专题07 数列-山东省春季高考五年（2022-2026）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

**基本信息** 汇编山东省2022-2026年春季高考数列真题，融合《孙子算经》《九章算术》文化情境与公路运输、几何图形等实际应用问题，凸显真题导向与素养培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|4|等差数列通项及前n项和、等比数列概念|以“物不知数”问题考查数列应用| |填空题|1|等差数列公差计算|基础公式直接应用| |解答题|5|等比数列前n项和、实际运输路程、几何图形变化|结合公路石料运输等真实情境，综合考查建模能力|

专题07 数列 1.理解数列概念，理解数列通项公式、前项和公式的含义； 2.掌握等差数列和等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及前项和公式； 3.掌握等比数列和等比中项的概念，掌握等比数列的通项公式及前项和公式； 4.能运用数列的知识解决实际问题. 考点01 等差数列的通项公式及前项和 1．（2026年山东省春季高考数学真题）在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 【答案】B 【分析】根据题意求出数列通项公式，再根据不等式求解即可. 【详解】因为除以3和7都余2，所以是3和7的公倍数，3和7的最小公倍数是21，因此可设 （为非负整数）. 结合除以5余3，所以除以5余3，即除以5余3， 所以除以5余1，即（为非负整数）， 因此，即所有满足条件的是首项为、公差为的等差数列， 通项为， 又，所以，化简得， 因此最大取19，即的最大值为. 故选：B. 2．（2024年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，____________. 【答案】 【分析】根据数列是等差数列先求公差易得答案. 【详解】因为等差数列,, 所以, 所以. 故答案为：. 3．（2022年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，已知，，则该数列的公差是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式求解. 【详解】在等差数列中，,即, 又因为,代入解得. 故选：. 考点02 等比数列的通项公式及前项和 1．（2025年山东省春季高考数学真题）现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少 (　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，其前5项和．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【详解】根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2， 设该等比数列为，因为她5天共织布31尺，则， 解得，则. 故选：C. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）若成等比数列，则实数的值是 (　　) A． B． C．6或－6 D．8或－8 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义即可求解. 【详解】若成等比数列， 则， 解得. 故选：A. 考点03 数列解答题综合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知等比数列的前n项和是（C为常数） （1）求常数C的值 （2）若，求n的最小值 【答案】（1）1 （2）7 【分析】（1）根据等比数列的前项和与通项公式的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再根据不等式求解即可. 【小问1详解】 因为为等比数列，前n项和是（为常数）， 所以当时， ， 当时，， 则， 得到. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 ，所以 ， 得到，解得， 又，所以的最小值为7. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，是该数列的前项和，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）15 【分析】（1）根据等差数列的性质联立方程组求得数列的首项和公差，再由等差数列通项公式即可解得； （2）根据第（1）问的结论求得数列的前项和公式，进而列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】解：（1）设等差数列首项为，公差为， 因为，即， 又因为，即， 联立方程组：， 解得：，， 所以通项公式为：． （2）因为，，， 所以前项和， 又因为，即， 解得：（舍）或， 所以最小正整数解为． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，公比， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出，即可求出； （2）先由求出数列的通项公式，再由通项公式判断数列为等比数列，带入前n项和公式即可求解. 【详解】解：（1）因为为等比数列，， 所以，可得， 解得或（舍） ， 所以. （2）因为， ，， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列. 又因为， 所以. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，从到修筑一段公路需要50车的石料，石料厂到的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从运送到施工路段，第1车石料卸在处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： （1）该车运送第20车石料往返的路程； （2）该车所有往返的路程之和. 【答案】（1）3900米 （2）222500米 【分析】（1）根据已知条件可知数列为等差数列，求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）利用等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】解：（1）把记为数列，则该车运送第20车石料往返的路程是， 因为在数列中，从第2项起，每一项与前一项的差都等于， 所以数列为等差数列，其中，公差， 则. （2）由（1）可知，该车所有往返的路程之和是等差数列的前50项和， 因为，， 所以. 答：该车所有往返的路程之和是222500米. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. 【答案】（1）3，， （2）10 【分析】（1）由题意，根据中位线定理可知，所有的新三角形都是正三角形，后面三角形的边长是前面三角形边长的，据此可求解； （2）由（1）可知，，，，构成以首项，公比的等比数列，从而可得，令，解不等式可求解. 【详解】解：（1）因为分别是的中点， 所以为正三角形，且边长， 同理可得，； （2）由（1）知，，，，构成以首项，公比的等比数列， 所以的边长， 因为的边长小于0.01， 所以，即， 又因为，则，故的最小值为10. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 1.理解数列概念，理解数列通项公式、前项和公式的含义； 2.掌握等差数列和等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及前项和公式； 3.掌握等比数列和等比中项的概念，掌握等比数列的通项公式及前项和公式； 4.能运用数列的知识解决实际问题. 考点01 等差数列的通项公式及前项和 1．（2026年山东省春季高考数学真题）在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 2．（2024年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，____________. 3．（2022年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，已知，，则该数列的公差是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考点02 等比数列的通项公式及前项和 1．（2025年山东省春季高考数学真题）现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少 (　　) A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2023年山东省春季高考数学真题）若成等比数列，则实数的值是 (　　) A． B． C．6或－6 D．8或－8 考点03 数列解答题综合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知等比数列的前n项和是（C为常数） （1）求常数C的值 （2）若，求n的最小值 2．（2025年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，是该数列的前项和，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求的最小值． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，公比， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，从到修筑一段公路需要50车的石料，石料厂到的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从运送到施工路段，第1车石料卸在处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： （1）该车运送第20车石料往返的路程； （2）该车所有往返的路程之和. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $