空间向量与立体几何：外接球问题与内切球问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量与立体几何中的外接球和内切球核心考点，按定义、性质、解题原理及思路的逻辑层次梳理知识，通过考点解析、方法指导、真题例题与变式训练等环节，帮助学生系统掌握外接球“找球心、列勾股方程”和内切球“等体积法”等解题策略，突破几何体外接球与内切球的难点。 讲义采用模型分类教学与分层训练结合的创新方法，如将外接球问题按长方体、直棱柱、锥体等模型归类，引导学生用数学思维构建解题框架，通过“找外心—定球心—列方程”三步法培养空间观念。设置基础例题与变式训练分层递进，确保学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 空间向量与立体几何：外接球问题与内切球问题复习讲义 考点目录 外接球问题 内切球问题 知识点解析 考点一 几何体的外接球 一、核心知识点 1. 定义：球面上所有点到球心距离相等（均为外接球半径）；几何体所有顶点都在球面上。 1. 核心性质：球心到各顶点距离相等；球心在各面外心的垂线上。 1. 常用结论 · 长方体/长方体的外接球：体对角线 = 外接球直径 长宽高，则 · 直棱柱、圆柱外接球：上下底面外心连线的中点为球心。 · 有公共斜边的直角三角形共面时，斜边中点为外接圆圆心。 · 正棱锥外接球：球心在顶点与底面中心的连线上。 二、解题原理 找到到几何体所有顶点距离相等的点（球心），结合几何关系、勾股定理列方程求半径。 三、解题思路 1. 判断几何体类型（长方体、柱体、锥体、组合体）。 1. 找底面外心：确定底面多边形外接圆圆心及底面外接圆半径。 1. 确定球心位置：球心在过且垂直底面的直线上。 1. 设高、列勾股方程：设几何体高为，球心到底面距离为，则 ；结合与的关系求解。 1. 特殊模型直接套用公式（长方体、墙角模型、对棱相等模型等）快速计算。 考点二 几何体的内切球 一、核心知识点 1. 定义：球与几何体各个面都相切，球心到每个面距离相等（均为内切球半径）。 1. 核心公式（万能）：等体积法 设几何体体积，表面积，则 1. 常见模型：正方体、正四面体、直棱柱、棱锥、圆锥。 二、解题原理 利用体积分割：将原几何体拆分为以球心为顶点、各个面为底面的多个小三棱锥，总体积不变，建立体积方程求内切球半径。 三、解题思路 1. 求整体体积：用对应体积公式算出几何体体积。 1. 求全面积：计算几何体所有面的面积之和。 1. 套用等体积公式：变形得 ，直接计算半径。 1. 特殊几何体（正方体、正四面体）可记专用结论； 1. 若求球心位置：内切球球心为几何体各面角平分面的交点，对称几何体中心即为球心。 补充区分（易错点） 1. 外接球：盯顶点，核心是距离相等，多用勾股定理； 1. 内切球：盯切面，核心是距离相等，通用方法为等体积法。 考点一 外接球问题 【例题分析】 例1．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】1.本题的核心是利用面面垂直的性质和外接球的球心判定来求解. 2.在直角三角形中，斜边即为外接圆的直径，由已知条件及勾股定理计算出斜边的长. 3.结合,可推出外接圆的直径也是，最终确定球心位置，求出球体半径，进一步求出球体的体积. 【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、， 取的中点，连接，则. 因为面面，面面，平面， 所以，面， 因为平面，所以. 在直角三角形中，，，,得. 在中，由正弦定理得，，解得，. 在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，由面积公式得，，解得，， 则，. 在直角三角形中，则， 在直角三角形中，则， 即， 所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为. 例2．（2026·山东烟台·二模）三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间坐标系将几何关系转化为代数运算，通过变量范围求表面积极值. 【详解】设底面直角三角形的斜边中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，设满足， ，所以， 在底面射影为，故，由，得. ，所以， 则，， 设动点在内，设其坐标为， 所以其在底面的投影为，到的距离平方为. 三棱锥的外接球心在过且垂直于底面的直线上，设. 球半径满足：； 球心到的距离等于半径：. 联立得： 代入半径公式： 在圆上， 故的坐标满足： 因(不在线上)，故. 在内，故的取值范围为. 将代入：当时，， ，表面积， 当时，，，表面积 所以三棱锥的外接球表面积取值范围为. 例3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，可得，分别取与的外心，，过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，得解. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为、所以，， 所以，又，所以. 分别取与的外心，，易知点，分别在，上， 过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心. 由已知可得，，连接，易得， 所以，则，则， 所以在中，，即三棱锥外接球的半径为， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 例4．