专题06 三角函数、三角恒等变换与解三角形-山东省春季高考五年（2022-2026）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职高考三角函数专题真题汇编，精选2022-2026年山东省春季高考真题，覆盖三角函数定义、求值、图象性质、解三角形等7个核心考点，注重基础巩固与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|约10道|三角函数定义、象限角判断、函数性质|紧扣真题，基础概念辨析与逻辑推理结合| |填空题|约5道|三角函数求值、周期计算|注重公式应用，考查运算准确性| |解答题|约5道|解三角形、实际测量、函数综合|结合实际情境（如距离测量），体现数学应用，层次分明|

专题06 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.理解任意角的概念，理解终边相同的角的集合； 2.理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算； 3.理解任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号； 4.掌握同角三角函数的基本关系，会用诱导公式化简三角函数式； 5.掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质； 6.掌握正弦型函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦型函数在一个周期上的简图； 7.会用计算器求三角函数值，会由三角函数（正弦和余弦）值求出指定范围内的角； 8.掌握和角公式与倍角公式； 9.掌握正弦定理和余弦定理，会根据已知条件求三角形的面积； 10.能综合运用三角知识解决实际问题. 考点01 三角函数的定义及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知，则是的什么条件 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 C．既不充分也不必要条件 2．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是 (　　) A． B． C． D． 3．（2023年山东省春季高考数学真题）若，，则是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考点02 三角函数求值及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则的值是_____________． 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的最小值是 (　　) A． B． C．0 D．5 4．（2023年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若，则_______． 5．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，且是第二象限角，则等于 (　　) A． B． C． D． 考点03 三角函数的图象与性质 1．（2023年山东省春季高考数学真题）已知，，则实数的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 考点04 两角和与差的正、余弦公式 1．（2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则(　　) A． B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于(　　) A．1 B． C． D．2 考点05 正弦型函数（含伸缩平移变换） 1．（2026年山东省春季高考数学真题）把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的周期是 (　　) A． B． C． D． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）与有交点，两个相邻交点的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移为，，则_________. 考点06 解三角形 1．（2025年山东省春季高考数学真题）在中，已知，则___________． 2．（2024年山东省春季高考数学真题）三角形ABC中D为BC上一点， （1）求 （2）若，求 3．（2023年山东省春季高考数学真题）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角B的大小； （2）若函数，利用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图． 4．（2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于，求的最小值. 考点07 三角函数解答题综合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且． （1）求O，M两点间的距离 （2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 2．（2025年山东省春季高考数学真题）在平面直角坐标系中，点，，且． （1）求的值； （2）角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆的交点为，求的坐标． 3．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象过点. （1）求函数的最大值； （2）若，且，求的值. 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C. 2 D. 【答案】A 【分析】根据终边上点的坐标求三角函数值即可. 【详解】已知角的终边过点，且， 则，则， 则，即，解得（舍去）. 故选：A. 2．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则的值是_____________． 【答案】##0.1 【分析】利用同角三角函数的平方关系求解. 【详解】因为，且， 所以，即，解得， 故答案为：. 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的最小值是 (　　) A． B． C．0 D．5 【答案】B 【分析】令，使用换元法进行求解即可. 【详解】令，当时，， 则， 由二次函数可知，其函数图像开口向上，对称轴为， 所以当，函数单调递减， 所以当时，取最小值， 所以当，即时， 函数的最小值为， 故选：B. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若，则_______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，求出，再根据根据诱导公式即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以； 又因为，角的终边在第二象限内， 且，， 所以 故答案为：. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得结果. 【详解】由奇函数的定义可得， ， 即 则 得 解得. 故选：C. 6．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，且是第二象限角，则等于 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】由，可得， 所以 解得 又因为是第二象限角 所以. 故选：C. 考点03 三角函数的图象与性质 1．（2023年山东省春季高考数学真题）已知，，则实数的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的取值范围，再求解不等式即可求解A的取值范围. 【详解】因为，所以， 则由得，， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 考点04 两角和与差的正、余弦公式 1．（2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和正切公式易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于 (　　) A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量的模长公式结合三角函数的两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】 . 故选：A. 考点05 正弦型函数（含伸缩平移变换） 1．（2026年山东省春季高考数学真题）把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据图像平移的规律以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 所以. 故选：B. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的周期是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式、辅助角公式和周期公式化简计算即可. 【详解】 ， 所以函数的周期， 故选：B. 3．（2024年山东省春季高考数学真题）与有交点，两个相邻交点的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移为，，则_________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式将式子进行化简，再根据函数图像的变化求出相应的解析式即可求值. 【详解】因为， 设函数过点，代入中为： ，， 则或， 又因为与相交且相邻两交点之间的最短距离为， 即， 所以， 解得， 所以， 现将的值缩小为原来的，值不变 可得函数的图像； 再将图像向左平移， 得到的图像， 又，即， 解得， 所以， 则. 故答案为：. 考点06 解三角形 1．（2025年山东省春季高考数学真题）在中，已知，则___________． 【答案】7 【分析】利用余弦定理边角互化，求解即可. 【详解】因为在中，， 所以 ， 所以， 故答案为：. 2．（2024年山东省春季高考数学真题）三角形ABC中D为BC上一点， （1）求 （2）若，求 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据正弦定理将代入即可求解； （2）由同角的基本关系求出，再利用三角形内角的关系和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可求解. 【详解】解：(1)由正弦定理可知：， 即， 解得 (2)因为，， 所以， 因为， 所以， 则， 由余弦定理，得： ， 所以. 3．（2023年山东省春季高考数学真题）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角B的大小； （2）若函数，利用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图． 【答案】（1） （2）图象见解析 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）根据五点作图法即可求解. 【详解】解：（1）在中，， 则. 因为， 所以或. 因为， 所以． （2）由（1）可知，． 列表如下： 0 0 3 0 0 描点作图，得函数在上的图像如图所示： .. 4．（2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解BC的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得, 即， 所以. 故答案为:. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于，求的最小值. 【答案】（1）3，， （2）10 【分析】（1）由题意，根据中位线定理可知，所有的新三角形都是正三角形，后面三角形的边长是前面三角形边长的，据此可求解； （2）由（1）可知，，，，构成以首项，公比的等比数列，从而可得，令，解不等式可求解. 【详解】解：（1）因为分别是的中点， 所以为正三角形，且边长， 同理可得，； （2）由（1）知，，，，构成以首项，公比的等比数列， 所以的边长， 因为的边长小于0.01， 所以，即， 又因为，则，故的最小值为10. 考点07 三角函数解答题综合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且． （1）求O，M两点间的距离 （2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据同角三角函数的关系以及正弦定理求解即可. 【小问1详解】 依题意，, 由余弦定理得， 即, , 即两点间的距离为． 【小问2详解】 ，， , 由正弦定理， . 即栈道的长度为． 2．（2025年山东省春季高考数学真题）在平面直角坐标系中，点，，且． （1）求的值； （2）角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆的交点为，求的坐标． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）利用两点间距离公式、同角三角函数的平方关系、正弦的和角公式即可求出答案； （2）根据（1）中求出，求出P的坐标为． 【详解】解：（1）∵，，且， ∴， 即， 即， 即， ∴； （2）∵终边对应的角度为，圆的半径为4， ∴点的坐标为． 由，得． ∴或． 3．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象过点. （1）求函数的最大值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由的图象过点求得，再利用二倍角公式与两角差的正弦公式化简，进而利用正弦函数的性质即可得解. （2）由题意可，可求得，又因为，即可求解的值. 【详解】解：（1）因为的图象过点. 所以，解得， 则， 所以函数的最大值为2. （2）因为，即， 所以或， 解得或， 又因为，所以. 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