期末培优：求恒力的冲量、求变力的冲量、由F-t图求冲量 专项训练-2025-2026学年高二下学期物理粤教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中物理期末冲量专项训练，以“定义式-动量定理-图像法”递进构建方法体系，通过典例深化运动和相互作用观念，培养科学推理与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求恒力的冲量|例3+变式3|定义式直接计算，多力冲量矢量合成|从冲量定义出发，建立恒力作用下时间与力的定量关系| |求变力的冲量|例3+变式3|动量定理求合冲量，分离恒变力冲量|以动量定理为核心工具，实现变力冲量的间接求解| |由F-t图求冲量|例3+变式3|图像面积代数和计算总冲量|将变力冲量可视化，强化数形结合的科学思维|

期末培优：求恒力的冲量、求变力的冲量、由F-t图求冲量专项训练 期末培优：求恒力的冲量、求变力的冲量、由F-t图求冲量专项训练 考点目录 求恒力的冲量 求变力的冲量 由F-t图求冲量 考点一 求恒力的冲量 知识点 冲量定义式：；冲量是矢量，方向与恒力方向一致。 解题思路点拨 1. 确定恒力大小、作用时间； 1. 直接代入公式 计算冲量大小； 1. 冲量方向与恒力方向相同； 1. 多个恒力：分别求各力冲量，再矢量合成。 例1．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道固定在水平面上，O为圆弧的圆心，C为轨道的最低点，A、B两点关于C点对称，圆弧AB所对应的圆心角为，可视为质点的小球由A点静止释放，此后小球在AB间往复运动。已知小球质量为m，重力加速度为g。求： (1)小球经C点受弹力大小； (2)小球从A点第一次运动到B点的时间和受弹力的冲量大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从A点到C点由机械能守恒有 分析小球在C点受力，由牛顿第二定律有 解得小球经C点受弹力大小 （2）由于圆弧AB所对应的圆心角，小球在圆弧AB间做简谐运动，摆长即为半径R，由周期公式有 小球从A点到B点的时间 小球在A、B点速度均为0，取竖直向上为正方向，小球从A点到B点由动量定理有 解得 例2．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图所示，质量的小物块从固定斜面的顶端由静止开始匀加速下滑。斜面的长度，倾角物块与斜面间的动摩擦因数，重力加速度，，。求物块下滑至斜面底端过程中： (1)加速度的大小a (2)所受支持力冲量的大小和方向。 (3)损失的机械能。 【答案】(1)2m/s2 (2)32N∙s，方向垂直斜面向上 (3)32J 【详解】（1）根据牛顿第二定律 解得a=2m/s2 （2）在斜面上滑行的时间 所受支持力冲量 方向垂直斜面向上。 （3）损失的机械能 例3．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）运输天水花牛苹果时为避免损伤苹果，会给苹果套上泡沫网袋。假设质量的苹果（套上质量可忽略的泡沫网袋）从离水平地面高处由静止开始下落，落至水平地面经恰好静止。取重力加速度大小，不计空气阻力，苹果视为质点。求： (1)苹果在空中运动过程中重力的冲量大小I； (2)苹果从接触地面到恰好静止受到地面的平均作用力大小F 【答案】(1) (2) 【详解】（1）苹果在空中做自由落体运动，有 苹果在空中运动过程中重力的冲量大小 联立解得 （2）苹果从开始下落至恰好静止，由动量定理有 解得 变式1．（25-26高二上·湖北·期末）如图所示，半径的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，为轨道的最低点，点右侧的光滑水平面上紧挨点有一静止的小平板车，平板车质量，小车的上表面与点等高。质量的滑块（可视为质点）从圆弧最高点由静止释放，滑块与平板车上表面间的动摩擦因数，取。若滑块刚好没有从平板车右端滑出，求： (1)滑块滑到轨道上的点时对轨道的压力大小； (2)平板车的长度； (3)滑块在平板车上运动过程中平板车对滑块的冲量大小。 