专题08 立体几何-山东省春季高考五年（2022-2026）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职高考立体几何专题试题汇编，精选2022-2026年山东省春季高考数学真题，覆盖点线面位置关系、三视图、体积表面积等核心考点，注重空间想象与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约5题|点线面关系判断、斜二测画法、三视图识别|以真题为载体，基础概念与空间直观结合，如异面直线充要条件判断| |填空|约4题|几何体体积、表面积计算、距离最值|聚焦公式应用，结合正方体、圆柱等基本几何体，如圆柱体积计算| |解答|5题|线面平行/垂直证明、体积计算、空间角求解|综合考查逻辑推理与空间想象，如直二面角折叠问题中的线面证明及点面距离|

专题08 立体几何 1.了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念； 2.理解几何体的三视图，掌握直观图的斜二测画法，能根据三视图绘制简单几何体的直观图； 3.会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、锥体、球的体积，并会求简单组合体的表面积和体积； 4.理解平面的基本性质； 5.理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 6.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质； 7.理解点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题； 8.理解异面直线所成角、直线与平面所成角的概念，并会解决相关的简单问题；了解二面角的概念. 考点01 立体几何中点线面的位置关系及其判断 1．（2023年山东省春季高考数学真题）“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与直线得位置关系和异面直线的概念即可求解. 【详解】若“直线没有公共点”，则“或互为异面直线”； 若“直线互为异面直线”，则一定能得到“直线没有公共点”． 所以“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的必要不充分条件. 故选：B. 考点02 斜二测作图及应用 1．（2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是 (　　) A．OC B．OB C．AC D．BC 【答案】D 【分析】根据斜二测画法还原三角形易得答案. 【详解】有斜二测画法图像知道原三角形是直角三角形， 是直角三角形的斜边，故是最长的线段. 故选：D. 考点03 三视图 1．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，某几何体的正视图和左视图都是边长为4的正方形，俯视图是圆，则该几何体的表面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，再求其表面积即可. 【详解】由三视图知，几何体是圆柱， 其中圆柱的母线长为，底面圆的直径为，即底面圆半径， 所以该几何体的表面积. 故答案为：. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是 (　　) A．棱柱 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据三视图易推出几何体即可. 【详解】对A：棱柱的俯视图为多边形，故A错误； 对B：圆柱的侧视图和主视图为矩形，故B错误； 对C：棱锥的俯视图为多边形，故C错误； 对D：圆锥的侧视图和主视图为三角形，俯视图为圆形，故D正确. 故选：D. 3．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，上下两个正四棱柱的底面边长之比是，则该组合体三视图中的俯视图是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图中的俯视图的概念判断即可. 【详解】由题意可知上下两个正四棱柱的底面边长之比是， 又因为小正四棱柱在大正四棱柱的右上部. 所以俯视图中，小正方形在大正方形的右上角，只有选项A符合， 故选:A. 考点04 立体几何中的体积、表面积、侧面积及其应用 1．（2023年山东省春季高考数学真题）圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的体积等于_________． 【答案】 【分析】利用圆柱的体积公式即可得解. 【详解】依题意，得该圆柱的体积为. 故答案为：. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则四棱锥的高等于___________. 【答案】 【分析】设正四棱锥的高为h，根据锥体和柱体的体积公式，列式可求解. 【详解】设正四棱锥的高为h，由题知， ， 解得. 故答案为：. 考点05 立体几何小题中的综合问题 1．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示正方体的棱长为4，点分别是的中点，若点平面，且，则点到直线的距离的最小值是___________. 【答案】 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，再利用两点间距离公式和点到直线的距离公式分析求解即可. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示： 因为正方体的棱长为4，点分别是的中点， 所以， 设，， 则， 又因为，即，整理得：， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 在平面内，， 所以直线的方程为，整理得：， 又因为圆心到直线的距离，且点在圆上， 所以点到直线的距离的最小值， 故答案为：. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，容积为的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将容器以棱所在直线为旋转轴，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面，该平面都可以把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是 (　　) A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线与平面始终平行 D．下半部分几何体的正视图面积不变 【答案】B 【分析】根据题意，逐一分析选项判断即可. 【详解】对于A，B选项：因为容器所盛液体的体积是，而三棱锥的体积公式， 若上半部分是三棱锥，其体积最大值小于长方体体积的一半， 所以上半部分的几何体不可能是三棱锥， 而在旋转过程中液面始终将长方体容器分为上下两部分，且上下两部分体积相等， 所以下半部分的几何体不可能是三棱锥，故A错误，B正确； 对于C选项：由题意可知，容器旋转到任意一个位置后， 有平面或平面，故C错误； 对于D选项：在旋转过程中，下半部分几何体形状会发生变化， 其正视图的形状和面积也会随之发生变化， 所以下半部分几何体的正视图面积不是不变的，故D错误. 故选：B. 3．（2024年山东省春季高考数学真题）正三棱锥的棱长都是2，是的中点，则下列结论：①；②与异面；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是；其中正确的结论的序号是 (　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据正三棱锥的性质，结合平行直线、异面直线、线面角的定义和锥体的体积公式逐一判断即可. 【详解】 取的中点分别为，连接交于点, 如图所示与不平行，故①不正确， 因为与既不平行又不相交，所以异面，故②正确； 因为正三棱锥，是底面中线的交点， 所以平面，所以是与平面的线面角， 因为正三棱锥的棱长是，是正三角形， 所以，，， 在中，，， 所以， 所以，故③错误； 因为， , 所以正三棱锥的体积，故④正确. 故选：D. 考点06 立体几何解答题综合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，． （1）证明：平面； （2）求点E到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）根据面面垂直的性质及直线与平面垂直的判定定理证明； （2）利用等体积法求解点到平面的距离. 【小问1详解】 在长方形中，E，F分别为，的中点， ，， ，∴四边形为平行四边形， 又，， ∴四边形为正方形，， 同理四边形为正方形，，从而， 已知将长方形沿 折成直二面角，所以平面 平面 ， 且平面 平面 ， 平面 ，， 可得平面， 又因为平面， ， 又，平面， ， 平面. 【小问2详解】 连接，如图， 由（1）知平面，平面， ，， 又，平面， ， 平面， 平面， ， 在中， ， ， ， ， 设点E到平面的距离为d， 由，得， 即，解得. 故点E到平面的距离为. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知正三棱柱棱长为4，分别是的中点. （1）求证. （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用平面几何知识证明四边形是平行四边形，进而得证； （2）根据三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】证明：（1）取中点，连接，，如图， 是的中点，是的中点，，且， 又在正三棱柱中，是的中点， 所以，则四边形是平行四边形，故， 又在正中，易知， 所以. （2）正三棱柱中平面，, 平面， 正三棱柱棱长为4， ， 由（1）知，，， ， 三棱锥的体积为. 3．（2024年山东省春季高考数学真题）长方体中，E、F分别是和的中点 （1）证明EF⊥BD （2）求与BC所成角的大小（精确到1°） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）根据中位线的性质和正方形对角线垂直易证答案； （2）找到异面直线所成角，再根据三角函数定义易得答案. 【详解】证明：（1） 连接， 因为分别是和的中点， 因为是的中位线，所以， 因为正方形，所以， 所以. （2）因为， 所以与所成角为， 因为是直角三角形， 因为， 所以， 所以. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． （1）求证：平面平面； （2）求直线SC与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用线面平行的判定定理依次证得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得证； （2）取AB的中点G，连接SG，CG，由平面平面，可得平面，则有是直线SC与平面所成的角，在中可求解. 【详解】证明：（1）如图所示，在中，因为D，F分别是SC，BC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面. （2） 如图所示，取AB的中点G，连接SG，CG. 因为的边长都是2，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因此CG是SC在平面内的射影，则是直线SC与平面所成的角. 因为平面，所以， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 所以直线SC与平面所成角的正弦值是. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，在正方体中，是棱上的点，求证： （1）平面； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】（1）根据线线平行推出线面平行. （2）根据线面垂直推出线线垂直. 【详解】证明：（1）因为是正方体， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 则. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：连接. 因为是正方体， 所以四边形为正方形，所以. 又因为是棱上的点，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 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