专题05 函数、指数函数与对数函数-山东省春季高考五年（2022-2026）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

专题05 函数、指数函数与对数函数 函数 1.理解函数的有关概念及其表示方法； 2.理解函数的两要素，会求一些常见函数的定义域，会根据对应法则求函数值，理解分段函数的概念； 3.理解函数的单调性、奇偶性的定义，掌握增函数、减函数及奇函数、偶函数的图像特征，会判断（证明）函数的单调性、奇偶性； 4.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质，会求二次函数的解析式； 5.理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。 6.能运用函数知识解决简单的实际问题. 指数函数与对数函数 1.掌握实数指数幂的运算法则，能利用计算器求实数指数幂的值； 2.理解对数的概念，理解对数的性质和运算法则，能利用计算器求对数值； 3.理解指数函数、对数函数的概念，掌握其图像和性质； 4.能运用指数函数、对数函数的知识解决有关问题. 考点01 函数图象 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象如图所示，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数（，且），当时，，则直线的图象可能是 (　　) A． B． C． D． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是 (　　) A． B． C． D． 4．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，在平面直角坐标系中，分别给出甲、乙同学在1500m比赛中所跑的路程关于时间的函数图像，其中为起跑阶段，为冲刺阶段，则下列结论正确的是 (　　) A．起跑阶段，甲跑得比乙快 B．起跑阶段，甲、乙跑得一样快 C．冲刺阶段，甲跑得比乙快 D．冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 5．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示的圆柱形容器，其底面半径为，高为（不计厚度），设容器内液面高度为，液体的体积为，把表示为的函数，则该函数的图像大致是 (　　) A． B． C． D． 考点02 求函数值及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）下列函数中与函数为同一个函数的是 (　　) A． B． C． D． 考点03 函数的定义域 1．（2026年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是 (　　) A． B． C． D． 考点04 函数的基本性质 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知奇函数的图象是一条曲线，在区间是增函数，在区间上是减函数，则函数在区间的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，函数，若，则 (　　) A． B． C． D． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是定义在上的减函数，若，则x的取值范围为 (　　) A． B． C． D． 4．（2023年山东省春季高考数学真题）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 5．（2023年山东省春季高考数学真题）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是_____________． 6．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2022年山东省春季高考数学真题）已知且，若函数 在上具有单调性，则实数的取值范围是___________________. 考点05 对数函数及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则的值是_____________． 2．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是 (　　) A． B． C． D． 考点06二次函数及其应用 1．（2024年山东省春季高考数学真题）函数是偶函数的充要条件是 (　　) A． B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是 (　　) A． B． C． D． 考点07 函数解答题-指对函数（含二次函数与反比例函数）及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知函数，且， （1）求实数b的值； （2）函数的最小值和最大值． 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数在定义域上是减函数． （1）若，求实数的取值范围． （2）若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）已知过点 （1）求的值； （2）的定义域为，求m的取值范围. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的对称轴为，最小值为2． （1）求函数的解析式； （2）若，判断的奇偶性并证明． 5．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数，且. （1）求实数的值； （2）证明函数在上是减函数. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数、指数函数与对数函数 函数 1.理解函数的有关概念及其表示方法； 2.理解函数的两要素，会求一些常见函数的定义域，会根据对应法则求函数值，理解分段函数的概念； 3.理解函数的单调性、奇偶性的定义，掌握增函数、减函数及奇函数、偶函数的图像特征，会判断（证明）函数的单调性、奇偶性； 4.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质，会求二次函数的解析式； 5.理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。 6.能运用函数知识解决简单的实际问题. 指数函数与对数函数 1.掌握实数指数幂的运算法则，能利用计算器求实数指数幂的值； 2.理解对数的概念，理解对数的性质和运算法则，能利用计算器求对数值； 3.理解指数函数、对数函数的概念，掌握其图像和性质； 4.能运用指数函数、对数函数的知识解决有关问题. 考点01 函数图象 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象如图所示，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据函数的图象和性质确定、的范围，结合指数函数的单调性判断即可. 【详解】由函数的图象可知，函数单调递增，所以. 因为函数图象与轴的交点为，由图可知，所以， 点在函数的图像上，可得，从而，， 选项A：因为，所以，故A选项错误； 选项B：因为，，，取， 此时，由于，可知无意义，故B选项错误； 选项C：因为且，所以，故C选项错误； 选项D：因为，所以指数函数在上单调递减， 因为，所以，故D选项正确， 故选：D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数（，且），当时，，则直线的图象可能是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的性质得出的范围，再判断一次函数的图象即可. 【详解】函数（，且）， 当时，，即， 所以，则， 所以直线的图象为直线从左到右上升，且在轴的截距为， 在轴的截距为，只有A选项图象符合要求. 故选：A. 3．（2024年山东省春季高考数学真题）某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程与时间的关系分析即可求解. 【详解】某人驾驶汽车出行，随着时间增加路程也增加，所以图像上升， 在途中休息时，随着时间增加，路程不变，故图像为一条直线； 继续行驶以后随着时间增长路程也持续增加，故图像上升. 故选：A. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，在平面直角坐标系中，分别给出甲、乙同学在1500m比赛中所跑的路程关于时间的函数图像，其中为起跑阶段，为冲刺阶段，则下列结论正确的是 (　　) A．起跑阶段，甲跑得比乙快 B．起跑阶段，甲、乙跑得一样快 C．冲刺阶段，甲跑得比乙快 D．冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 【答案】A 【分析】根据图像观察同一时间段内的路程增量即可求解. 【详解】设甲乙的速度分别为. 对，由图像可知， 在阶段，， 即. 所以起跑阶段，甲跑得比乙快. 对，在阶段，， 所以，因此冲刺阶段甲跑得比乙慢． 故选：A． 5．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示的圆柱形容器，其底面半径为，高为（不计厚度），设容器内液面高度为，液体的体积为，把表示为的函数，则该函数的图像大致是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积公式判断函数的类型即单调性即可. 【详解】解：根据圆柱的体积公式可得，. 则是关于的正比例函数，且在区间上单调递增. 故选：A. 考点02 求函数值及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）下列函数中与函数为同一个函数的是 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义即可求解. 【详解】函数定义域为. 对于选项A：定义域为，所以与不是同一函数，故选项A错误. 对于选项B：，所以与不是同一函数，故B错误. 对于选项C：定义域为，所以与不是同一函数，故C错误. 对于选项D：，且定义域为，所以与是同一函数，故D正确. 故选：D. 考点03 函数的定义域 1．（2026年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数大于等于零列式求解即可. 【详解】函数，则有，即且. 故函数的定义域是. 故选：C. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由具体函数的定义域即可得解. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得或， 则函数的定义域为． 故选：D． 考点04 函数的基本性质 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知奇函数的图象是一条曲线，在区间是增函数，在区间上是减函数，则函数在区间的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用奇函数图象关于原点对称这一性质，结合已知区间的单调性求解. 【详解】对于奇函数，其图象关于原点对称. 已知在区间是增函数，则在区间上也是增函数， 又已知在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 综上，函数在区间的单调递增区间是， 故选：C. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，函数，若，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，分析求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 又因为，所以， 解得：， 所以， 故选：D. 3．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是定义在上的减函数，若，则x的取值范围为 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数单调性的性质可得若，则有，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，若， 则，解得. 所以的取值范围. 故选：B. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是减函数的性质，分析的取值范围即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．（2023年山东省春季高考数学真题）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是_____________． 【答案】0 【分析】根据题意作出函数图像判断函数的周期即可求解. 【详解】因为函数对定义域内任意的都有， 所以函数图像的对称轴是； 因为当时，， 则的图像如图所示， 所以当时，的图像如图所示； 因为是偶函数， 所以在上的图像，如图所示； 再根据函数图像关于对称，作出函数图像， 再根据函数是偶函数，作出函数图像， …… 可以发现函数的周期是4， 于是． 故答案为：0. 6．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得结果. 【详解】解：由奇函数的定义可得， ， 即 则 得 解得. 故选：C. 7．（2022年山东省春季高考数学真题）已知且，若函数 在上具有单调性，则实数的取值范围是___________________. 【答案】 【分析】由分段函数的单调性求得. 【详解】当时，，在上是减函数，在上是减函数， 且当时，，即满足在上是减函数，具有单调性； 当时，，在上是增函数，在[上是增函数， 要使在上具有单调性，即为增函数，必须满足, 解得; 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：. 考点05 对数函数及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则的值是_____________． 【答案】##0.75 【分析】利用对数的运算性质和换底公式进行求解. 【详解】已知，则，可得， 则. 故答案为：. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的单调性解不等式和解含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 由得， 且， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 考点06二次函数及其应用 1．（2024年山东省春季高考数学真题）函数是偶函数的充要条件是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 考点07 函数解答题-指对函数（含二次函数与反比例函数）及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知函数，且， （1）求实数b的值； （2）函数的最小值和最大值． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为27 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可. （2）根据指数函数的单调性以及二次函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 又，所以， 解得. 【小问2详解】 当时，，此时在上为减函数， 所以时，函数最大值为，最小值为， 当，，函数开口向上，对称轴为， 即时，单调递减；，单调递增； 所以时，函数最小值为，最大值为， 综上，在区间上最小值为，最大值为27． 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数在定义域上是减函数． （1）若，求实数的取值范围． （2）若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）结合函数的单调性，得到不等式，解出即可． （2）根据函数单调性的定义结合已知条件即可求解. 【小问1详解】 因为不等式在上单调递减，又， 则，解得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 设且，由单调递减，得， 则，即， 故在上单调递增． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）已知过点 （1）求的值； （2）的定义域为，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【分析】（1）将点代入函数解析式中即可求得的值； （2）先求出的解析式，再根据对数的真数大于零即可求解. 【小问1详解】 因为过点， 即，解得或（舍去）， 所以 【小问2详解】 因为， 且的定义域为， 即恒成立， 则， 解得， 所以的取值范围为. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的对称轴为，最小值为2． （1）求函数的解析式； （2）若，判断的奇偶性并证明． 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析 【分析】（1）由二次函数的对称轴和最小值，即知道顶点坐标，由顶点坐标公式求解即可. （2）由偶函数的定义，先证定义域关于原点对称，再证明即可. 【小问1详解】 因为函数的对称轴为，最小值为2， 所以解得 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 为偶函数．因为，则， 其定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数为偶函数. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数，且. （1）求实数的值； （2）证明函数在上是减函数. 【答案】（1） （2）证明见详解. 【分析】（1）将代入解析式即可求解的值. （2）利用单调性的定义即可证明. 【小问1详解】 因为函数为，且， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知函数解析式为 任取，且， 所以， 又因为，所以，， 所以， 所以， 所以函数在上是减函数. 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