（2026·河南·模拟预测）在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________. 【答案】 【分析】先证明，结合可证得平面，可得，取的中点为，推理得出点到A，B，M，N四点的距离相等，即得点为四面体的外接球的球心，进而可求得其半径. 【详解】在与中，可得，，即， 因 ，所以 ，故，即. 又平面，平面，则. 因平面，所以平面，而平面，故. 如图，取的中点为，在中， ，在中， ， 所以，即点到A，B，M，N四点的距离相等，所以点为四面体的外接球的球心， 可得外接球的直径， 所以四面体的外接球的半径为.    例5．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知圆台的母线与底面所成角为，为下底面圆的一条直径，，设为上底面圆上的一点，若，则圆台外接球的表面积为________________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用圆台的几何特征结合坐标运算求出圆台的高和上底面圆半径，进而确定圆台外接球的球心和半径即可求解. 【详解】以下底面圆心为坐标原点，如图建立空间直角坐标系： 则，， 设圆台高为，上底面圆半径为，，且， 则， 因为，， 所以，即， 因为圆台的母线与底面所成角为，所以， 则，解得，所以，， 设外接球球心为，球半径为，则， 即，解得，所以， 圆台外接球的表面积为. 例6．（2026·河南安阳·模拟预测）已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 【变式训练】 变式1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知正四面体的四个顶点均在球的表面上，若球的半径为3，则正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正四面体补形为正方体，得正四面体的外接球与对应正方体的外接球为同一个球，通过正方体的外接球半径推导正四面体棱长与外接球半径的关系，求出正四面体的棱长；由正四面体的四个面为全等的正三角形，求得正四面体的表面积. 【详解】以正四面体的棱为正方体的面的对角线，将正四面体扩展为正方体，如图所示，则正方体的外接球与正四面体的外接球为同一个球. 设正方体的边长为，则正四面体的棱长为，外接球的半径； 球的半径为3，，得. 正四面体的棱长为. ，即正四面体的表面积为. 变式2．（2026·天津和平·三模）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形折叠后两个直角三角形共斜边的性质，确定外接球球心为BD中点，计算半径后代入球体积公式求解. 【详解】因为四边形为矩形，故，沿折起得到后，， 因此与均为斜边为的直角三角形. 设中点为，可得， 即为四面体的外接球球心，外接球半径. 所以，故， 所以外接球体积. 变式3．（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为.    变式4．（2026·陕西西安·三模）已知平面平面，交线为为上的两点，，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【详解】由，根据面面垂直的性质定理，平面，则， 同理，故平面． 因为，所以可将三棱锥补成一个棱长为1的正方体， 三棱锥的外接球与正方体的外接球完全相同． 正方体的体对角线长度为， 即外接球的直径，故， 则三棱锥外接球的表面积． 变式5．（2026·重庆·三模）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____． 【答案】 【分析】根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积. 【详解】由题意有，所以为该三棱锥的外接球直径， 即外接球半径，表面积． 变式6．（2026·陕西榆林·三模）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据三棱锥的体积公式求出到底面的距离为，结合底面正三角形的外接圆半径和外接球的性质可求得球的半径，从而求出球的表面积. 【详解】因为底面是边长为的正三角形， 所以的面积为， 设到底面的距离为，正三棱锥的体积为. 则，所以. 底面正三角形的外接圆半径，故， 设球的半径为，则， 所以，球的表面积为. 考点二 内切球问题 【例题分析】 例1．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥内切球半径即为圆锥轴截面三角形的内切圆半径求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为.若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的表面积公式得到母线，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得. 则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为边长为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以. 沿，所在轴截面如图，易知，所以. 所以，解得. 例3．