【答案】(1)30N (2)1.5m (3) 【详解】（1）滑块由A滑到B点，根据动能定理 在B点有向心力公式 滑块对轨道的压力与轨道对滑块的支持力是一对相互作用力，所以压力 （2）代入数据可以求得滑块到达B点时的速度为 滑块在小车上会发生相对滑动，系统的合外力为0，动量是守恒的，所以 过程中能量守恒，有 联立解得平板车的长度为 （3）对滑块列动量定理，有 滑块在平板车上的运动时间为 平板车对滑块有支持力，所以支持力的冲量为 所以平板车对滑块的冲量大小为 变式2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）如图所示，运动员练习用头颠球，某一次足球由静止下落0.4m，被重新顶起，离开头部后竖直上升了0.9m。已知足球与头部的作用时间为，足球的质量为0.6kg，空气阻力不计，重力加速度g取，在此过程中，求： (1)足球与头部作用过程中，合力对足球的冲量； (2)头部对足球的平均作用力。 【答案】(1)，方向竖直向上 (2)，方向竖直向上 【详解】（1）足球下落过程，由自由落体公式可得 解得 足球上升过程，由公式可得 解得 所以足球与头部作用过程中，以向上为正方向，由动量定理 解得 合力对足球的冲量大小为，方向竖直向上。 （2）合力对足球的冲量为 解得 头部对足球的作用力大小为，方向竖直向上。 变式3．（25-26高二上·山东济宁·期中）生活中经常出现手机滑落而导致损坏的现象，手机套能有效地保护手机。现有一部质量为的手机（包括手机套），从离地面高处无初速度下落，落到地面后，反弹的高度为，由于手机套的缓冲作用，手机与地面的作用时间为。不计空气阻力，取，求： (1)手机在自由下落过程中重力冲量的大小； (2)手机与地面作用过程中手机动量的变化量的大小； (3)手机对地面的平均作用力大小。 【答案】(1) (2) (3)9N 【详解】（1）根据自由落体运动，有 重力冲量大小为 得 （2）设手机落地瞬间的速度大小为有 从地面反弹的速度大小为，有。 手机与地面作用过程中，以竖直向上为正方向，则手机动量的变化量为 （3）地面与手机作用过程中，设地面对手机的平均作用力大小为，以竖直向上为正方向，对手机根据动量定理可得。 解得地面对手机的平均作用力大小为 根据牛顿第三定律，手机对地面的平均作用力大小为 考点二 求变力的冲量 知识点 变力无法直接用 ，核心工具：动量定理 。 解题思路点拨 1. 明确研究对象与运动过程，确定初、末速度； 1. 计算初、末动量 、； 1. 用动量变化 得到合冲量； 1. 若只求某一变力冲量：先算出其余恒力的冲量，再结合合冲量联立求解； 1. 注意矢量性，规定正方向，用正负表示方向运算。 例1．（25-26高二下·福建·期中）冬季，鸬鹚南飞入驻厦门，栖息于筼筜湖等水域。如图甲，一质量为的鸬鹚观察到猎物后在低空由静止开始竖直向下加速俯冲，入水后作减速直线运动。整个运动过程的图像如图乙所示，已知鸬鹚入水瞬间的速度大小为，在空中俯冲时受到的阻力，重力加速度大小取，求： (1)鸬鹚加速过程中的加速度； (2)鸬鹚过程中运动的位移； (3)过程中水对鸬鹚作用力的冲量。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2)，方向竖直向下 (3)，方向竖直向上 【详解】（1）鸬鹚俯冲过程，由牛顿第二定律，得 解得，方向竖直向下 （2）已知鸬鹚入水瞬间的速度大小为，由匀变速直线运动速度与位移的关系，加速下落过程满足 解得，方向竖直向下 （3）由匀变速直线运动速度与时间的关系，得 解得鸬鹚入水时间 过程中，经过时间 鸬鹚在水中减速，规定竖直向下为正方向，由动量定理，得 解得 ，说明方向竖直向上。 例2．（25-26高二上·广东·阶段检测）(1)如图（a）是某弹簧振子的振动图像，可知周期________s和振幅________cm； (2)如图（b）是某单摆的示意图，其中O点是平衡位置，B、C是位移最大的位置。已知摆球的质量为m，摆长为l，最大摆角为（小于），重力加速度为g，求： ①单摆的周期T； ②小球从B点第一次摆到O的过程中，重力的冲量和细绳拉力的冲量。 【答案】(1) 0.8 5 (2)①；②，方向竖直向下；与水平方向的夹角为，且 【详解】（1）[1]由图可知周期 [2]由图可知振幅 （2）①单摆的周期 ②小球从B点第一次摆到O点经历的时间 重力是恒力，可根据冲量的定义式进行计算，故重力的冲量 细绳的拉力是变力，不可直接根据冲量的定义式进行计算，可借助动量定理求解，从B点第一次摆到O点过程： 根据动能定理列方程： 解得，水平向右 故动量的变化量，水平向右 根据动量定理可知，合力的冲量，水平向右 根据矢量关系，可得 与水平方向的夹角为，则 例3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图所示，一质量为m的小钢球，用长为l的细丝线悬挂在水平天花板上（l远大于小钢球的半径），初始时，摆线和竖直方向的夹角为（）。静止释放小球后，小球做单摆运动，摆到最低点的速度大小为v，求：（不计空气阻力，重力加速度为g） (1)释放瞬间小球回复力F的大小； (2)小球从释放到第一次运动到最低点的时间t； (3)从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量Ia大小及拉力的冲量大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）释放时小球回复力的大小 （2）单摆周期 小球从释放到第一次运动到最低点的时间 （3）从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量大小 重力的冲量方向竖直向下。 从小球释放到第一次运动到最低点过程中，动量变化，方向向左。 由动量定理 拉力的冲量 变式1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图1所示，细杆两端固定，质量为m的物块穿在细杆上。现以水平向左的力F作用在物块上，F随时间t的变化如图2所示。开始滑动瞬间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。已知细杆足够长，，θ=30°，重力加速度为g。求： (1)在0~8s内F的冲量大小； (2)在0~4s内摩擦力的冲量大小； (3)t=8s时，物块的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）0~8s内F的冲量为F−t图围成的面积，即 （2）因，故F开始作用后物块即往向下滑动，在垂直杆方向，当时， 则0~4s，垂直杆方向有 其中由图知 摩擦力 解得 在0~4s内摩擦力的平均值 摩擦力的冲量大小 （3）由（2）分析可知，在4s~8s内，垂直杆方向有 继而同理可得，此段时间内摩擦力的冲量大小 0~8s内，在沿杆方向，根据动量定理有 可得 变式2．（24-25高二下·福建泉州·期末）某课题小组对泥石流的威力进行了模拟研究，他们设计了如图甲所示的模型：在粗糙水平地面上放置一个质量为的物体，让其在随时间均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随时间变化如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数为，求： (1)时间内物体受到水平推力的冲量大小； (2)从出发经多长时间，速度达到最大； (3)末物体的速度大小。 【答案】(1)90N·s (2)2s (3)7.5m/s 【详解】（1）图像的面积表示推力的冲量，得 （2）速度最大时加速度为零，即时速度最大，由图像可得 解得 （3）0~3s使用动量定理得         解得 变式3．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）如图所示，水平面内固定放置着两间距m的平行金属直导轨，其间连接有阻值Ω的电阻，电阻两端并联一理想电压表。两导轨间存在磁感应强度大小T、方向垂直导轨平面的匀强磁场（图中未画出）。一质量kg、电阻Ω、长度为1m的导体棒放置于导轨上。不计摩擦阻力与回路中其他电阻，导体棒始终垂直导轨且与导轨接触良好。 (1)若导体棒在恒定的水平外力N作用下由静止开始运动，求导体棒速度稳定时电压表的示数； (2)若导体棒在水平外力的作用下由静止开始做加速度m/s2的匀加速直线运动，求： ①导体棒开始运动后3s时水平外力的大小； ②导体棒开始运动后3s内外力的冲量大小。 【答案】(1)V (2)①N  ②N·s 【详解】（1）导体棒速度稳定时，有 又因为 解得导体棒速度稳定时电压表的示数 （2）①导体棒开始运动后3s时导体棒受到的安培力大小 由牛顿第二定律有 代入题中数据，联立解得 ②由题意得，时外力的大小 由于外力与t是线性函数关系，则导体棒开始运动后3s内外力的冲量大小 代入数据，解得 考点三 由F-t图求冲量 知识点 图像与时间轴围成的面积表示冲量；时间轴上方面积为正冲量，下方为负冲量。 解题思路点拨 1. 观察图像形状（矩形、三角形、梯形、分段折线等）； 1. 分段计算图形面积，区分轴上下区域，带上正负号； 1. 总面积代数和即为总冲量； 1. 结合动量定理，可进一步求解速度、质量等物理量。 例1．（25-26高二下·广东广州·期中）如图甲所示，在汽车安全气囊的性能测试中，质量的头锤（视为质点）从距气囊表面高度处由静止下落，与正下方的气囊发生碰撞，以头锤到达气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向的作用力随时间变化的规律如图乙所示。碰撞结束后头锤上升的最大高度，取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)碰撞过程中的冲量大小； (2)气囊对头锤竖直方向的作用力的最大值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对头锤下落的过程，根据自由落体运动规律有 解得 设头锤离开气囊时的速度大小为，对头锤上升的过程，根据运动学公式可得 解得 由图乙可知头锤与气囊接触的时间为 以竖直向上为正方向，根据动量定理有 解得 （2）图像中，图像和横轴围成的面积表示力的冲量，有 解得 例2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在水平固定平台的左侧固定有力传感器，质量、长度的L形平板紧靠平台右侧且上表面与平台等高，L形平板右侧为竖直弹性挡板（即物体与挡板的碰撞可视为弹性碰撞），质量且可视为质点的物块被外力固定在平台上。现将弹性装置放在物块与传感器中间的空隙处，随即解除物块的束缚，物块离开弹性装置前，传感器的示数如图乙，物块离开弹性装置后滑入L形平板，一段时间后物块与L形平板经过一次碰撞后在平板的正中间与平板达到相对静止。不计物块与平台间、L形平板与地面间的摩擦，重力加速度g取。求： (1)求弹性装置对物块弹力的冲量I的大小； (2)物块与弹性装置分离时的速度； (3)L形平板上表面与物块间的动摩擦因数（结果保留2位有效位数）。 【答案】(1) (2)5m/s，方向水平向右 (3)0.33 【详解】（1）图像与时间轴所围几何图形的面积表示冲量，根据图乙可知，弹性装置对物块弹力的冲量 （2）物块从解除束缚到与弹性装置分离过程，根据动量定理有 结合上述解得 方向水平向右。 （3）对物块与L形平板进行分析，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得 例3．（25-26高二上·江苏镇江·期中）一个质量为的物体在合力的作用下从静止开始沿直线运动。随时间变化的图像如图所示。 (1)内合力的冲量大小是多少？ (2)时物体的速度大小是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据图像与坐标轴围成的面积表示冲量，则内合力的冲量为 （2）4s内合力的冲量 根据动量定理有 解得 变式1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图所示，在水平固定平台的左侧固定有一个力传感器，质量M＝10kg，长度L＝5m的L形平板紧靠平台右侧且上表面与平台等高，L形平板右侧为竖直弹性挡板（即物体与挡板的碰撞可视为弹性碰撞），质量m＝5kg且可视为质点的物块被外力固定在平台上。现将轻质弹性装置放在物块与传感器中间的空隙处，随即解除物块的束缚，物块离开弹性装置前，传感器的示数如图乙，物块离开弹性装置后滑入L形平板，一段时间后在平板的正中间与平板达到相对静止。不计物块与平台间、L形平板与地面间的摩擦，重力加速度g取。求： (1)物块与弹性装置分离时的速度的大小； (2)L形平板上表面与物块间的动摩擦因数。 【答案】(1)3m/s (2)0.04或0.12 【详解】（1）图乙中，图像与时间轴所围几何图形的面积表示弹力的冲量，则0~0.2s，物块所受弹力的冲量 0~0.2s内对物块用动量定理有 故物块与弹性装置分离时的速度 （2）物块与L形平板在水平方向动量守恒，从物块滑入L形平板到与平板共速有 由能量守恒有 其中 若物块与挡板相碰，则 代入数据得 若物块不和挡板相碰，则 代入数据得 变式2．（24-25高二下·湖南·期末）如图甲所示，质量为的物块静止放在足够大的水平地面上，从时刻起对物块施加一个水平向右的拉力，图乙表示随时间变化的情况，物块与水平地面间的动摩擦因数为，重力加速度。最大静摩擦力等于滑动摩擦力求： (1)内，拉力对物块的冲量的大小 (2)时刻，物块的动量的大小 (3)内，合力对物块所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）内，图线与轴所夹面积为 对物块的冲量大小为 （2）最大静摩擦力 物体静止，摩擦力与等大反向；物块运动，摩擦力大小为、方向与相反，时刻，物块的动量的大小等于合外力的冲量即 （3）根据，时刻，物块的速度的大小为 根据动能定理，内，合力对物块所做的功为 变式3．（24-25高二下·广东广州·期中）蹦床运动有“空中芭蕾”之称，如图1所示，某质量m＝50 kg的运动员从距蹦床h＝1.25 m的高处自由落下，运动员与蹦床接触时间为t＝0.10 s，下图为蹦床对运动员的作用力随时间变化的关系图，在空中保持直立，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，取竖直向上为正方向，求∶ (1)蹦床对运动员的冲量； (2)运动员离开蹦床时的速度大小。 【答案】(1)；方向竖直向上 (2)1m/s 【详解】（1）由图像可知碰撞过程中F的冲量大小等于F-t图像的面积，则 方向竖直向上； （2）头锤落到气囊上时的速度 与气囊作用过程由动量定理（向上为正方向） 解得v=1m/s 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：求恒力的冲量、求变力的冲量、由F-t图求冲量专项训练 期末培优：求恒力的冲量、求变力的冲量、由F-t图求冲量专项训练 考点目录 求恒力的冲量 求变力的冲量 由F-t图求冲量 考点一 求恒力的冲量 知识点 冲量定义式：；冲量是矢量，方向与恒力方向一致。 解题思路点拨 1. 确定恒力大小、作用时间； 1. 直接代入公式 计算冲量大小； 1. 冲量方向与恒力方向相同； 1. 多个恒力：分别求各力冲量，再矢量合成。 例1．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道固定在水平面上，O为圆弧的圆心，C为轨道的最低点，A、B两点关于C点对称，圆弧AB所对应的圆心角为，可视为质点的小球由A点静止释放，此后小球在AB间往复运动。已知小球质量为m，重力加速度为g。求： (1)小球经C点受弹力大小； (2)小球从A点第一次运动到B点的时间和受弹力的冲量大小。 例2．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图所示，质量的小物块从固定斜面的顶端由静止开始匀加速下滑。斜面的长度，倾角物块与斜面间的动摩擦因数，重力加速度，，。求物块下滑至斜面底端过程中： (1)加速度的大小a (2)所受支持力冲量的大小和方向。 (3)损失的机械能。 例3．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）运输天水花牛苹果时为避免损伤苹果，会给苹果套上泡沫网袋。假设质量的苹果（套上质量可忽略的泡沫网袋）从离水平地面高处由静止开始下落，落至水平地面经恰好静止。取重力加速度大小，不计空气阻力，苹果视为质点。求： (1)苹果在空中运动过程中重力的冲量大小I； (2)苹果从接触地面到恰好静止受到地面的平均作用力大小F 变式1．（25-26高二上·湖北·期末）如图所示，半径的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，为轨道的最低点，点右侧的光滑水平面上紧挨点有一静止的小平板车，平板车质量，小车的上表面与点等高。质量的滑块（可视为质点）从圆弧最高点由静止释放，滑块与平板车上表面间的动摩擦因数，取。若滑块刚好没有从平板车右端滑出，求： (1)滑块滑到轨道上的点时对轨道的压力大小； (2)平板车的长度； (3)滑块在平板车上运动过程中平板车对滑块的冲量大小。 变式2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）如图所示，运动员练习用头颠球，某一次足球由静止下落0.4m，被重新顶起，离开头部后竖直上升了0.9m。已知足球与头部的作用时间为，足球的质量为0.6kg，空气阻力不计，重力加速度g取，在此过程中，求： (1)足球与头部作用过程中，合力对足球的冲量； (2)头部对足球的平均作用力。 变式3．（25-26高二上·山东济宁·期中）生活中经常出现手机滑落而导致损坏的现象，手机套能有效地保护手机。现有一部质量为的手机（包括手机套），从离地面高处无初速度下落，落到地面后，反弹的高度为，由于手机套的缓冲作用，手机与地面的作用时间为。不计空气阻力，取，求： (1)手机在自由下落过程中重力冲量的大小； (2)手机与地面作用过程中手机动量的变化量的大小； (3)手机对地面的平均作用力大小。 考点二 求变力的冲量 知识点 变力无法直接用 ，核心工具：动量定理 。 解题思路点拨 1. 明确研究对象与运动过程，确定初、末速度； 1. 计算初、末动量 、； 1. 用动量变化 得到合冲量； 1. 若只求某一变力冲量：先算出其余恒力的冲量，再结合合冲量联立求解； 1. 注意矢量性，规定正方向，用正负表示方向运算。 例1．（25-26高二下·福建·期中）冬季，鸬鹚南飞入驻厦门，栖息于筼筜湖等水域。如图甲，一质量为的鸬鹚观察到猎物后在低空由静止开始竖直向下加速俯冲，入水后作减速直线运动。整个运动过程的图像如图乙所示，已知鸬鹚入水瞬间的速度大小为，在空中俯冲时受到的阻力，重力加速度大小取，求： (1)鸬鹚加速过程中的加速度； (2)鸬鹚过程中运动的位移； (3)过程中水对鸬鹚作用力的冲量。 例2．（25-26高二上·广东·阶段检测）(1)如图（a）是某弹簧振子的振动图像，可知周期________s和振幅________cm； (2)如图（b）是某单摆的示意图，其中O点是平衡位置，B、C是位移最大的位置。已知摆球的质量为m，摆长为l，最大摆角为（小于），重力加速度为g，求： ①单摆的周期T； ②小球从B点第一次摆到O的过程中，重力的冲量和细绳拉力的冲量。 例3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图所示，一质量为m的小钢球，用长为l的细丝线悬挂在水平天花板上（l远大于小钢球的半径），初始时，摆线和竖直方向的夹角为（）。静止释放小球后，小球做单摆运动，摆到最低点的速度大小为v，求：（不计空气阻力，重力加速度为g） (1)释放瞬间小球回复力F的大小； (2)小球从释放到第一次运动到最低点的时间t； (3)从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量Ia大小及拉力的冲量大小。 变式1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图1所示，细杆两端固定，质量为m的物块穿在细杆上。现以水平向左的力F作用在物块上，F随时间t的变化如图2所示。开始滑动瞬间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。已知细杆足够长，，θ=30°，重力加速度为g。求： (1)在0~8s内F的冲量大小； (2)在0~4s内摩擦力的冲量大小； (3)t=8s时，物块的速度大小。 变式2．（24-25高二下·福建泉州·期末）某课题小组对泥石流的威力进行了模拟研究，他们设计了如图甲所示的模型：在粗糙水平地面上放置一个质量为的物体，让其在随时间均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随时间变化如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数为，求： (1)时间内物体受到水平推力的冲量大小； (2)从出发经多长时间，速度达到最大； (3)末物体的速度大小。 变式3．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）如图所示，水平面内固定放置着两间距m的平行金属直导轨，其间连接有阻值Ω的电阻，电阻两端并联一理想电压表。两导轨间存在磁感应强度大小T、方向垂直导轨平面的匀强磁场（图中未画出）。一质量kg、电阻Ω、长度为1m的导体棒放置于导轨上。不计摩擦阻力与回路中其他电阻，导体棒始终垂直导轨且与导轨接触良好。 (1)若导体棒在恒定的水平外力N作用下由静止开始运动，求导体棒速度稳定时电压表的示数； (2)若导体棒在水平外力的作用下由静止开始做加速度m/s2的匀加速直线运动，求： ①导体棒开始运动后3s时水平外力的大小； ②导体棒开始运动后3s内外力的冲量大小。 考点三 由F-t图求冲量 知识点 图像与时间轴围成的面积表示冲量；时间轴上方面积为正冲量，下方为负冲量。 解题思路点拨 1. 观察图像形状（矩形、三角形、梯形、分段折线等）； 1. 分段计算图形面积，区分轴上下区域，带上正负号； 1. 总面积代数和即为总冲量； 1. 结合动量定理，可进一步求解速度、质量等物理量。 例1．（25-26高二下·广东广州·期中）如图甲所示，在汽车安全气囊的性能测试中，质量的头锤（视为质点）从距气囊表面高度处由静止下落，与正下方的气囊发生碰撞，以头锤到达气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向的作用力随时间变化的规律如图乙所示。碰撞结束后头锤上升的最大高度，取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)碰撞过程中的冲量大小； (2)气囊对头锤竖直方向的作用力的最大值。 例2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在水平固定平台的左侧固定有力传感器，质量、长度的L形平板紧靠平台右侧且上表面与平台等高，L形平板右侧为竖直弹性挡板（即物体与挡板的碰撞可视为弹性碰撞），质量且可视为质点的物块被外力固定在平台上。现将弹性装置放在物块与传感器中间的空隙处，随即解除物块的束缚，物块离开弹性装置前，传感器的示数如图乙，物块离开弹性装置后滑入L形平板，一段时间后物块与L形平板经过一次碰撞后在平板的正中间与平板达到相对静止。不计物块与平台间、L形平板与地面间的摩擦，重力加速度g取。求： (1)求弹性装置对物块弹力的冲量I的大小； (2)物块与弹性装置分离时的速度； (3)L形平板上表面与物块间的动摩擦因数（结果保留2位有效位数）。 例3．（25-26高二上·江苏镇江·期中）一个质量为的物体在合力的作用下从静止开始沿直线运动。随时间变化的图像如图所示。 (1)内合力的冲量大小是多少？ (2)时物体的速度大小是多少？ 变式1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图所示，在水平固定平台的左侧固定有一个力传感器，质量M＝10kg，长度L＝5m的L形平板紧靠平台右侧且上表面与平台等高，L形平板右侧为竖直弹性挡板（即物体与挡板的碰撞可视为弹性碰撞），质量m＝5kg且可视为质点的物块被外力固定在平台上。现将轻质弹性装置放在物块与传感器中间的空隙处，随即解除物块的束缚，物块离开弹性装置前，传感器的示数如图乙，物块离开弹性装置后滑入L形平板，一段时间后在平板的正中间与平板达到相对静止。不计物块与平台间、L形平板与地面间的摩擦，重力加速度g取。求： (1)物块与弹性装置分离时的速度的大小； (2)L形平板上表面与物块间的动摩擦因数。 变式2．（24-25高二下·湖南·期末）如图甲所示，质量为的物块静止放在足够大的水平地面上，从时刻起对物块施加一个水平向右的拉力，图乙表示随时间变化的情况，物块与水平地面间的动摩擦因数为，重力加速度。最大静摩擦力等于滑动摩擦力求： (1)内，拉力对物块的冲量的大小 (2)时刻，物块的动量的大小 (3)内，合力对物块所做的功。 变式3．（24-25高二下·广东广州·期中）蹦床运动有“空中芭蕾”之称，如图1所示，某质量m＝50 kg的运动员从距蹦床h＝1.25 m的高处自由落下，运动员与蹦床接触时间为t＝0.10 s，下图为蹦床对运动员的作用力随时间变化的关系图，在空中保持直立，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，取竖直向上为正方向，求∶ (1)蹦床对运动员的冲量； (2)运动员离开蹦床时的速度大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $