错点） 使用性质定理必须同时满足三个条件： （1）有角平分线；（2）点在平分线上；（3）垂直距离（必须作垂直）。 若无垂直，不能直接用距离相等！ 4. 定理作用 无需证明三角形全等，直接证明线段相等，简化证明步骤，是考试快速解题技巧。 5. 拓展结论 三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 角平分线上的点到角两边的（）相等 A. 线段长度 B. 距离 C. 斜线长 D. 任意连线长度 2. 下列条件中，能推出PD=PE的是（） A. OP平分∠AOB B. PD⊥OA，PE⊥OB C. OP平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB D. 点P在∠AOB内部 3. 三角形三条角平分线的交点到三角形（）距离相等 A. 三个顶点 B. 三边 C. 三条中线 D. 三条高 （二）填空题 4. 角的平分线上的点到角两边的________相等。 5. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=6cm，则PN=________cm。 6. 使用角平分线性质定理，必须满足点在平分线上和________。 （三）基础解答题 7. 已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：DB=DC。 8. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，PA=4，求PB的长度。 三、能力提升题 9. 已知：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5，求点D到AB的距离。 10. 如图，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，EF⊥AB，EG⊥BC，EH⊥CD，求证：EF=EH。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. B 解析：角平分线性质核心是距离相等。 2. C 解析：必须同时具备平分线+双垂直，才能得距离相等。 3. B 解析：三角平分线交点为内心，到三边距离相等。 （二）填空题 4. 距离 5. 6 解析：角平分线性质直接得PN=PM=6cm。 6. 点到角两边的垂直距离 （三）基础解答题 7. 证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC ∴ DB=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等） 8. 解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB ∴ PB=PA=4，即PB长为4。 （四）能力提升题解析 9. 解：过点D作DE⊥AB于E ∵∠C=90°，∴DC⊥AC ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC ∴DE=DC ∵BC=8，BD=5，∴DC=8−5=3 ∴DE=3，即点D到AB的距离为3。 10. 证明：∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC ∴ EF=EG（角平分线性质） ∵ CE平分∠BCD，EG⊥BC，EH⊥CD ∴ EG=EH（角平分线性质） ∴ EF=EH。 五、本节易错总结 1. 切忌乱用定理：没有垂直就不能用角平分线性质，只能用全等证明； 2. 区分“线段长”和“距离”：性质定理相等的是垂线段长度； 3. 大题书写必须写全条件：平分线+双垂直，再得距离相等，步骤缺一不可。 探究角平分线的性质定理. 探究并掌握角平分线的性质定理. 探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何 问题； 请大家在草稿纸上画一个∠AOB，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开. 观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？ 你能利用我们学过的知识，证明结论的正确性吗？ 如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？ 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等. 本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上. 探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系. 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 在△OPM和△OPN中， OP=OP，∠POM=∠PON， 如果OM=ON， 那么△OPM≌△OPN (SAS)，就有PM=PN. 探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？ A O B M N P OM=ON， PM=PN， OP=OP， ∴△OPM≌△OPN (SSS)， 证明：连接OP，在△OPM和△OPN中 探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？ A O B M N P 证明：∴∠POM=∠PON， ∴点P在∠AOB的平分线上. 思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； 再在角的内部作出与这两点距离相等的点； 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A O B M N P A B O 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：如图. （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）作射线OC，则射线OC为∠AOB的平分线. M N C 为什么呢？ 知识点1 作已知角的平分线 A B O M N C 思考 作图依据是什么？ 利用“SSS”证明全等 两个三角形全等，则对应角相等 知识点1 作已知角的平分线 例1 已知：∠AOB，如图所示. 求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线. A O B C E F D 知识点1 作已知角的平分线 跟踪训练 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. A O B E F C 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 知识点1 作已知角的平分线 由此，我们可以猜想角平分线有什么性质？ 探究 如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…，分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…，分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？ P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 知识点2 角的平分线的性质 我们证明这个性质. 首先，要分清其中的“已知”和“求证”. 已知：一个点在一个角的平分线上； 求证：这个点到这个角两边的距离相等. 为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证. 知识点2 角的平分线的性质 知识点2 角的平分线的性质 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE. 由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 知识点2 角的平分线的性质 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 知识点2 角的平分线的性质 证明：在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC=∠BOC， ∠PDO=∠PEO， OP=OP， ∴△OPD≌△OPE（AAS）， ∴PD=PE . 符号语言： ∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 知识点2 角的平分线的性质 例2 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由. 知识点2 角的平分线的性质 解：如图，过点M作MH⊥AB于点H. ∵∠BAD=30°，∠CAB=60°， ∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB, ∴AM平分∠CAB. 例2 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由. 知识点2 角的平分线的性质 解：∵MH⊥AB，MC⊥AC, ∴MH=MC， 即MC的长度等于点M到AB的距离. 证明一个几何命题时的步骤： 已知：一个点在一个角的平分线上 求证：这个点到角两边的距离相等； 第一步：明确命题中的已知和求证. 第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 知识点3 证明几何命题的一般步骤 例3 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线 的距离相等. 知识点3 证明几何命题的一般步骤 解：已知：如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E. 求证：BE=CF. 证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD. ∵BE⊥AD，CF⊥AD, 例3 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线 的距离相等. 知识点3 证明几何命题的一般步骤 解：∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BED 和△CFD 中， ∠BED=∠CFD， ∠BDE=∠CDF， BD=CD， ∴△BED≌△CFD（AAS）. ∴BE=CF. （第1题） 1. 如图，用直尺和圆规作一个已知角的 平分线，能得出 的依据是 ( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 25 （第2题） 2. 教材P60复习题 如图， 是的角平分线，且 ， 则与 的面积之比为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 26 （第3题） 3. 如图，平分，于点 ， 且，已知点到 轴的距离是4，那 么点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 27 （第4题） 4. 教材P53习题 如图， ，和分别平分 和 ，过点，且与垂直.若 ， 求点到 的距离是( ) B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 中考考法 28 （第4题） 【点拨】过点作于，和 分别平分和， ， ， ， ， 点到 的 距离为4. 返回 中考考法 29 5. 如图，在三角形中， , 平分交于点,且,,点是 上一动 点，连接,则 的最小值为___. 2 （第5题） 中考考法 30 【点拨】如图，当时， 有最小值. ，，平分 ， ，，， 的最小值为2. 返回 中考考法 31 （第6题） 6.如图，在中， ， ，平分，交于点 ， 于点，且，则 的周长为______. 中考考法 32 （第6题） 【点拨】平分， ， ，，在 和 中， ， ，，的周长为，的周长为 . 返回 中考考法 33 7.［2025厦门期中］如图，在中， . 中考考法 34 （1）作的平分线交于点 （尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法）； 【解】如图，即为 的 平分线. 中考考法 35 （2）在（1）的条件下，若， ，求 的面积. 中考考法 36 如图，过点作于点 . , ， 平分， ， ， . 返回 中考考法 37 8. 如图，是的角平分线，于点， 的面积是10，，，则 的长是( ) C A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 中考考法 38 【点拨】 如图，过点作于，是中 的角平 分线，， 的面积是10， ， , ，解得 . 返回 中考考法 39 （第9题） 9. 如图，点是 的 平分线上一点，于点，点 是线段上一点.已知， ， 点为上一点，若满足，则 的长度为______. 3或7 返回 中考考法 40 （第10题） 10.如图，在中，和 的平分 线,相交于点，过点作 于点 ，则以下结论：①若 ，则 ； ；③若 ， ，则 ①②③ ；④平面内到三条直线,, 距离相等的点 有3个.其中正确的有________.（只填写序号） 中考考法 41 角的平分线 为证明线段相等提供了又一途径. 性质定理 过角平分线上一点向角两边作垂线段. 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等. 辅助线添加 课堂小结 Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.7.28 $