（2026·河北保定·三模）现有一个带有盖子的正四面体容器，将一个冰球放入该容器中，盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该容器的深度为h，则当冰球完全融化为水后(冰融化为水的体积变化忽略不计)，水的深度约为（    ）(参考数据： ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四面体及其内切球的性质，运用几何法求出内切球半径，利用球的体积公式及正四面体的体积公式结合冰球融化前后体积不变构造方程求解． 【详解】已知正四面体的高为，设棱长为，内切球半径为，如下图所示： 由正四面体的性质可知，， 则，故， ， ，故， 冰球的体积， 设冰球融化后水深为，形成的小四面体体积为，则， 原正四面体的体积为， 则， ，解得． 例4．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为________． 【答案】 【分析】连接起交线后得两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体，作，的中点，，利用等面积法求内切球的半径即可求解. 【详解】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体， 作，的中点，，设内切球的半径， 所以，所以， ，，又，所以， 即表面积为． 故答案为： 例5．（2022·宁夏石嘴山·三模）在正方形中，分别为线段的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为__________. 【答案】 【分析】由题设条件分析可得折起来后两两互相垂直，所以三棱锥的外接球是以为棱的长方体的外接球，由此可求得外接球半径，可以算出该三棱锥的体积和表面积，由体积相等可求得内切球半径，由此可出答案. 【详解】由题意画出图形如图所示： 在正方形中，，折起来后两两互相垂直， 故三棱锥的外接球是以为棱的长方体的外接球， 不妨设正方形的边长为2，则， ， 设内切球的球心为，则三棱锥的体积为， 三棱锥表面积， 由， 所以该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线与底面所成的角为，其内切球的体积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由内切球体积公式求出球的半径，从而得到圆台的高，再利用母线与底面所成的角，求得上、下底面的半径，再结合圆台的体积公式求解. 【详解】作出圆台的轴截面ABCD，如图， 设圆台的上底面的圆心为，半径为，下底面的圆心为，半径为，高为， 内切球的球心为，半径为. 由内切球的体积为，可得， 解得，所以圆台的高，因为， 所以在中，，， 所以，同理求得， 所以圆台的体积. 变式2．（2026·天津·二模）如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨取正方体边长为，根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，计算出表面积和体积，进而得到内切球半径及体积，再求比值即可． 【详解】解：连接它们的交点后如下图所示， 是中点，不妨取正方体边长为， 所以， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 所以表面积为， 体积， 则内切球半径，， ． 变式3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设球半径为，圆锥的底面圆半径为，高为， 轴截面如图所示， ， 因为球是轴截面为正三角形的圆锥的内切球， 所以，， 所以， 所以圆锥的表面积与球的表面积之比为. 变式4．（2026·四川成都·模拟预测）已知圆锥的高是，其轴截面为等边三角形，则其内切球体积为__________. 【答案】 【分析】作出圆锥的轴截面，求出内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，从而求出其体积. 【详解】作出圆锥的轴截面如下所示： 其中为的中点，，依题意可知为等边三角形且， 则内切圆的半径， 所以圆锥的内切球的体积. 故答案为： 变式5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为_____________________. 【答案】 【分析】设，表示出三棱锥的体积的表达式，利用导数求出体积取最大值时x的值，从而确定棱锥的各棱长，再根据等体积法，即可求得答案. 【详解】设，则， 由题意知两两互相垂直， 可得三棱锥的体积为， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取到最大值，此时三棱锥的体积取得最大值， 设此时三棱锥的内切球的半径为r， 则， 则， 则 即，解得， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 空间向量与立体几何：外接球问题与内切球问题复习讲义 考点目录 外接球问题 内切球问题 知识点解析 考点一 几何体的外接球 一、核心知识点 1. 定义：球面上所有点到球心距离相等（均为外接球半径）；几何体所有顶点都在球面上。 1. 核心性质：球心到各顶点距离相等；球心在各面外心的垂线上。 1. 常用结论 · 长方体/长方体的外接球：体对角线 = 外接球直径 长宽高，则 · 直棱柱、圆柱外接球：上下底面外心连线的中点为球心。 · 有公共斜边的直角三角形共面时，斜边中点为外接圆圆心。 · 正棱锥外接球：球心在顶点与底面中心的连线上。 二、解题原理 找到到几何体所有顶点距离相等的点（球心），结合几何关系、勾股定理列方程求半径。 三、解题思路 1. 判断几何体类型（长方体、柱体、锥体、组合体）。 1. 找底面外心：确定底面多边形外接圆圆心及底面外接圆半径。 1. 确定球心位置：球心在过且垂直底面的直线上。 1. 设高、列勾股方程：设几何体高为，球心到底面距离为，则 ；结合与的关系求解。 1. 特殊模型直接套用公式（长方体、墙角模型、对棱相等模型等）快速计算。 考点二 几何体的内切球 一、核心知识点 1. 定义：球与几何体各个面都相切，球心到每个面距离相等（均为内切球半径）。 1. 核心公式（万能）：等体积法 设几何体体积，表面积，则 1. 常见模型：正方体、正四面体、直棱柱、棱锥、圆锥。 二、解题原理 利用体积分割：将原几何体拆分为以球心为顶点、各个面为底面的多个小三棱锥，总体积不变，建立体积方程求内切球半径。 三、解题思路 1. 求整体体积：用对应体积公式算出几何体体积。 1. 求全面积：计算几何体所有面的面积之和。 1. 套用等体积公式：变形得 ，直接计算半径。 1. 特殊几何体（正方体、正四面体）可记专用结论； 1. 若求球心位置：内切球球心为几何体各面角平分面的交点，对称几何体中心即为球心。 补充区分（易错点） 1. 外接球：盯顶点，核心是距离相等，多用勾股定理； 1. 内切球：盯切面，核心是距离相等，通用方法为等体积法。 考点一 外接球问题 【例题分析】 例1．（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东烟台·二模）三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·河南·模拟预测）在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________. 例5．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知圆台的母线与底面所成角为，为下底面圆的一条直径，，设为上底面圆上的一点，若，则圆台外接球的表面积为________________. 例6．（2026·河南安阳·模拟预测）已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【变式训练】 变式1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知正四面体的四个顶点均在球的表面上，若球的半径为3，则正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·天津和平·三模）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 变式3．（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·陕西西安·三模）已知平面平面，交线为为上的两点，，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 变式5．（2026·重庆·三模）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____． 变式6．（2026·陕西榆林·三模）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 考点二 内切球问题 【例题分析】 例1．（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为.若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·河北保定·三模）现有一个带有盖子的正四面体容器，将一个冰球放入该容器中，盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该容器的深度为h，则当冰球完全融化为水后(冰融化为水的体积变化忽略不计)，水的深度约为（    ）(参考数据： ． A． B． C． D． 例4．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为________． 例5．（2022·宁夏石嘴山·三模）在正方形中，分别为线段的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为__________. 【变式训练】 变式1．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线与底面所成的角为，其内切球的体积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·天津·二模）如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 变式4．（2026·四川成都·模拟预测）已知圆锥的高是，其轴截面为等边三角形，则其内切球体积为__________. 变式5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为_____________________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $